고윳값과 고유 벡터

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1. 개요

고윳값과 고유 벡터는 선형대수학의 핵심 개념으로, 선형 변환의 특성을 나타내는 데 사용된다. 19세기 이차 형식 및 미분 방정식 연구에서 시작되어, 고전역학, 양자역학, 데이터 분석 등 다양한 분야에 응용된다. 고유 벡터는 선형 변환에 의해 방향이 바뀌지 않고 크기만 변하는 벡터이며, 고윳값은 그 크기의 변화 비율을 나타낸다. 고유 공간은 특정 고윳값에 해당하는 고유 벡터들의 집합이며, 고유 다항식은 고윳값을 구하는 데 사용된다. 스펙트럼은 고윳값의 집합을 의미하며, 고유 기저가 존재하면 선형 변환을 대각화할 수 있다. 행렬의 고윳값과 고유 벡터는 행렬의 특성을 분석하는 데 중요한 도구이며, 주성분 분석, 진동 분석, 양자역학, 그래프 이론, 얼굴 인식 등 다양한 분야에서 활용된다. 대한민국에서는 4.19 혁명과 민주화 운동, 경제 성장과 불평등 문제, 인공지능 및 빅데이터 기술 등 다양한 사회적, 기술적 맥락에서 고윳값과 고유 벡터의 개념이 적용될 수 있다.

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고윳값과 고유 벡터
개요
선형 변환 u에 의한 벡터 v의 스케일링으로서의 고유 벡터 및 고유값의 개념을 나타내는 다이어그램.
분야	선형대수학
관련 항목	고유 공간 고유 분해 조르단 정규 형식 행렬 선형 변환
정의
고유 벡터	선형 변환에서 방향이 변하지 않고 크기만 스케일되는 영벡터가 아닌 벡터
고유값	고유 벡터가 스케일되는 정도를 나타내는 스칼라
고유 공간	주어진 고유값에 해당하는 모든 고유 벡터의 집합과 영벡터의 합집합
고유값 문제	주어진 변환에 대한 고유 벡터와 고유값을 찾는 문제
행렬
고윳값	행렬 A의 특성 다항식의 근
특성 다항식	det(A - λI) (여기서 det는 행렬식, λ는 고윳값, I는 단위 행렬)
특성 방정식	det(A - λI) = 0
계산
고윳값 계산	특성 방정식을 풀어 고윳값을 구함
고유 벡터 계산	각 고윳값에 대해 (A - λI)v = 0을 만족하는 벡터 v를 구함 (여기서 v는 고유 벡터)
활용
활용 분야	진동 분석 안정성 분석 양자 역학 주성분 분석 얼굴 인식
참고 용어
영어	Eigenvalue (아이건밸류) Eigenvector (아이건벡터)
일본어	固有値 (고유치, 고유값) 固有ベクトル (고유 벡터)

2. 역사와 어원

고윳값과 고유 벡터 개념은 19세기 이차 형식 및 미분 방정식 이론에서 발전하였다. 오귀스탱 루이 코시는 고전역학에서 관성 모멘트의 주축 개념을 추상화하여 이차 곡면을 분류하고, 고윳값 개념을 도입하여 "특성근"(racine caractéristique|라신 카락테리스티크^프랑스어)이라고 불렀다.^[1] 코시는 대칭행렬이 실수 고윳값을 가진다는 사실을 발견했고, 1885년 샤를 에르미트는 에르미트 행렬이 실수 고윳값을 가진다는 것을 보였다.^[1]

20세기 초 다비트 힐베르트는 "고유 벡터"(Eigenvektor|아이겐벡토어^de)와 "고윳값"(Eigenwert|아이겐베르트^de)이라는 용어를 도입하였다.^[1] "아이겐"(eigen^de)은 "고유한", "특징적인" 등의 의미이다.^[1]

한국에서는 일제강점기 및 해방 이후 일본을 통해 서구 수학 개념이 유입되면서 고윳값, 고유 벡터 용어가 정착되었다.

3. 정의

체 $K$ 에 대한 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T\colon V\to V$ 가 주어졌을 때, 다음 두 조건을 만족하는 $v\in V$ 와 $\lambda \in K$ 가 있다면, $v$ 를 $T$ 의 '''고유 벡터''', $\lambda$ 를 $T$ 의 ( $v$ 에 대응하는) '''고윳값'''이라고 한다.

$v\ne0$
$Tv=\lambda v$

V

가 함수 공간인 경우, 고유 벡터 대신 '''고유 함수'''(固有函數, eigenfunction^영어)라는 용어를 사용하기도 한다.

n{\times}n

행렬

A

와 길이가

n

인 영벡터가 아닌

\mathbf{v}

에 대해,

A\mathbf{v}

가 단순히

\mathbf{v}

를

\lambda

라는 스칼라만큼 크기를 조절하는 것이라면,

\mathbf{v}

는

A

의 고유 벡터이며,

\lambda

는 해당 고유값이다. 이 관계는

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

로 표현할 수 있다.^[1]

정사각 행렬과 ''n''차원 벡터 공간에서 자기 자신으로의 선형 변환 사이에는 벡터 공간의 기저가 주어지면 직접적인 대응 관계가 있다. 따라서 유한 차원 벡터 공간에서 고윳값과 고유 벡터를 행렬의 언어 또는 선형 변환의 언어를 사용하여 정의하는 것은 동일하다.

선형 변환 분석에서 고윳값과 고유 벡터는 중요한 역할을 한다. 접두사 ''eigen-''은 '고유한', '특성적인', '자신의'을 뜻하는 독일어 단어 ''eigen''에서 유래되었다.^[2] 원래는 강체의 회전 운동의 주축을 연구하는 데 사용되었지만, 고윳값과 고유 벡터는 안정성 분석, 진동 분석, 원자 궤도, 얼굴 인식, 행렬 대각화 등 다양한 분야에 적용된다.

