고대 이집트 곱셈법
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1. 개요
고대 이집트 곱셈법은 고대 이집트에서 사용된 곱셈 방식으로, 곱하는 두 수 중 하나를 2의 거듭제곱의 합으로 분해하여 계산하는 방법이다. 이 방법은 2로 곱하는 것과 덧셈, 뺄셈만으로 곱셈을 수행할 수 있으며, 곱셈의 분배 법칙을 기반으로 한다. 린드 수학 파피루스와 같은 고대 이집트 수학 문서에서 그 흔적을 찾아볼 수 있으며, 러시아 농부 곱셈법과 유사한 형태가 다른 지역에서도 발견된다.
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| 고대 이집트 곱셈법 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 이름 | 고대 이집트 곱셈법 |
| 다른 이름 | 이집트 곱셈법, 고대 이집트 덧셈-곱셈 |
| 유형 | 곱셈 알고리즘 |
| 기원 | 고대 이집트 |
| 작동 방식 | |
| 기본 원리 | 2를 반복적으로 곱하고 더하는 방식 |
| 사용 기법 | 2배수 덧셈 |
| 특징 | 나눗셈에도 응용 가능 |
| 역사 | |
| 최초 사용 시기 | 기원전 2700년경 |
| 기록 | 린드 수학 파피루스 모스크바 수학 파피루스 |
| 지속 사용 | 중세 시대까지 사용됨 |
| 예시 | |
| 예시 1 (13 × 17) | 1 17 2 34 4 68 8 136 1 + 4 + 8 = 13 이므로, 17 + 68 + 136 = 221. 따라서 13 × 17 = 221. |
| 예시 2 (13 × 17 변형) | 1 17 2 34 4 68 8 136 16 272 (13은 16보다 작으므로 중단) 13 = 1 + 4 + 8 이므로, 17 + 68 + 136 = 221. 따라서 13 × 17 = 221. |
2. 방법
고대 이집트 곱셈법은 크게 두 단계로 나뉜다. 첫 번째 단계는 곱하는 두 수 중 하나(주로 작은 수)를 2의 거듭제곱의 합으로 분해하는 것이다. 두 번째 단계는 다른 한 수(주로 큰 수)에 2를 반복적으로 곱하면서 표를 만들고, 첫 번째 단계에서 구한 2의 거듭제곱에 해당하는 값들을 더하여 곱을 구한다.[1] 이 방법은 2로 곱하는 것과 덧셈, 뺄셈만으로 곱셈을 할 수 있다는 장점이 있다.
이 방법은 곱셈의 분배법칙 때문에 성립한다.
2. 1. 이집트 농부 곱셈법
고대 이집트인들은 2의 거듭제곱 표를 만들어 곱셈에 사용했다.[1] 수를 분해하는 것은 그 수를 구성하는 2의 거듭제곱을 찾는 것이었다. 이집트인들은 어떤 수를 2의 거듭제곱으로 나타낼 때 각 거듭제곱이 한 번만 나타난다는 것을 알고 있었다. 분해는 주어진 수보다 작거나 같은 가장 큰 2의 거듭제곱을 찾아서 빼는 과정을 반복하는 방식으로 체계적으로 진행되었다.[1]예를 들어 25를 분해하는 과정은 다음과 같다.
| 25보다 작거나 같은 가장 큰 2의 거듭제곱은 | 16입니다: | 25 − 16 | = 9. |
| 9보다 작거나 같은 가장 큰 2의 거듭제곱은 | 8입니다: | 9 − 8 | = 1. |
| 1보다 작거나 같은 가장 큰 2의 거듭제곱은 | 1입니다: | 1 − 1 | = 0. |
| 따라서 25는 16, 8, 1의 합입니다. | |||
첫 번째 수를 분해한 후에는 두 번째 수에 2의 거듭제곱을 곱한 표를 만들었다. 예를 들어, 첫 번째 수를 분해했을 때 가장 큰 2의 거듭제곱이 16이고, 두 번째 수가 7이라면 다음과 같은 표가 만들어진다.
| 1 | 7 |
| 2 | 14 |
| 4 | 28 |
| 8 | 56 |
| 16 | 112 |
마지막으로, 첫 번째 수를 분해했을 때 나온 수들과 대응하는 두 번째 단의 수들을 더해서 결과를 얻는다.[1] 예를 들어 25 곱하기 7을 계산한다면, 25를 분해했을 때 나오는 16, 8, 1과 위의 표에서 대응하는 112, 56, 7을 모두 더하면 된다.
- 25 x 7 = 112 + 56 + 7 = 175
이 방법은 2로 곱하는 것과 덧셈, 뺄셈만으로 곱셈을 할 수 있다는 장점이 있다.
27 곱하기 82의 예시는 다음과 같다.
| A 단 | | B 단 | |
| 27 | | 82 | |
| 13 | | 164 | |
| 6 | | 328 | |
| 3 | | 656 | |
| 1 | | 1312 | |
| | | 결과: 2214 |
이 방법은 곱셈의 분배법칙 때문에 성립한다.
