곱셈적 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 곱셈적 함수
- 2.2. 완전 곱셈적 함수
3. 성질
- 3.1. 연산
- 3.2. 항등식
4. 예
- 4.1. 완전 곱셈적 함수
- 4.2. 곱셈적 함수 (완전 곱셈적 함수가 아닌 함수)
5. 일반화
6. 응용
참조

1. 개요

곱셈적 함수는 정수론적 함수 중 하나로, 두 서로소인 양의 정수의 곱에 대한 함수 값이 각 정수에 대한 함수 값의 곱과 같은 함수를 의미한다. 완전 곱셈적 함수는 모든 양의 정수 쌍에 대해 이러한 성질을 만족하는 함수이다. 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱 값으로 완전히 결정되며, 산술의 기본 정리에 의해 계산의 효율성을 높인다. 곱셈적 함수는 디리클레 곱에 대해 아벨 군을 이루며, 뫼비우스 함수, 오일러 피 함수, 약수 함수 등이 곱셈적 함수의 예시이다. 또한, 곱셈적 함수는 부셰-라마누잔 항등식과 같은 다양한 항등식을 만족하며, 유리 수론적 함수, 다항식 산술 함수, 디리클레 급수 등과 연관되어 연구된다.

더 읽어볼만한 페이지

수론적 함수 - 디리클레 합성곱
디리클레 합성곱은 두 수론적 함수를 이용하여 새로운 수론적 함수를 생성하는 연산으로, n의 모든 양의 약수에 대한 함수값의 곱의 합으로 정의되며, 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 곱셈적 함수의 곱셈성을 보존하며, 디리클레 급수 연구에 활용된다.
수론적 함수 - 체비쇼프 함수
체비쇼프 함수는 소수 분포 연구에 쓰이는 두 종류의 함수로, 제1종 체비쇼프 함수 $\vartheta(x)$ 는 $x$ 이하 소수 $p$ 에 대한 $\log p$ 의 합, 제2종 체비쇼프 함수 $\psi(x)$ 는 $x$ 이하 소수 거듭제곱수 $p^k$ 에 대한 $\log p$ 의 합으로 정의되며, 소수 정리와 리만 제타 함수를 통한 소수 분포 분석에 활용된다.

곱셈적 함수
개요
종류	수론적 함수
성질	곱셈적

2. 정의

정수에서 정의되어 복소수 값을 갖는 함수를 수론적 함수라고 한다. 이 가운데, 곱셈적 성질을 갖는 함수들을 곱셈적 함수라고 한다.^[3]

2. 1. 곱셈적 함수

함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

가 다음 조건을 만족시키면, '''곱셈적 함수'''라고 한다.

임의의 $m,n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, 만약 $\gcd\{m,n\}=1$ 이라면, $f(mn)=f(m)f(n)$ 이다.

함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 곱셈적 함수'''(completely multiplicative function|컴플리틀리 멀티플리커티브 펑션^영어)라고 한다.

임의의 $m,n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $f(mn)=f(m)f(n)$ 이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은

\mathbb Z

의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.^[3]

2. 2. 완전 곱셈적 함수

함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 곱셈적 함수'''(completely multiplicative function^영어)라고 한다.

임의의 $m,n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $f(mn)=f(m)f(n)$ 이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은

\mathbb Z

의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.^[3]

3. 성질

곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱 값에 의해 완전히 결정된다. 이는 산술의 기본 정리의 결과이다. 따라서 ''n''이 서로 다른 소수의 거듭제곱의 곱으로 표현된다면, 예를 들어 ''n'' = ''p''^''a'' ''q''^''b'' ... 와 같이 표현된다면,

:''f''(''n'') = ''f''(''p''^''a'') ''f''(''q''^''b'') ...

이다.

이러한 성질은 계산의 필요성을 줄여준다. 예를 들어 ''n'' = 144 = 2⁴ · 3²인 경우, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$d(144) = \sigma_0(144) = \sigma_0(2^4) \, \sigma_0(3^2) = (1^0 + 2^0 + 4^0 + 8^0 + 16^0)(1^0 + 3^0 + 9^0) = 5 \cdot 3 = 15$

$\sigma(144) = \sigma_1(144) = \sigma_1(2^4) \, \sigma_1(3^2) = (1^1 + 2^1 + 4^1 + 8^1 + 16^1)(1^1 + 3^1 + 9^1) = 31 \cdot 13 = 403$

$\sigma^*(144) = \sigma^*(2^4) \, \sigma^*(3^2) = (1^1 + 16^1)(1^1 + 9^1) = 17 \cdot 10 = 170$

마찬가지로, 다음을 얻을 수 있다.