본질적으로, 선형 변환 ''T''의 고유 벡터 '''v'''는 ''T''를 적용했을 때 방향이 바뀌지 않는 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터에 ''T''를 적용하면 고유 벡터가 고윳값 ''λ''라는 스칼라 값으로 스케일링된다. 이 조건은

T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},

로 쓸 수 있으며, 이를 '''고유값 방정식''' 또는 '''고유 방정식'''이라고 한다. 일반적으로, ''λ''는 임의의 스칼라가 될 수 있다. 예를 들어, ''λ''는 음수일 수 있으며, 이 경우 고유 벡터는 스케일링의 일환으로 방향을 반대로 바꾼다. 또는 0이거나 복소수일 수도 있다.

이 전단 매핑에서 빨간색 화살표는 방향이 바뀌지만 파란색 화살표는 바뀌지 않는다. 파란색 화살표는 방향이 바뀌지 않고 길이가 변경되지 않으므로 이 전단 매핑의 고유 벡터이며 고윳값은 1이다.

평면의 늘이기와 전단을 나타내는 2×2 실수 대칭 행렬. 행렬의 고유 벡터(빨간색 선)는 모든 점이 해당 선 위에서 미끄러지기만 하는 두 개의 특수한 방향이다.

모나리자를 기반으로 한 예시는 간단한 설명을 제공한다. 그림의 각 점은 그림의 중심에서 해당 점을 가리키는 벡터로 나타낼 수 있다. 이 예시의 선형 변환은 전단 매핑이라고 한다. 상반부에 있는 점은 오른쪽으로 이동하고 하반부에 있는 점은 그림의 가운데를 통과하는 수평 축으로부터의 거리에 비례하여 왼쪽으로 이동한다. 따라서 원래 이미지의 각 점을 가리키는 벡터는 변환에 의해 오른쪽 또는 왼쪽으로 기울어지고 길어지거나 짧아진다. 이 변환을 적용할 때 수평 축을 따라 있는 점은 전혀 움직이지 않는다. 따라서 수직 성분 없이 오른쪽 또는 왼쪽을 직접 가리키는 모든 벡터는 이 변환의 고유 벡터이다. 왜냐하면 매핑이 방향을 변경하지 않기 때문입니다. 또한, 이러한 고유 벡터는 모두 1과 같은 고윳값을 갖는다. 왜냐하면 매핑이 길이도 변경하지 않기 때문이다.

선형 변환은 다양한 형태를 취할 수 있으며, 다양한 벡터 공간에서 벡터를 매핑할 수 있으므로 고유 벡터도 다양한 형태를 취할 수 있다. 예를 들어, 선형 변환은

\tfrac{d}{dx}

와 같은 미분 연산자일 수 있으며, 이 경우 고유 벡터는

\frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}.

와 같이 해당 미분 연산자에 의해 스케일링되는 고유함수라고 하는 함수이다. 또는 선형 변환은 ''n'' x ''n'' 행렬의 형태를 취할 수 있으며, 이 경우 고유 벡터는 ''n'' x 1 행렬이다. 선형 변환이 ''n'' x ''n'' 행렬 ''A''의 형태로 표현되는 경우, 위의 선형 변환에 대한 고유값 방정식은 행렬 곱셈

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,

으로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 고유 벡터 ''v''는 ''n'' x 1 행렬이다. 행렬의 경우, 고윳값과 고유 벡터는 행렬을 분해하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어 대각화를 통해 분해할 수 있다.

고윳값과 고유 벡터는 많은 밀접하게 관련된 수학적 개념을 낳으며, 접두사 ''eigen-''은 이름을 지정할 때 자유롭게 적용된다.

유클리드 벡터 및 행렬(수학)도 참조

고윳값과 고유 벡터는 행렬에 초점을 맞춘 선형대수학 과정의 맥락에서 학생들에게 자주 소개된다.^[3]^[4]

또한, 유한 차원 벡터 공간에 대한 선형 변환은 행렬을 사용하여 표현될 수 있으며, 이는 특히 수치 및 계산 응용 분야에서 흔히 사용된다.

3. 1. 고유 공간

고윳값 λ의 고유 공간은 그 고윳값에 해당하는 고유 벡터들과 영벡터로 구성되는 부분 벡터 공간이다. 이는 선형 변환

T-\lambda I

의 핵으로 정의된다.^[5] 즉, 다음 식으로 표현할 수 있다.

:

V_\lambda=\{v\in V\colon Tv=\lambda v\}

행렬 ''A''의 특정 고유값 ''λ''에 대해, 집합 ''E''는 다음 방정식을 만족하는 모든 벡터 '''v'''로 정의된다.

:

E = \left\{\mathbf{v} : \left(A - \lambda I\right) \mathbf{v} = \mathbf{0}\right\}.

이 집합 ''E''는 정확히 행렬 (''A'' − ''λI'')의 커널 또는 영공간이다. 정의에 의해 이 조건을 만족하는 모든 비영 벡터는 ''λ''와 관련된 ''A''의 고유 벡터이다. 따라서 집합 ''E''는 영벡터와 ''λ''와 관련된 ''A''의 모든 고유 벡터 집합의 합집합이며, (''A'' − ''λI'')의 영공간과 같다. ''E''는 ''λ''와 관련된 ''A''의 고유 공간 또는 특성 공간이라고 한다.

고유 공간 ''E''는 선형 부분 공간이므로 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다. 즉,

두 벡터 '''u''', '''v''' ∈ ''E'' 이면, '''u''' + '''v''' ∈ ''E'' 이다. (행렬 곱셈의 분배 법칙으로 확인)
'''v''' ∈ ''E'' 이고 ''α''가 복소수이면, (''α'''''v''') ∈ ''E'' 이다. (복소수 곱셈의 교환성으로 확인)

''λ''와 관련된 고유 공간 ''E''의 차원, 즉 ''λ''와 관련된 선형 독립 고유 벡터의 최대 개수를 고유값의 기하학적 중복도

\gamma_A(\lambda)

라고 한다. ''E''는 (''A'' − ''λI'')의 영공간이므로, ''λ''의 기하학적 중복도는 (''A'' − ''λI'')의 영공간의 차원, 즉 (''A'' − ''λI'')의 ''nullity''이며, (''A'' − ''λI'')의 차원과 계수와 관련이 있다.

