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1. 개요
2. 수학
- 2.1. 함수의 극한
3. 컴퓨터
- 3.1. 부동소수점 표현
  - 3.1.1. IEEE 754 연산에서의 처리
- 3.2. 정수 표현
4. 통계 및 기타 분야에서의 활용
- 4.1. 기상학
- 4.2. 통계역학
참조

1. 개요

−0은 수학, 컴퓨터 과학, 통계학 등 여러 분야에서 사용되는 개념으로, 0의 부호를 나타내는 표현이다.

수학에서는 함수의 극한에서 값의 이동 방향을 나타내며, 컴퓨터에서는 숫자 표현 방식에 따라 0과 독립적으로 존재할 수 있다. 특히 IEEE 754 부동 소수점 형식에서는 음의 0이 존재하며, 0으로 나누는 경우 등 특정 연산에서 양의 0과 다르게 처리된다. 통계학 및 기상학에서는 0으로 반올림된 음수를 나타내는 데 사용되기도 한다.

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−0
부호 있는 영
종류	수의 표현
분야	수학, 컴퓨터 과학
표기법
수학	x → +0 또는 x → -0
C++	-0.0
자바	-0.0
파이썬	-0.0
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정수 정보
종류	-0
읽기	한국어로 읽는 법 문단을 참조하라
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뫼비우스 함수	−0
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2. 수학

수학에서 −0은 일반적으로 별도로 존재하지 않지만, 함수의 극한 개념에서 값의 이동 방향을 나타내는 데 사용될 수 있다. +0, −0, +∞, −∞는 실수 상의 원으로 취급되지 않지만, 번잡함을 피하기 위해 양과 음의 제로 및 무한대를 실수인 것처럼 표기하는 경우가 종종 있다.

2. 1. 함수의 극한

함수의 극한에서 +0과 -0은 그 값의 이동 방향을 나타낸다.

\lim_{x \to a-0}f(x) = c

는 x가 a보다 작은 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미하고, 반대로

\lim_{x \to a+0}f(x) = c

는 x가 a보다 큰 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미한다.

예를 들어,

f(x)

가

x \ge 0

일 때 1,

x < 0

일 때 0을 가지는 함수라면

\lim_{x \to 0-0}f(x) = 0

,

\lim_{x \to 0+0}f(x) = 1

이 된다.

+0, -0, +∞, -∞는 일반적으로 극한 연산을 나타내는 기호로 사용되며, 실수 상의 원으로 취급되지 않는다.

3. 컴퓨터

컴퓨터에서 숫자를 비트의 나열로 표현할 때, 표현법에 따라 -0이 0과 독립적으로 나타날 수 있다. 예를 들어, 1의 보수 표현법에서 0을 비트로 00000000으로 나타내었다고 하면, 0의 1의 보수는 -0 = 11111111이 된다.

부동소수점에서도 표준에 따라 -0이 정의될 수 있다. 컴퓨터의 수치 표현에서는 보수를 이용하여 음수를 표현하는 경우가 많지만, 기수의 보수를 이용한 경우에는 음의 0이 생기지 않고, 감산 기수의 보수를 사용한 경우에는 음의 0이 생긴다. 또한 "부호와 절대값" 방식의 경우에도 0에 대해 양의 0과 음의 0, 두 개의 0이 있다(앞서 언급한 IEEE 754 등).^[4]

3. 1. 부동소수점 표현

부동소수점 표준인 IEEE 754에서는 -0을 0과 구별해서 정의하며, 0으로 나누기 등의 연산에서 결과가 다르게 나타날 수 있다.^[4] IEEE 754 이진 부동 소수점 형식에서 음의 0은 부호 비트가 1이고, 지수와 가수가 모두 0으로 표현된다.

일반적인 비교 연산에서는 음의 0과 양의 0을 같은 것으로 취급한다.

음의 0은 음수에서 산술 언더플로우가 발생하거나, `-1.0×0.0` 또는 `-0.0`과 같은 특정 계산의 결과로 나타날 수 있다.

IEEE 754 십진 부동 소수점 형식에서 음의 0은 지수가 해당 형식의 유효 지수 범위 내에 있고, 실제 가수가 0이며, 부호 비트가 1인 경우로 표현된다.

몇몇 프로그래밍 언어에서는 두 개의 0을 구별하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다.

숫자를 정수형으로 타입 펀닝하여 비트 패턴에서 부호 비트를 확인
ISO C `copysign()` 함수(IEEE 754 copySign 연산)를 사용하여 0의 부호를 0이 아닌 숫자로 복사
ISO C `signbit()` 매크로(IEEE 754 isSignMinus 연산)를 사용하여 숫자의 부호 비트 설정 여부 확인
0의 역수를 취하여 1/(+0) = +∞ 또는 1/(−0) = −∞를 얻음 (0으로 나누기 예외가 트랩되지 않은 경우)

3. 1. 1. IEEE 754 연산에서의 처리

IEEE 754 표준은 덧셈, 곱셈 등 다양한 연산에서 양의 0과 음의 0의 동작을 명시한다. 곱셈 또는 나눗셈에서는 부호에 대한 일반적인 규칙이 항상 적용된다.