$\varphi(144) = \varphi(2^4) \, \varphi(3^2) = 8 \cdot 6 = 48$

일반적으로, ''f''(''n'')이 곱셈적 함수이고 ''a'', ''b''가 임의의 두 양의 정수이면, 다음 식이 성립한다.

: ''f''(''a'') · ''f''(''b'') = ''f''(gcd(''a'',''b'')) · ''f''(lcm(''a'',''b'')).

모든 완전 곱셈적 함수는 모노이드의 준동형 사상이며 소수에 대한 제한에 의해 완전히 결정된다.

3. 1. 연산

곱셈적 함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.^[3]

$n\mapsto f(n^k)\qquad(k\in\mathbb Z^+)$
$n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad(k\in\mathbb Z)$

두 개의 곱셈 함수 ''f''와 ''g''가 있을 때, ''f''와 ''g''의 디리클레 곱으로 정의되는 새로운 곱셈 함수

f * g

는 다음과 같이 정의된다.

(f \, * \, g)(n) = \sum_{d|n} f(d) \, g \left( \frac{n}{d} \right)

여기서 합은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해 이루어진다. 이 연산을 통해, 모든 곱셈 함수의 집합은 아벨 군이 되며, 항등원은 ''ε''이다. 곱셈은 교환 가능하고, 결합 가능하며, 덧셈에 대해 분배 법칙이 성립한다.

위에 언급된 곱셈 함수 간의 관계는 다음과 같다.

$\mu * 1 = \varepsilon$ (뫼비우스 반전 공식)
$(\mu \operatorname{Id}_k) * \operatorname{Id}_k = \varepsilon$ (일반화된 뫼비우스 반전)
$\varphi * 1 = \operatorname{Id}$
$d = 1 * 1$
$\sigma = \operatorname{Id} * 1 = \varphi * d$
$\sigma_k = \operatorname{Id}_k * 1$
$\operatorname{Id} = \varphi * 1 = \sigma * \mu$
$\operatorname{Id}_k = \sigma_k * \mu$

디리클레 곱은 일반적인 산술 함수에 대해 정의될 수 있으며, 디리클레 링이라는 링 구조를 생성한다.

두 곱셈 함수의 디리클레 곱은 다시 곱셈 함수가 된다. 이 사실에 대한 증명은 서로소인

a,b \in \mathbb{Z}^{+}

에 대해 다음과 같은 전개를 통해 주어진다.

\begin{align}(f \ast g)(ab)& = \sum_{d|ab} f(d) g\left(\frac{ab}{d}\right) \\&= \sum_{d_1|a} \sum_{d_2|b} f(d_1d_2) g\left(\frac{ab}{d_1d_2}\right) \\&= \sum_{d_1|a} f(d_1) g\left(\frac{a}{d_1}\right) \times \sum_{d_2|b} f(d_2) g\left(\frac{b}{d_2}\right) \\&= (f \ast g)(a) \cdot (f \ast g)(b).\end{align}

3. 2. 항등식

곱셈적 함수

f,g\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.^[3]

$f(1)=1\vee f(x)=k\delta_{1,x}$
$f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname{lcm}\{m,n\})$
$\sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)=\prod_{p\mid n}(1-f(p))$
$\sum_{d\mid n}\mu(d)^2f(d)=\prod_{p\mid n}(1+f(p))$

여기서

\mu

는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수

f\colon A\to\mathbb C

의 정의역

A\subseteq\mathbb Z

이

-1\in A

를 만족하면,

f(-1)=\pm 1

이다.^[3]

n\in\mathbb Z^+

의 소인수 분해가

n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}

일 때, 곱셈적 함수

f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C

에 대하여 다음이 성립한다.^[3]

:

\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j^{a_j}))

:

\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j^{a_j})-f(p_j^{a_j-1}))

추가로

f

가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

:

\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j)^{a_j})

:

\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j)^{a_j}-f(p_j)^{a_j-1})

곱셈 함수 간의 관계는 다음과 같다.