:

\gamma_A(\lambda) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I).

고유값의 기하학적 중복도는 최소 1이며, 대수적 중복도를 초과할 수 없다. 또한, 고유값의 대수적 중복도는 ''n''을 초과할 수 없다.

:

1 \le \gamma_A(\lambda) \le \mu_A(\lambda) \le n

A

가

d \leq n

개의 서로 다른 고유값

\lambda_1, \ldots, \lambda_d

를 가지며,

\lambda_i

의 기하학적 중복도가

\gamma_A (\lambda_i)

라고 할 때,

A

의 총 기하학적 중복도는 다음과 같다.

:

\begin{align}\gamma_A &= \sum_{i=1}^d \gamma_A(\lambda_i), \\d &\le \gamma_A \le n,\end{align}

이는

A

의 고유값의 모든 고유 공간의 합의 차원, 즉

A

의 선형 독립 고유 벡터의 최대 개수이다.

만약

\gamma_A=n

이면,

$A$ 의 모든 고유값의 고유 공간의 직접 합은 전체 벡터 공간 $\mathbb{C}^n$ 이다.
$\mathbb{C}^n$ 의 기저는 $A$ 의 $n$ 개의 선형 독립 고유 벡터로부터 형성될 수 있으며, 이러한 기저를 '''고유 기저'''라고 한다.
$\mathbb{C}^n$ 의 모든 벡터는 $A$ 의 고유 벡터의 선형 조합으로 작성할 수 있다.

''T''의 고유 공간은 항상 직합을 이룬다. 결과적으로, ''다른'' 고유값의 고유벡터는 항상 선형 독립적이다. 따라서 고유 공간의 차원들의 합은 ''T''가 작용하는 벡터 공간의 차원 ''n''을 초과할 수 없으며, ''n''개보다 많은 서로 다른 고유값이 있을 수 없다.

선형 공간 위의 선형 변환

A

에 대해, 고유값

\lambda

에 대한 고유 공간

W(\lambda)

는 다음 식으로 나타낼 수 있다 (

Ker

는 핵,

I

는 항등 변환).

:

W(\lambda) = \operatorname{Ker} (\lambda I-A)

고유 공간의 차원을 그 고유값의 '''기하학적 중복도'''라고 하며,

n

차 정방 행렬

A

의 고유값

\lambda

의 기하학적 중복도는 다음 식으로 구할 수 있다.

:

\dim W(\lambda)=n-\operatorname{rank}(\lambda I-A)

3. 2. 고유 다항식

라이프니츠 공식을 사용하면, 방정식 (3)의 좌변은 변수 ''λ''에 대한 다항식 함수이며, 이 다항식의 차수는 행렬 ''A''의 차수 ''n''이다. 그 계수는 ''A''의 각 성분에 의존하며, ''n''차 항은 항상 (−1)^''n''''λ''^''n''이다. 이 다항식을 ''A''의 '''특성 다항식'''이라고 부른다. 방정식 (3)은 ''A''의 ''특성 방정식'' 또는 ''고유 방정식''이라고 불린다.^[2]

대수학의 기본 정리에 따르면, ''n''×''n'' 행렬 ''A''의 특성 다항식은 차수가 ''n''인 다항식이므로, 다음과 같이 ''n''개의 선형 항의 곱으로 인수분해될 수 있다.^[2]

:

\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda),

여기서 각 ''λ''_''i''는 실수일 수 있지만 일반적으로 복소수이다. 서로 다른 값을 가질 수 없는 숫자 ''λ''₁, ''λ''₂, ..., ''λ''_''n''은 다항식의 근이며, ''A''의 고윳값이다.^[2]

행렬 ''A''의 모든 성분이 실수인 경우, 특성 다항식의 계수도 실수이지만, 고윳값은 여전히 0이 아닌 허수 부분을 가질 수 있다. 따라서 해당 고유 벡터의 성분도 0이 아닌 허수 부분을 가질 수 있다. 마찬가지로, ''A''의 모든 성분이 유리수이거나 심지어 정수이더라도 고윳값은 무리수일 수 있다. 그러나, ''A''의 성분이 모두 대수적 수인 경우(유리수 포함), 고윳값도 반드시 대수적 수여야 한다.^[2]

실계수를 갖는 실수 다항식의 비실수 근은 켤레 복소수 쌍으로 묶일 수 있는데, 각 쌍의 두 멤버는 허수 부분의 부호만 다르고 실수 부분은 같다. 차수가 홀수이면, 중간값 정리에 의해 적어도 하나의 근은 실수이다. 따라서, 홀수 차수의 모든 실수 행렬은 적어도 하나의 실수 고윳값을 가지며, 짝수 차수의 실수 행렬은 실수 고윳값을 갖지 않을 수 있다. 이러한 복소 고윳값과 관련된 고유 벡터도 복소수이며, 켤레 복소수 쌍으로 나타난다.^[2]

체의 원소를 성분으로 하는 n차 정사각 행렬 A의 고윳값은 체 위에 존재하지 않을 수도 있다. 이 사실을 포함하여, 고윳값은 다음과 같이 구할 수 있다.^[2]

A의 고윳값 λ가 만족해야 하는 조건은,^[2]

:

A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

즉,

:

(\lambda I-A) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{o}

를 만족하는 x ≠ o 가 존재하는 것이다. 단, I는 단위 행렬이다.^[2]

선형 방정식・행렬식의 이론으로부터, 이 조건은^[2]

:

\det(\lambda I-A)=0

이 된다. 이 방정식을 '''고유 방정식''' (또는 '''특성 방정식''')이라고 한다. 고유 방정식은 λ에 대한 n차 대수 방정식이며, A는 이 방정식의 해로서, 중복도 ('''대수적 중복도''')를 포함하여 (기초체의 대수적 폐포 위에서) n개의 고윳값을 가짐을 알 수 있다.^[2]

3. 3. 기하적 중복도와 대수적 중복도

고윳값

\lambda

의 기하적 중복도는 그 고유 공간의 차원이며, 대수적 중복도는 고유 다항식의 근

x=\lambda

의 중복도이다.

