구형성

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 하콘 와델의 정의
3. 유도
- 3.1. 구의 표면적 유도
- 3.2. 구형도 공식 유도
4. 특수한 경우
- 4.1. 타원체
5. 주요 물체의 구형도
참조

1. 개요

구형성은 1935년 하콘 와델에 의해 정의된 개념으로, 동일한 부피를 가진 구의 표면적에 대한 물체의 표면적 비율을 나타낸다. 구의 구형도는 1이며, 구가 아닌 모든 모양은 1보다 작은 구형성을 갖는다. 구형성은 수학적 공식과 유도를 통해 계산되며, 타원체와 같은 특정 물체의 구형도를 계산하는 데에도 사용된다. 다양한 기하학적 물체의 구형도 값을 표로 제시한다.

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구형성
개요
정의	구형도는 입자의 공 모양에 대한 척도이다.
설명	구형도는 공과 동일한 부피를 가진 구의 표면적과 입자 표면적의 비율로 정의된다.
Wadell의 구형도
정의	Wadell의 구형도 (Ψ)는 입자와 동일한 부피를 가진 구의 표면적과 입자의 실제 표면적의 비율로 정의된다.
공식	Ψ = Sp/S 여기서, Sp는 입자와 동일한 부피를 가진 구의 표면적이고, S는 입자의 실제 표면적이다.
계산 방법	Ψ = (π^(1/3) * (6Vp)^(2/3)) / S 여기서, Vp는 입자의 부피이고, S는 입자의 표면적이다.
구형도와 원마도
설명	구형도와 원마도는 모두 입자의 모양을 설명하는 데 사용되지만, 원마도는 모서리의 날카로움에 더 민감하다.
차이점	구형도는 입자가 공에 얼마나 가까운지를 나타내고, 원마도는 입자의 모서리가 얼마나 둥근지를 나타낸다.
응용 분야
활용	구형도는 지질학, 약학, 농업 등 다양한 분야에서 입자의 모양을 특징짓는 데 사용된다.

2. 정의

하콘 와델이 1935년에 정의한^[1] 구형성은, 어떤 물체의 표면적과 같은 부피를 갖는 구의 표면적 간 비율이다.

2. 1. 하콘 와델의 정의

1935년 하콘 와델(Hakon Wadell)이 정의한^[1] 구형성(

\Psi

)는 동일한 부피를 가진 구의 표면적에 대한 물체의 표면적 비율이다.

:

\Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_p)^{\frac{2}{3}}}{A_p}

여기서

V_p

는 물체의 부피이고,

A_p

는 물체의 표면적이다. 구의 구형성은 정의에 의해 1이며, 등주 부등식에 따라 구가 아닌 모든 모양은 1보다 작은 구형성을 갖는다.

3. 유도

하콘 와델은 구형성( $\Psi$ )을 입자와 동일한 부피를 가진 구의 표면적( $A_s$ )을 입자의 실제 표면적( $A_p$ )으로 나눈 값으로 정의했다. 즉, $\Psi = \frac{A_s}{A_p}$ 이다. 여기서 $A_s$ 는 물체의 부피 $V_p$ 를 사용하여 유도할 수 있다.

3. 1. 구의 표면적 유도

물체와 동일한 부피를 가지는 구 s의 겉넓이를

A_s

, 부피를

V_s

라고 하고, 반지름을 r이라고 하면, 다음과 같다.

:

V_s=\frac{4}{3} \pi r^3=V_p

양 변에

6 \pi^\frac{1}{2}

를 곱하면,

8 \pi^\frac{3}{2} r^3 = \pi^\frac{1}{2} \cdot 6V_p

이다.

양 변을

\frac{2}{3}

제곱하면,

4 \pi r^2 = \pi^\frac{1}{3}(6V_p)^\frac{2}{3} = A_s

이다.

따라서,

:

A_{s} = \left(36\,\pi V_{p}^2\right)^{\frac{1}{3}} = 36^{\frac{1}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{p}\right)^{\frac{2}{3}}

3. 2. 구형도 공식 유도

물체와 동일한 부피를 가지는 구 ''s''의 겉넓이를

A_s

, 부피를

V_s

라고 하고, 그의 반지름을

r

이라고 하면, 다음과 같다.