2. 2. 러시아 농부 곱셈법
러시아 농부 곱셈법에서는 피승수를 분해하여 2의 거듭제곱으로 나타내기 위해, 피승수를 왼쪽에 쓰고 왼쪽 열을 계속 반으로 줄여가면서 나머지는 버리고 1(또는 -1, 이 경우 최종 합계는 부호가 바뀜)이 될 때까지, 오른 열은 이전과 같이 두 배로 늘려나간다. 왼쪽 열의 숫자가 짝수인 행은 지우고, 오른쪽 열에 남아 있는 숫자를 모두 더한다.[3]이 방법은 곱셈의 분배법칙 때문에 성립한다.
27 곱하기 82의 예시는 다음과 같다.
| A 단 | B 단 | 더할 숫자 |
|---|---|---|
| 27 | 82 | 82 |
| 13 | 164 | 164 |
| 6 | 328 | |
| 3 | 656 | 656 |
| 1 | 1312 | 1312 |
| 결과: 2214 | ||
238 × 13을 러시아 농부 곱셈법으로 계산하는 과정은 다음과 같다.
| 13 | 238 |
|---|---|
| 3 | 952 |
| 1 | +1904 |
| 3094 |
이 방법은 곱셈의 분배법칙 때문에 성립한다. 27 곱하기 82를 예로 들면 다음과 같다.
3. 원리 및 증명
82 × 27 = 82 × (1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24) = 82 × (1 + 2 + 8 + 16) = 82 + 164 + 656 + 1312 = 2214
3. 1. 수학적 귀납법을 이용한 증명
수학적 귀납법을 통해 농부 곱셈법을 증명할 수 있다.
자연수 n, m에 대해 PM(n, m)이 농부 곱셈법의 결과를 나타낸다고 하자.
; 기본적인 경우:
: n = 1이고 m ∈ N 인 경우, PM(n, m) = PM(1, m) = 1 · m = n · m 이므로 참이다.
: n = 2이고 m ∈ N 인 경우, PM(n, m) = PM(2, m) = 2 · m = n · m 이므로 참이다.
; 일반적인 경우:
: PM (⌊n/2⌋, 2m) = n · m 이라고 가정하면,
: n이 짝수일 때 PM(n, m) = PM (⌊n/2⌋, 2m)이 성립한다.
: n이 홀수일 때 PM(n, m) = PM (⌊n/2⌋, 2m) + m이 성립한다.
: 따라서 모든 자연수 n, m에 대해 PM(n, m) = n · m이 참이다.
4. 역사
고대 이집트인들은 2의 거듭제곱에 대한 표를 만들어 사용했고, 이를 통해 숫자를 2의 거듭제곱으로 분해하는 방법을 알고 있었다. 그들은 어떤 수에 2의 거듭제곱이 한 번만 나타난다는 것을 경험적으로 파악하고 있었다. 수를 분해하기 위해 체계적으로 접근했는데, 먼저 해당 수보다 작거나 같은 가장 큰 2의 거듭제곱을 찾아 빼는 과정을 반복했다.[1]
이러한 방식은 러시아 농부 곱셈법에서도 유사하게 나타난다. 러시아 농부 곱셈법에서는 피승수를 2의 거듭제곱으로 나타내기 위해 피승수를 왼쪽에 쓰고 왼쪽 열을 계속 반으로 줄여 나머지는 버리는 방식을 사용했다. 오른쪽 열은 이전과 같이 두 배로 늘려나갔다. 왼쪽 열의 숫자가 짝수인 행은 지우고, 오른쪽 열에 남아 있는 숫자를 모두 더하는 방식으로 계산했다.[3] 린드 수학 파피루스를 비롯한 여러 고대 이집트 수학 문서에서 이러한 곱셈법이 발견된다.[1] 이는 이진법 기반의 곱셈 알고리즘이 여러 문화권에서 독립적으로 발전했을 가능성을 보여준다.
4. 1. 고대 이집트 수학 문서
린드 수학 파피루스, 모스크바 수학 파피루스, 카훈 파피루스, 이집트 수학 가죽 두루마리 등 고대 이집트 수학 문서들은 농부 곱셈법을 포함한 다양한 수학적 지식과 계산 방법을 담고 있다.[1]5. 현대적 응용 및 의의
농부 곱셈법은 현대 컴퓨터 과학에서 사용되는 이진법 곱셈 알고리즘과 유사한 원리를 가지고 있다. 컴퓨터는 2진수를 기반으로 연산을 수행하기 때문에, 농부 곱셈법의 원리는 컴퓨터 연산의 효율성을 이해하는 데 도움을 줄 수 있다. 고대 이집트 농부 곱셈법은 단순한 연산만으로 복잡한 곱셈을 가능하게 하여 고대 이집트인들의 수학적 능력을 보여주는 중요한 예시이다.[3]
참조
[1]
서적
The Exact Sciences in Antiquity
https://books.google[...]
Dover Publications
[2]
논문
Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet
London
1926
[3]
웹사이트
Cut the Knot - Peasant Multiplication
http://www.cut-the-k[...]
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