행렬 ''A''의 고유값 ''λ''_''i''의 대수적 중복도 ''μ''_''A''(''λ''_''i'')는 특성 다항식의 근으로서의 중복도이다. 즉, (''λ'' − ''λ''_''i'')^''k''가 그 다항식을 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 정수 ''k''이다.

행렬 ''A''의 차원이 ''n''이고 서로 다른 고유값이 ''d'' ≤ ''n''개 있다고 가정하면, 특성 다항식은 각 고유값에 해당하는 ''d''개의 항의 곱으로 나타낼 수 있으며, 각 항은 대수적 중복도의 거듭제곱으로 표현된다.

:

\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_1)}(\lambda_2 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_2)} \cdots (\lambda_d - \lambda)^{\mu_A(\lambda_d)}.

각 고유값의 대수적 중복도의 크기는 차원 ''n''과 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\begin{align}1 &\leq \mu_A(\lambda_i) \leq n, \\\mu_A &= \sum_{i=1}^d \mu_A\left(\lambda_i\right) = n.\end{align}

만약 ''μ''_''A''(''λ''_''i'') = 1이면, ''λ''_''i''를 ''단순 고유값''이라고 한다. 만약 ''μ''_''A''(''λ''_''i'')가 ''λ''_''i''의 기하학적 중복도 ''γ''_''A''(''λ''_''i'')와 같으면, ''λ''_''i''를 ''반단순 고유값''이라고 한다.

A

의 고윳값

\lambda

에 대한 고유 방정식은 다음과 같다.

:

\det(\lambda I-A)=0

이 방정식은

\lambda

에 대한

n

차 대수 방정식이며,

A

는 이 방정식의 해로서, 중복도 (대수적 중복도)를 포함하여

n

개의 고윳값을 가진다.

3. 4. 스펙트럼

선형대수학에서, 선형 변환의 '''스펙트럼'''은 중복도를 고려한 고윳값들의 집합이다.

행렬의 스펙트럼은 고윳값 목록이며, 중복도를 고려하여 반복된다. 다른 표기법으로는 고윳값 집합과 그 중복도가 있다.

만약 ''λ''가 ''T''의 고윳값이라면, 연산자 (''T'' − ''λI'')는 일대일이 아니므로 역(''T'' − ''λI'')⁻¹는 존재하지 않는다. 유한 차원 벡터 공간에서는 역이 성립하지만, 무한 차원 벡터 공간에서는 성립하지 않는다. 일반적으로 ''λ''가 고윳값이 아니더라도 연산자 (''T'' − ''λI'')는 역을 가질 수 없다.

이러한 이유로, 함수해석학에서 고윳값은 모든 스칼라 ''λ''의 집합인 선형 연산자의 스펙트럼 ''T''로 일반화되며, 여기서 연산자 (''T'' − ''λI'')는 유계 역을 갖지 않는다. 연산자의 스펙트럼은 항상 모든 고윳값을 포함하지만, 고윳값에 국한되지는 않는다.

선형 공간(유한 차원일 필요는 없다) 위의 선형 변환 A에 대해, 다음 방정식을

:

A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}

만족하는 영벡터가 아닌 벡터 x와 스칼라 λ가 존재할 때, x를 A의 '''고유 벡터(오른쪽 고유 벡터)''', λ를 A의 '''고유값'''이라고 부른다.

선형 변환 A의 고유 벡터 x는 A에 의해 사상되어도 그 방향은 변하지 않고, 상수배만 되는 영향을 받는(확대율이 1이면 전혀 영향을 받지 않는) 벡터이며, 영벡터가 아닌 것을 말한다.
* V가 함수 공간인 경우에는, 고유 벡터를 '''고유 함수'''라고도 한다.
선형 변환 A의 '''고유값'''은 고유 벡터의 A에 의한 확대율(위의 λ)을 말한다.

공간의 선형 변환(회전, 반사, 확대·축소, 전단 및 이들의 임의의 합성)은 그것이 벡터에 대해 일으키는 영향에 의해 시각화할 수 있다. 벡터는 한 점에서 다른 점으로 향하는 화살표로 시각화된다.

선형 변환 A의 고유값 λ에 대한 그 고유 벡터 및 영벡터는 부분 선형 공간을 이루며, 이를 '''고유 공간'''이라고 한다. 고유값 λ의 고유 공간 W(λ)는 다음 식으로 나타낼 수 있다(Ker는 핵, I는 항등 변환을 나타낸다):

:

W(\lambda) = \operatorname{Ker} (\lambda I-A)

고유 공간의 차원을 그 고유값의 '''기하학적 중복도'''라고 한다. n차 정방 행렬 A의 고유값 λ의 기하학적 중복도는 다음 식으로 구할 수 있다.

:

\dim W(\lambda)=n-\operatorname{rank}(\lambda I-A)

유한 차원 벡터 공간 위의 선형 변환의 스펙트럼은 그 변환의 고유값 전체의 집합을 말한다. 무한 차원인 경우에는 조금 더 복잡해지고, 스펙트럼의 개념은 그 벡터 공간의 위상에 의존한다.

3. 5. 고유 기저

선형 변환 $T$의 '''고유 기저'''(固有基底, eigenbasis^영어)는 $T$의 고유 벡터들로 구성된 $V$의 기저이다. 고유 기저는 항상 존재하지는 않으나, $V$가 유한 차원 복소수 벡터 공간이고 $T$가 에르미트 연산자인 경우 존재한다. 고유 기저가 존재하는 선형 변환을 '''대각화 가능 선형 변환'''(對角化可能線型變換, diagonalizable linear transformation^영어)이라고 한다. 이는 선형 변환의 어떤 (모든) 행렬이 대각화 가능 행렬인 것과 동치이다.

만약 전체 벡터 공간 $V$가 $T$의 고유벡터에 의해 생성될 수 있거나, 모든 $T$의 고유값과 관련된 고유 공간의 직합이 전체 벡터 공간 $V$와 동일하다면, $T$의 선형 독립적인 고유벡터로부터 $V$의 기저를 형성할 수 있는데 이를 '''고유 기저'''라고 한다. $T$가 고유 기저를 허용할 때, $T$는 대각화 가능하다.