-0^영어 · |''x''| = -0^영어 (''x''가 ±∞와 다를 경우)
(''x''가 0과 다를 경우)
-0^영어 · -0^영어 = +0

덧셈 또는 뺄셈에서는 부호가 있는 0을 고려하여 특별한 규칙이 적용된다.

''x'' + (±0) = ''x'' (''x''가 0과 다를 경우)
-0^영어 + -0^영어 = -0^영어 − (+0) = -0^영어
(+0) + (+0) = (+0) − -0^영어 = +0
''x'' − ''x'' = ''x'' + (−''x'') = +0 (유한 ''x''에 대해, 음수로 반올림할 때는 -0^영어)

음의 0 때문에 (그리고 반올림 모드가 위 또는 아래일 때), 부동 소수점 변수 ''x''와 ''y''에 대한 표현식 −(''x'' − ''y'') 및 (−''x'') − (−''y'')는 ''y'' − ''x''로 바꿀 수 없다. 그러나 (−0) + ''x''는 가장 가까운 값으로 반올림하여 ''x''로 바꿀 수 있다(''x''가 신호 NaN일 수 있는 경우 제외).

몇 가지 다른 특별 규칙은 다음과 같다.

|-0^영어| = +0
^[3]
(나눗셈의 부호 규칙을 따름)
(0이 아닌 ''x''에 대해, 나눗셈의 부호 규칙을 따름)
±0 × ±∞ = NaN (Not a Number 또는 정해지지 않은 형식에 대한 인터럽트)

0이 아닌 숫자를 0으로 나누면 0으로 나누기 플래그가 설정되고, NaN을 생성하는 연산은 무효 연산 플래그를 설정한다. 해당 플래그에 대해 사용하도록 설정된 경우 예외 처리기가 호출된다.

3. 2. 정수 표현

1의 보수 표현법에서 0을 비트로 00000000으로 나타내었을 때, 0의 1의 보수는 −0 = 11111111이 된다. 부호 있는 숫자 표현에서 음의 0은 다양한 방식으로 표현될 수 있다.

널리 사용되는 2의 보수 인코딩에서 0은 부호가 없다. 1+7 비트 부호 및 크기 표현에서 음의 0은 비트열 10000000으로 표현된다. 8비트 1의 보수 표현에서 음의 0은 비트열 11111111로 표현된다. 이 세 가지 인코딩 모두에서 양의 0 또는 부호 없는 0은 00000000으로 표현된다. 그러나 후자의 두 가지 인코딩(부호 있는 0 포함)은 정수 형식에서는 흔하지 않다.

컴퓨터의 수치 표현에서는 보수를 이용하여 음수를 표현하는 경우가 많지만, 같은 보수라도 '''기수의 보수'''를 이용한 경우에는 음의 0이 생기지 않는 데 반해, '''감산 기수의 보수'''를 사용한 경우에는 음의 0이 생긴다. 또한 "부호와 절대값" 방식의 경우에도 0에 대해 양의 0과 음의 0, 두 개의 0이 있다.

4. 통계 및 기타 분야에서의 활용

기상학 외에도 통계역학 등 일부 분야에서는 -0 개념이 특수한 의미로 활용되기도 한다.

4. 1. 기상학

기상학에서 −0°C는 0°C (섭씨 온도)보다 낮지만 −1°C라고 할 정도는 아닌 온도를 나타내며, 통계적인 의미(즉, 1°C 단위로 통계를 낼 경우)에서도 중요한 경우가 있다. 예를 들어, −0.2°C가 그 예이다. 0°C는 음수 범위를 포함하지 않으므로 이를 0°C로 통계 처리할 수는 없다. 또한, 동절기의 추위를 비교할 때 낮 기온이 0°C 미만 (영하)인 날을 세는 것은 기본이며, 무시할 수 없다. 따라서 −1°C로 반올림하기에는 절댓값이 너무 작은 온도는 −0°C로 기록된다. 도로 등에 설치된 기온·노면 온도계에서도 이를 볼 수 있다.

4. 2. 통계역학

통계역학에서 음의 온도는 인구 반전을 가진 시스템을 설명하기 위해 사용되기도 한다. 인구 분포 함수의 에너지 계수가 −1/온도이기 때문에, 이는 양의 무한대보다 큰 온도를 갖는 것으로 간주될 수 있다. 이러한 맥락에서 −0의 온도는 (이론적으로) 다른 모든 음의 온도보다 큰 (이론적인) 온도이며, 이는 인구 반전의 (이론적인) 최대 가능한 정도, 즉 +0의 반대 극단에 해당한다.^[5]

참조

_[1] 간행물 Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much Ado About Nothing's Sign Bit http://portal.acm.or[...] Clarendon Press, Oxford 1987
_[2] 웹사이트 Derivatives in the Complex z-plane http://www.cs.berkel[...]
_[3] 웹사이트 Decimal Arithmetic: Arithmetic operations{{snd}}square-root https://speleotrove.[...] speleotrove.com (IBM Corporation) 2009-04-07
_[4] 웹사이트 Double http://java.sun.com/[...] Oracle Help Center
_[5] 서적 Thermal Physics (2nd ed.) W. H. Freeman and Company
_[6] 문서 한국어로 읽는 법 문단을 참조하라
_[7] 문서 가끔 O로 표기하기도 한다.

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