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가법군

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목차

1. 개요

가법군은 덧셈 연산에 대해 닫혀 있고 결합 법칙이 성립하며 항등원과 역원을 갖는 집합이다. 가법군은 군의 한 종류로, 연산이 곱셈인 경우는 승법군이 된다. 가법군에 교환 법칙을 정의하면 가환군(아벨군)을 얻을 수 있으며, 군의 원소 개수에 따라 유한군과 무한군으로 분류된다.

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가법군
정의
군 연산덧셈
군 연산 기호+
항등원0 (영)
역원-a (a의 역)
설명
내용덧셈을 군 연산으로 하는 군
예시
예시정수 집합 (덧셈 연산)
실수 집합 (덧셈 연산)
벡터 공간 (벡터 덧셈)

2. 군의 정의

군은 하나의 연산에 대하여 닫혀 있고 결합 법칙이 성립하며 항등원(단위원)과 역원이 존재하는 집합이다.[1] 예를 들어, 정수 전체의 집합은 임의의 두 원소를 더하여 얻은 결과도 그 집합에 포함되므로, 덧셈에 대하여 군이 된다.[1]

3. 가법군과 승법군

군은 하나의 연산에 대하여 닫혀 있고 결합 법칙이 성립하며 항등원(단위원)과 역원이 있는 집합이다. 예를 들어, 정수 전체의 집합은 덧셈에 대하여 군이 된다.

가법군에서 연산이 승법(곱셈)인 경우는 승법군(乘法群)이 된다. 군은 가법군과 승법군을 포함한다. 한편 이러한 군에 교환법칙을 정의함으로써 가환군(또는 아벨군)을 얻을 수 있다. 군이 유한한 원소의 집합인 경우는 유한군이며, 무한한 경우 무한군이 된다.

4. 가환군 (아벨군)

승법 연산이 적용된 가법군은 승법군이 된다. 군(G)은 가법군과 승법군을 포함한다. 한편 이러한 군에 교환 법칙이 성립하면 가환군이 된다. G가 유한한 원소의 집합인 경우는 유한군이며, 무한한 경우 무한군이 된다.

5. 유한군과 무한군

G가 유한한 원소의 집합인 경우는 유한군이며, 무한한 경우 무한군이다.

참조

[1] 서적 Algebra I: Chapters 1–3 Springer
[2] 웹사이트 MathOverflow: The Origin(s) of Modular and Moduli https://mathoverflow[...] 2024-03-08
[3] 서적 Algebra I, Chapters 1–3


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