3. 6. 행렬

정사각 행렬은 선형 변환으로 볼 수 있기 때문에, 고윳값과 고유 벡터 개념이 적용된다.^[1] 이러한 개념은 닮음 불변 성질을 갖는다.

''n''×''n'' 정사각 행렬 A와 길이가 n인 영벡터가 아닌 v를 생각해보자. A에 v를 곱한 결과(Av)가 단순히 v의 크기를 λ라는 스칼라만큼 조절하는 것이라면, v는 A의 고유 벡터이고, λ는 해당 고유값이다. 이 관계는 다음 식으로 표현할 수 있다.

:

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

행렬 ''A''는 벡터 '''x'''를 늘리는 방식으로 작용하며 방향을 변경하지 않으므로 '''x'''는 ''A''의 고유 벡터이다.

예를 들어, 다음과 같은 3차원 벡터를 생각할 수 있다.

:

\mathbf x = \begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}\quad\mbox{and}\quad \mathbf y = \begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}.

이 벡터들은 서로 스칼라 곱 관계이며, 평행 또는 공선이다. 스칼라 λ가 존재하여

\mathbf x = \lambda \mathbf y.

를 만족하며, 이 경우

\lambda = -\frac{1}{20}

이다.

이제 n x n 행렬 A로 정의된 n차원 벡터의 선형 변환을 고려해보자.

:

A \mathbf v = \mathbf w,

만약 v와 w가 스칼라 배수 관계에 있다면, 즉

:

A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf v,

v는 선형 변환 A의 고유 벡터이고, λ는 해당 고유 벡터에 해당하는 고윳값이다. 위 식은 행렬 A에 대한 고유값 방정식이다.

위 식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0,

여기서 I는 n x n 항등 행렬이고, 0은 영벡터이다.

위 식은 행렬 (''A'' − ''λI'')의 행렬식이 0일 때, 필요충분으로 0이 아닌 해 ''v''를 갖는다. 따라서 A의 고윳값은 다음 방정식을 만족하는 λ의 값이다.

:

\det(A - \lambda I) = 0

라이프니츠 공식을 사용하면, 위 식의 좌변은 변수 λ에 대한 다항식 함수이며, 이 다항식의 차수는 행렬 A의 차수 n이다. 이 다항식을 A의 특성 다항식이라고 부른다. 위 식은 A의 특성 방정식 또는 고유 방정식이라고 불린다.

대수학의 기본 정리에 따르면, n x n 행렬 A의 특성 다항식은 n차 다항식이므로, n개의 선형 항의 곱으로 인수분해될 수 있다.

:

\det(A - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda),

여기서 각 λ_''i''는 실수일 수 있지만, 일반적으로 복소수이다. 서로 다른 값을 가질 수 없는 숫자 λ₁, λ₂, ..., λ_n은 다항식의 근이며, A의 고윳값이다.

행렬 A의 모든 성분이 실수인 경우, 특성 다항식의 계수도 실수이지만, 고윳값은 여전히 0이 아닌 허수 부분을 가질 수 있다. 마찬가지로 A의 모든 성분이 유리수이거나 정수이더라도 고윳값은 무리수일 수 있다. 그러나 A의 성분이 모두 대수적 수인 경우(유리수 포함), 고윳값도 반드시 대수적 수여야 한다.

실계수를 갖는 실수 다항식의 비실수 근은 켤레 복소수 쌍으로 묶일 수 있다. 차수가 홀수이면, 중간값 정리에 의해 적어도 하나의 근은 실수이다. 따라서 홀수 차수의 모든 실수 행렬은 적어도 하나의 실수 고윳값을 가지며, 짝수 차수의 실수 행렬은 실수 고윳값을 갖지 않을 수 있다.

행렬의 '''스펙트럼'''은 고윳값 목록이며, 중복도를 고려하여 반복된다.

4. 성질

체 $K$ 에 대한 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T\colon V\to V$ 에 대하여, 다음 조건들은 동치이다.

$\lambda$ 가 $T$ 의 고윳값이다.
$\lambda I - T$ 가 특이 행렬이다.
$\det(\lambda I - T)=0$ , 즉 $\lambda$ 가 고유 다항식의 근이다.

만약

T

가 유한 차원 벡터 공간

V

위의 선형 변환이라면, 그 고유 공간들은 선형 독립이다. 즉,

:

\dim\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}V_\lambda=\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}\dim V_\lambda

n{\times}n

행렬

A

에

\mathbf{v}

를 곱한 결과(

A\mathbf{v}

)가 단순히

\mathbf{v}

를

\lambda

라는 스칼라만큼 크기를 조절하는 것이라면, 이 관계는

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

로 표현할 수 있다.^[1]

''n''×''n'' 정사각 행렬과 ''n''차원 벡터 공간에서 자기 자신으로의 선형 변환 사이에는 벡터 공간의 기저가 주어지면 직접적인 대응 관계가 있다. 따라서 유한 차원 벡터 공간에서 고윳값과 고유 벡터를 행렬의 언어 또는 선형 변환의 언어를 사용하여 정의하는 것은 동일하다.

4. 1. 대각화 가능 선형 변환

선형 변환 $T$의 고유 기저는 $T$의 고유 벡터들로 구성된 $V$의 기저이다. 고유 기저는 항상 존재하지는 않지만, $V$가 유한 차원 복소수 벡터 공간이고 $T$가 에르미트 연산자인 경우 등에는 존재한다. 고유 기저가 존재하는 선형 변환을 대각화 가능 선형 변환이라고 하며, 이는 선형 변환의 어떤 행렬이 대각화 가능 행렬인 것과 같다.

유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T\colon V\to V$에 대하여, 다음 조건들은 서로 같은 의미를 지닌다.