$\mu * 1 = \varepsilon$ (뫼비우스 반전 공식)
$(\mu \operatorname{Id}_k) * \operatorname{Id}_k = \varepsilon$ (일반화된 뫼비우스 반전)
$\varphi * 1 = \operatorname{Id}$
$d = 1 * 1$
$\sigma = \operatorname{Id} * 1 = \varphi * d$
$\sigma_k = \operatorname{Id}_k * 1$
$\operatorname{Id} = \varphi * 1 = \sigma * \mu$
$\operatorname{Id}_k = \sigma_k * \mu$

4. 예

다음은 곱셈적 함수의 예시이다.

$n\mapsto n^k$ ( $k$ 는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수.
* $n\mapsto 1$ : 1을 값으로 하는 상수 함수. ( $k=0$ 인 경우)
* $n\mapsto n$ : 항등 함수. ( $k=1$ 인 경우)
$n\mapsto\delta_{n,1}$ : $n$ 이 1이면 1, 그렇지 않으면 0.
$n\mapsto(n/p)$ ( $p$ 는 소수): 르장드르 기호. $n$ 이 $p$ 의 제곱 잉여이면 1, 제곱 비잉여이면 −1, $p$ 의 배수이면 0.
$n\mapsto\phi(n)$ : 오일러 피 함수. $n$ 보다 작고 $n$ 과 서로소인 양의 정수의 개수
$n\mapsto\mu(n)$ : 뫼비우스 함수. $n$ 이 제곱 인수가 없는 정수이면, 소인수 개수의 홀짝성에 따라 ±1. 제곱 인수가 없는 정수가 아니면 0.
$n\mapsto\sigma_k(n)$ ( $k$ 는 음이 아닌 정수): 약수 함수. $n$ 의 모든 양의 약수의 $k$ 제곱의 합
* $n\mapsto d(n)$ : $n$ 의 모든 양의 약수의 개수 ( $k=0$ 인 경우)
* $n\mapsto \sigma(n)$ : $n$ 의 모든 양의 약수의 합 ( $k=1$ 인 경우)
1(''n''): 1(''n'') = 1인 상수 함수
Id(''n''): Id(''n'') = ''n''인 항등 함수
gcd(''n'',''k''): ''n''과 ''k''의 최대공약수 (''k''는 고정된 정수)
''λ''(''n''): 리우빌 함수, ''λ''(''n'') = (−1)^Ω(''n'') (Ω(''n'')은 ''n''을 나누는 소수의 총 개수, 중복 포함)
''γ''(''n''), ''γ''(''n'') = (−1)^''ω''(n) (''ω''(''n'')은 ''n''을 나누는 서로 다른 소수의 개수)
''τ''(''n''): 라마누잔 타우 함수.
모든 디리클레 문자
폰 망골트 함수 $n\mapsto\Lambda(n)$ : $n$ 이 어떤 소수 $p$ 의 양의 정수 제곱이면 $\ln p$ , 아니면 0. 곱셈적 함수가 아니다.

곱셈적 함수가 아닌 예시:

산술 함수 ''r''₂(''n''): 순서를 고려하여 두 정수의 제곱의 합으로 ''n''을 나타내는 방법의 수. ''r''₂(1) = 4 ≠ 1이므로 곱셈적 함수가 아니다.

4. 1. 완전 곱셈적 함수

다음은 완전 곱셈적 함수인 수론적 함수들이다.

n^영어^k (k^영어는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
* n^영어↦1: 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 k^영어=0인 경우이다.
* n^영어↦n^영어: 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 k^영어=1인 경우이다.
n^영어↦δ_n^영어,1: n^영어이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
n^영어↦(n^영어/p^영어) (p^영어는 소수): 르장드르 기호. n^영어이 p^영어에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 -1을, p^영어의 배수일 경우 0을 취한다.^[1]
Id_''k''(''n''): 모든 복소수 ''k''에 대해 Id_''k''(''n'') = ''n''^''k''로 정의되는 거듭제곱 함수.
* Id₀(''n'') = 1(''n'')
* Id₁(''n'') = Id(''n'')
''ε''(''n''): ''n'' = 1이면 ''ε''(''n'') = 1이고, 그렇지 않으면 0으로 정의되는 함수로, ''디리클레 컨볼루션의 곱셈 단위'' 또는 ''단위 함수''라고도 한다. ''u''(''n'')으로 표기되기도 하지만, ''μ''(''n'')과 혼동해서는 안 된다.
''λ''(''n''): 리우빌 함수, ''λ''(''n'') = (−1)^Ω(''n''). 여기서 Ω(''n'')은 ''n''을 나누는 소수의 총 개수 (중복 포함)이다.
모든 디리클레 문자.
* 고정된 소수 ''p''에 대해 ''n''의 함수로 간주되는 르장드르 기호 (''n''/''p'').