$T$는 대각화 가능하다. (즉, $T$의 고유 기저가 존재한다.)
$T$의 고유 다항식이 일차 다항식의 곱이며, 고윳값의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같다.
$\dim V=\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}\dim V_\lambda$
$V=\bigoplus_{\lambda\in\operatorname{Spec}(T)}V_\lambda$

만약 ''A''의 고유 벡터들이 기저를 형성하거나, ''A''가 연관된 고유값 ''λ''₁, ''λ''₂, ..., ''λ''_''n''과 함께 ''n''개의 선형 독립적인 고유 벡터 '''v'''₁, '''v'''₂, ..., '''v'''_''n''를 가진다면, ''Q''를 ''A''의 ''n''개의 선형 독립적인 고유 벡터를 열로 하는 정사각 행렬로 정의할 수 있다.

: $Q = \begin{bmatrix} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \cdots & \mathbf v_n \end{bmatrix}.$

이때, ''A''에 ''Q''를 곱하면 ''Q''의 각 열은 연관된 고유값으로 스케일링된다.

: $AQ = \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf v_1 & \lambda_2 \mathbf v_2 & \cdots & \lambda_n \mathbf v_n \end{bmatrix}.$

각 대각선 요소 Λ_''ii''가 ''Q''의 ''i''번째 열과 연관된 고유값인 대각 행렬 Λ를 정의하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $AQ = Q\Lambda.$

''Q''의 열들이 선형 독립이므로 ''Q''는 가역적이다. 따라서,

: $A = Q\Lambda Q^{-1}$, 또는 $Q^{-1}AQ = \Lambda.$

와 같이 ''A''를 고유 벡터로 구성된 행렬, 대각선에 고유값을 가진 대각 행렬, 그리고 고유 벡터 행렬의 역행렬로 분해할 수 있다. 이를 고유값 분해라고 하며, 유사 변환의 일종이다. 이러한 행렬 ''A''는 대각 행렬 Λ와 "유사"하거나 "대각화 가능"하다고 한다. 행렬 ''Q''는 유사 변환의 기저 변환 행렬이다.

반대로, 행렬 ''A''가 대각화 가능하다면, ''P''⁻¹''AP''가 어떤 대각 행렬 ''D''가 되게 하는 비특이 정사각 행렬 ''P''가 존재한다. 이 경우 ''P''의 각 열은 ''A''의 고유 벡터여야 하며, 그 고유값은 ''D''의 해당 대각 요소이다. ''P''가 가역적이기 위해서는 ''P''의 열이 선형 독립이어야 하므로, ''A''의 ''n''개의 선형 독립적인 고유 벡터가 존재한다. 즉, ''A''가 대각화 가능할 때에만 ''A''의 고유 벡터가 기저를 형성한다.

대각화할 수 없는 행렬은 결함 행렬이라고 한다. 결함 행렬의 경우, 고유 벡터의 개념은 일반화된 고유 벡터로, 고유값의 대각 행렬은 조르당 표준형으로 일반화된다.

4. 2. 행렬

$n \times n$ 정사각 행렬의 고윳값의 개수는 (대수적 중복도를 고려하면) $n$ 개이다.

::

|\operatorname{Spec}(M)|=n

정사각 행렬의 대각합 $({tr})$ 은 그 고윳값들의 합과 같고, 정사각 행렬의 행렬식 $(\det)$ 은 고윳값들의 곱과 같다.

::

\operatorname{tr}M=\sum\operatorname{Spec}(M)

::

\det M=\prod\operatorname{Spec}(M)

모든 양의 정수 $k$ 에 대하여, $M^k$ 의 고윳값은 $M$ 의 고윳값들의 $k$ 제곱이다.

::

\operatorname{Spec}(M^k)=\operatorname{Spec}(M)^k=\{\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dotsc,\lambda_n^k\}

만약 $M$ 이 가역 행렬이라면, 위 성질은 모든 정수 $k$ 에 대해서도 성립한다.
유니터리 행렬의 고윳값의 절댓값은 모두 1이다.

::

MM^*=M^*M=I\implies|\lambda_1|=|\lambda_2|=\cdots=1

에르미트 행렬의 고윳값은 모두 실수이다.

::

M=M^*\implies\lambda_1,\lambda_2,\dots\in\mathbb R

삼각 행렬의 고윳값들은 그 대각선의 원소들이다.

::

(i

고윳값들이 모두 서로 다를 때, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터는 선형 독립이다.^[21]

5. 예

고윳값과 고유 벡터는 행렬을 중심으로 하는 선형대수학 과정에서 자주 소개된다.^[3]^[4] 유한 차원 벡터 공간에 대한 선형 변환은 행렬을 사용하여 표현할 수 있으며, 이는 수치 및 계산 응용 분야에서 흔히 사용된다.

n차원 벡터는 n개의 스칼라 목록으로 구성된다. 예를 들어, 3차원 벡터는 다음과 같다.

: $\mathbf x = \begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}\quad\mbox{and}\quad \mathbf y = \begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}.$

이 벡터들은 서로 스칼라 곱 관계이며, 평행 또는 공선이라고 한다. 스칼라 λ가 존재하여 $\mathbf x = \lambda \mathbf y$ 를 만족하며, 이 경우 $\lambda = -\frac{1}{20}$ 이다.

n x n 행렬 A로 정의된 n차원 벡터의 선형 변환을 고려하면,

: $A \mathbf v = \mathbf w,$

또는

: $\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n\end{bmatrix}$

여기서 각 행에 대해,

: $w_i = A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n = \sum_{j = 1}^n A_{ij} v_j.$

이다.

만약 v와 w가 스칼라 배수 관계에 있다면, 즉,

: $A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf v,$

라면, v는 선형 변환 A의 '''고유 벡터'''이고, 스케일 팩터 λ는 해당 고유 벡터에 해당하는 '''고윳값'''이다. 이 식은 행렬 A에 대한 '''고유값 방정식'''이다.

위 식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0,$

여기서 I는 n x n 항등 행렬이고 '''0'''은 영 벡터이다.

계산 실례정사각 행렬의 고윳값과 고유 벡터는 보통 (특히 행렬의 크기가 작은 경우) 고유 다항식을 통해 계산된다. 구체적으로, 고유 다항식을 구하고, 근을 구하고, 각 근에 대응하는 선형 방정식을 풀이한다. 큰 행렬에 대해서는 고유 다항식이 복잡해지므로 수치적 방법을 통해 근사적으로 구하기도 한다.

예를 들어, 실수 행렬

:

A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}

의 고윳값과 고유 벡터를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선

A

의 고유 다항식을 구한다.

:

\begin{align}\det(xI-A)&=\det\begin{pmatrix}x-1&-2&-2\\-2&x-1&-2\\-2&-2&x-1\end{pmatrix}\\&=(x+1)^2(x-5)\end{align}

근

x=-1,5

가 곧

A

의 고윳값이다. 고윳값

x=-1

에 대한 선형 방정식의 계수 행렬을 구한다.

:

-I-A=\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-2&-2&-2\\-2&-2&-2\end{pmatrix}

이에 대한 해공간은 다음과 같은 기저로 선형 생성됨을 알 수 있다.

:

b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

:

b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}

비슷하게, 고윳값

x=5

에 대한 선형 방정식의 계수 행렬은

:

5I-A=\begin{pmatrix}4&-2&-2\\-2&4&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}

이고, 해공간의 기저는

:

b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

이다.

행렬

:

A = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}

를 고려해보자.

이 변환의 고유 벡터 ''v''는

:

A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf v,

를 만족하며, 행렬(''A'' − ''λI'')의 행렬식이 0이 되는 ''λ'' 값은 고유값이다.

행렬식을 사용하여 ''A''의 특성 다항식을 찾으면,

:

\begin{align}\det(A - \lambda I)&= \left|\begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}\right| = \begin{vmatrix}2 - \lambda & 1 \\1           & 2 - \lambda\end{vmatrix} \\[6pt]&= 3 - 4\lambda + \lambda^2 \\[6pt]&= (\lambda - 3)(\lambda - 1).\end{align}

특성 다항식을 0으로 설정하면

\lambda = 3

과

\lambda = 1

에서 근을 가지며, 이는 ''A''의 두 고유값이다.

\lambda = 1

에 대해

:

(A - I)\mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}

:

1v_1 + 1v_2 = 0

''v''₁ = −''v''₂인 모든 0이 아닌 벡터가 이 방정식을 푼다. 따라서

:

\mathbf{v}_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} v_1 \\ -v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

는 ''λ'' = 1에 해당하는 ''A''의 고유 벡터이며, 이 벡터의 임의의 스칼라 배수도 고유 벡터이다.

\lambda = 3

에 대해

:

\begin{align}(A - 3I)\mathbf{v}_{\lambda=3} &=\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\

1v_1 + 1v_2 &= 0;\\

1v_1 - 1v_2 &= 0\end{align}

''v''₁ = ''v''₂인 모든 0이 아닌 벡터가 이 방정식을 푼다. 따라서

:

\mathbf v_{\lambda=3} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

는 ''λ'' = 3에 해당하는 ''A''의 고유 벡터이며, 이 벡터의 임의의 스칼라 배수도 고유 벡터이다.

따라서 벡터 '''v'''_''λ''=1과 '''v'''_''λ''=3은 각각 고유값

\lambda = 1

과

\lambda = 3

에 관련된 ''A''의 고유 벡터이다.

다음 행렬을 고려해 보자.

:

A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 4 \\0 & 4 & 9\end{bmatrix}.

''A''의 특성 다항식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\det(A - \lambda I) &= \left|\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 4 \\0 & 4 & 9\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right| =\begin{vmatrix}2 - \lambda & 0 & 0 \\0 & 3 - \lambda & 4 \\0 & 4 & 9 - \lambda\end{vmatrix}, \\[6pt]&= (2 - \lambda)\bigl[(3 - \lambda)(9 - \lambda) - 16\bigr]= -\lambda^3 + 14\lambda^2 - 35\lambda + 22.\end{align}

특성 다항식의 근은 2, 1, 11이며, 이는 ''A''의 유일한 세 개의 고윳값이다. 이 고윳값들은

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\textsf{T}

,

\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}^\textsf{T}

및

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\textsf{T}

또는 이들의 임의의 0이 아닌 배수에 해당하는 고유 벡터에 해당한다.
고윳값 없음고윳값을 갖지 않는 실수 행렬의 예로는 (시계 방향) 90도 회전변환의 행렬

:A^영어 = --

가 있다. A^영어의 고유 다항식은

:

이므로, 실수 행렬로서는 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로서는 한 쌍의 켤레 복소수 를 고윳값으로 갖는다. 이들에 대응하는 고유 벡터는 물론 허수 벡터이다.^[1]
고유 함수실수 무한 번 미분 가능 함수들의 벡터 공간

C^\infty(\R)

위의 미분 연산자

:

\frac{d}{dx}\colon C^\infty(\R)\to C^\infty(\R)

은 선형 변환이다.

\frac{d}{dx}

의 고유 함수 및 고윳값 튜플

(f,\lambda)\in C^\infty(\R)\times\R

는 다음을 만족시켜야 한다.

:

\frac{df}{dx}=\lambda f

이 경우 모든

\lambda\in\R

이 고윳값이며,

\lambda

에 대응하는 (유일한 유형의) 고유 함수는 지수 함수

:

f(x)=ce^{\lambda x}\quad(c\ne0)

이다. (

\lambda=0

인 경우, 이는 0이 아닌 상수 함수이다.)^[8]

선형 변환 ''T''의 고윳값과 고유 벡터의 정의는 힐베르트 또는 바나흐 공간이 무한 차원인 경우에도 유효하다. 무한 차원 공간에서 작용하는 널리 사용되는 선형 변환의 한 종류는 함수 공간에 대한 미분 연산자이다. ''D''를 실수 인자 ''t''의 무한히 미분 가능한 실수 함수 공간 '''C'''^∞에 대한 선형 미분 연산자라고 하자. ''D''에 대한 고윳값 방정식은 다음의 미분 방정식이다.

:

D f(t) = \lambda f(t)

이 방정식을 만족하는 함수는 ''D''의 고유 벡터이며 일반적으로 '''고유함수'''라고 한다.

미분 연산자

\tfrac{d}{dt}

를 고윳값 방정식

:

\frac{d}{dt}f(t) = \lambda f(t).