4. 2. 곱셈적 함수 (완전 곱셈적 함수가 아닌 함수)

오일러 피 함수 (φ(''n'')): ''n''보다 작고 ''n''과 서로소인 양의 정수의 개수.^[1]
뫼비우스 함수 (μ(''n'')): ''n''이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, ''n''의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 −1 또는 1을 취한다. ''n''이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우 0을 취한다.^[1]
약수 함수 (σ_''k''(''n'')) (''k''는 음이 아닌 정수): ''n''의 모든 양의 약수의 ''k''제곱의 합.^[1]
* ''d''(''n'') : ''n''의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 ''k''=0인 경우이다.
* σ(''n'') : ''n''의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 ''k''=1인 경우이다.

5. 일반화

산술 함수 $f$ 는 0이 아닌 상수 $c$ 가 존재하여 모든 양의 정수 $m, n$ 에 대해 $(m, n)=1$ 이면 $c f(mn)=f(m)f(n)$ 를 만족하면 준곱셈적이라고 한다. 이 개념은 Lahiri (1972)에서 유래되었다.^[1]

산술 함수 $f$ 는 0이 아닌 상수 $c$ , 양의 정수 $a$ , 곱셈 함수 $f_m$ 이 존재하여 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $f(n)=c f_m(n/a)$ 를 만족하면 반곱셈적이라고 한다. ( $x$ 가 양의 정수가 아닌 경우 $f_m(x)=0$ 이라는 관례에 따라) 이 개념은 David Rearick (1966)에 기인한다.^[2]

산술 함수 $f$ 는 각 소수 $p$ 에 대해 $f_p(0)=1$ 인 음이 아닌 정수에 대한 함수 $f_p$ 가 모든 유한한 소수 $p$ 에 대해 존재하여 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $f(n)=\prod_{p} f_p(\nu_p(n))$ 를 만족하면 Selberg 곱셈적이라고 한다. 여기서 $\nu_p(n)$ 은 $n$ 의 표준 분해에서 $p$ 의 지수이다. Selberg (1977)를 참조하라.^[3]

반곱셈적 함수와 Selberg 곱셈적 함수의 클래스가 일치한다는 것이 알려져 있다. 둘 다 모든 양의 정수 $m, n$ 에 대해 다음 산술적 항등식을 만족한다. Haukkanen (2012)을 참조하라.

: $f(m)f(n)=f((m, n))f([m, n])$

곱셈 함수는 $c=1$ 인 준곱셈 함수이고 준곱셈 함수는 $a=1$ 인 반곱셈 함수임이 잘 알려져 있고 쉽게 알 수 있다.

6. 응용

다변수 함수는 곱셈 모델 추정기를 사용하여 구성할 수 있다. 행렬 함수 ''A''가 다음과 같이 정의될 때

: $D_N = N^2 \times N(N + 1) / 2$

합은 곱에 걸쳐 분포될 수 있다.

: $y_t = \sum(t/T)^{1/2}u_t = \sum(t/T)^{1/2}G_t^{1/2}\epsilon_t$

Σ(.)의 효율적인 추정을 위해 다음 두 가지 비모수 회귀를 고려할 수 있다.

: $\tilde{y}^2_t = \frac{y^2_t}{g_t} = \sigma^2(t/T) + \sigma^2(t/T)(\epsilon^2_t - 1),$

: $y^2_t = \sigma^2(t/T) + \sigma^2(t/T)(g_t\epsilon^2_t - 1).$

따라서 다음과 같은 추정값을 제공한다.

: $L_t(\tau;u) = \sum_{t=1}^T K_h(u - t/T)\begin{bmatrix} ln\tau + \frac{y^2_t}{g_t\tau} \end{bmatrix}$

알려진 $g_t$ 와 알려지지 않은 $\sigma^2(t/T)$ 를 갖는 $y^2_t$ 에 대한 국소 우도 함수와 함께.

참조

_[1] 웹사이트 Keyword:mult - OEIS http://oeis.org/sear[...]
_[2] 논문 数論的関数のつくる体について https://doi.org/10.1[...] 日本数学会
_[3] 서적 初等数论 https://archive.org/[...] 北京大学出版社 2013-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com