로 고려해 보자.

이 미분 방정식은 양변에 ''dt''/''f''(''t'')를 곱하고 적분하여 풀 수 있다. 이 방정식의 해인 지수 함수

:

f(t) = f(0)e^{\lambda t},

는 미분 연산자의 고유 함수이다. 이 경우 고유 함수는 관련된 고윳값의 함수 자체이다. 특히 ''λ'' = 0일 때 고유 함수 ''f''(''t'')는 상수이다.^[9]

벡터 공간은 2차원이나 3차원의 기하학적인 공간만 있는 것은 아니다. 또 다른 예로, 현악기의 현과 같이 양쪽 끝이 고정된 끈을 생각해 보자. 이 끈이 진동할 때, 끈 위의 각 원자가 끈이 팽팽하게 펴졌을 때의 위치(평형 위치)에서 움직인 거리(변위)는, 끈을 구성하는 원자의 개수만큼의 차원을 갖는 벡터의 구성 부분으로 나타낼 수 있다. 이 끈이 연속적인 물체로 되어 있다고 가정하자. 이때, 끈의 각 점의 가속도를 나타내는 식(운동 방정식)을 생각하면, 그 고유 벡터(더 정확하게는 고유함수)는 정상파가 된다.

정상파에서는 끈의 가속도와 끈의 변위가 항상 일정한 비례 계수로 비례한다. 그 비례 계수가 고유값이다. 그 값은 각진동수를 ω 라고 하면, −ω² 와 같다.

정상파는 시간에 따라 사인적인 진폭으로 신축하지만, 기본적인 형태는 변하지 않는다.

기하학적 변환의 고유값
	크기 변환	불균등 크기 변환	회전	수평 전단	쌍곡 회전
그림	등배 크기 변환	단위 정사각형의 수직 축소 및 수평 늘이기	50도 회전	수평 전단 사상
행렬	$\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & k\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix}\cosh\varphi & \sinh\varphi\\ \sinh\varphi & \cosh\varphi\end{bmatrix}$
특성 다항식	$\ (\lambda - k)^2$	$(\lambda - k_1)(\lambda - k_2)$	$\lambda^2 - 2\cos(\theta)\lambda + 1$	$\ (\lambda - 1)^2$	$\lambda^2 - 2\cosh(\varphi)\lambda + 1$
고유값, $\lambda_i$	$\lambda_1 = \lambda_2 = k$	$\begin{align}\lambda_1 &= k_1 \\ \lambda_2 &= k_2\end{align}$	$\begin{align}\lambda_1 &= e^{i\theta} \\ &= \cos\theta + i\sin\theta \\ \lambda_2 &= e^{-i\theta} \\ &= \cos\theta - i\sin\theta \end{align}$	$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$	$\begin{align}\lambda_1 &= e^\varphi \\ &= \cosh\varphi + \sinh\varphi \\ \lambda_2 &= e^{-\varphi} \\ &= \cosh\varphi - \sinh\varphi \end{align}$
대수적 중복도, $\mu_i = \mu(\lambda_i)$	$\mu_1 = 2$	$\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}$	$\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}$	$\mu_1 = 2$	$\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}$
기하학적 중복도, $\gamma_i = \gamma(\lambda_i)$	$\gamma_1 = 2$	$\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}$	$\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}$	$\gamma_1 = 1$	$\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}$
고유 벡터	모든 0이 아닌 벡터	$\begin{align}$	$\begin{align}$	$\mathbf u_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$	$\begin{align}$

5. 1. 1 × 1 행렬

실수

1 \times 1

행렬 :

A = \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}

의 유일한 고윳값은

a

이며, 이에 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.

5. 2. 2 × 2 행렬

실수

2\times2

행렬

:

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

의 고유 다항식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\det(xI-A)&=\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}\\&=x^2-(a+d)x+(ad-bc)\\&=x^2-\operatorname{tr}Ax+\det A\end{align}

따라서 판별식은 다음과 같다.

:

\Delta=\operatorname{tr}^2A-4\det A

이에 따라,

A

를 실수 행렬로 보는 경우,

$\Delta>0$ 이면, 서로 다른 두 실수 고윳값을 갖는다.
$\Delta=0$ 이면, 유일한 실수 고윳값을 가지며, 그 대수적 중복도는 2이다.
$\Delta<0$ 이면, 실수 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로 보는 경우 서로 다른 두 허수 고윳값을 가지며, 이들은 켤레 복소수이다. 이 경우, 두 허수 고윳값에 대응하는 벡터 역시 실수 벡터가 아니다. (그렇지 않다면, 그 상 역시 실수 벡터이므로, 고윳값이 실수가 된다. 이는 모순이다.)^[3]^[4]

5. 3. 유클리드 공간

다항식

\ (\lambda - k)^2

(\lambda - k_1)(\lambda - k_2)

\lambda^2 - 2\cos(\theta)\lambda + 1

\ (\lambda - 1)^2

\lambda^2 - 2\cosh(\varphi)\lambda + 1

고유값,

\lambda_i

\lambda_1 = \lambda_2 = k

\begin{align}\lambda_1 &= k_1 \\ \lambda_2 &= k_2\end{align}

\begin{align}\lambda_1 &= e^{i\theta} \\ &= \cos\theta + i\sin\theta \\ \lambda_2 &= e^{-i\theta} \\ &= \cos\theta - i\sin\theta \end{align}

\lambda_1 = \lambda_2 = 1

\begin{align}\lambda_1 &= e^\varphi \\ &= \cosh\varphi + \sinh\varphi \\ \lambda_2 &= e^{-\varphi} \\ &= \cosh\varphi - \sinh\varphi \end{align}

대수적 중복도,

\mu_i = \mu(\lambda_i)

\mu_1 = 2

\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}

\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}

\mu_1 = 2

\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}

기하학적 중복도,

\gamma_i = \gamma(\lambda_i)

\gamma_1 = 2

\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}

\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}

\gamma_1 = 1

\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}

고유 벡터모든 0이 아닌 벡터

\begin{align} \begin{align} \mathbf u_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \begin{align}