:

V_s=\frac{4}{3} \pi r^3=V_p

양 변에

6 \pi^\frac{1}{2}

를 곱하면,

8 \pi^\frac{3}{2} r^3 = \pi^\frac{1}{2} \cdot 6V_p

이다.

양 변을

\frac{2}{3}

제곱하면,

4 \pi r^2 = \pi^\frac{1}{3}(6V_p)^\frac{2}{3} = A_s

이다.

마지막으로 구형도를 계산하면,

\Psi = \frac{A_s}{A_p} = \frac{\pi^\frac{1}{3}(6V_p)^\frac{2}{3}}{A_p}

이다.

위 식에서 상수 부분을 분리하면 다음과 같다.

:

\Psi = (36\pi)^\frac{1}{3}\times\frac{V_p^\frac{2}{3}}{A_p} \approx 4.836\times\frac{V_p^\frac{2}{3}}{A_p}

하콘 와델(Hakon Wadell)은 구형성을 입자의 실제 표면적으로 나눈, 입자와 동일한 부피를 가진 구의 표면적으로 정의했다.

먼저, 측정 대상의 부피

V_p

를 사용하여 구의 표면적

A_s

를 나타내야 한다.

:

A_{s}^3 = \left(4 \pi r^2\right)^3 = 4^3 \pi^3 r^6 = 4 \pi \left(4^2 \pi^2 r^6\right) = 4 \pi \cdot 3^2 \left(\frac{4^2 \pi^2}{3^2} r^6\right) = 36 \pi \left(\frac{4 \pi}{3} r^3\right)^2 = 36\,\pi V_{p}^2

따라서

:

A_{s} = \left(36\,\pi V_{p}^2\right)^{\frac{1}{3}} = 36^{\frac{1}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{p}\right)^{\frac{2}{3}}

그러므로

\Psi

를 다음과 같이 정의한다.

:

\Psi = \frac{A_s}{A_p} = \frac{ \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{p}\right)^{\frac{2}{3}} }{A_{p}}

4. 특수한 경우

몇몇 특수한 물체에 대한 구형도 공식을 유도할 수 있다.

4. 1. 타원체

타원체(행성 지구의 모양과 유사)의 구형성

\Psi

는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\Psi =\frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_p)^{\frac{2}{3}}}{A_p} =\frac{2\sqrt[3]{ab^2}}{a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}b\right)}},

여기서 ''a''와 ''b''는 각각 장반경 및 단반경이다.

5. 주요 물체의 구형도

물체	사진	부피 ( $V_p$ )	겉넓이 ( $A_p$ )	구형도 ( $\Psi$ )
구	구	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi\,r^2$	1
정이십면체	정이십면체	$\frac{5}{12}\left(3+\sqrt{5}\right)\,s^3$	$5\sqrt{3}\,s^2$	$\approx 0.939$
정십이면체	정십이면체	$\frac{1}{4} \left(15 + 7\sqrt{5}\right)\, s^3$	$3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\, s^2$	$\approx 0.910$
정팔면체	정팔면체	$\frac{1}{3}\sqrt{2}\,s^3$	$2 \sqrt{3}\,s^2$	$\approx 0.846$
반구	반구	$\frac{2}{3}\pi\,r^3$	$3\pi\,r^2$	$\approx 0.840$
정육면체	정육면체	$\,s^3$	$6\,s^2$	$\approx 0.806$
정사면체	정사면체	$\frac{\sqrt{2}}{12}\,s^3$	$\sqrt{3}\,s^2$	$\approx 0.671$
이십이각형 삼각뿔	이십이각형 삼각뿔	$\frac{180}{11}\left(5+4\sqrt{5}\right)\,s^3$	$\frac{180}{11}\sqrt{179-24\sqrt{5}}\,s^2$	$\approx 0.9857$
마름모 삼십면체	마름모 삼십면체	$4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,s^3$	$12\sqrt{5}\,s^2$	$\approx 0.9609$
이상적인 토러스 $(R=r)$	토러스	$2\pi^2Rr^2=2\pi^2\,r^3$	$4\pi^2Rr=4\pi^2\,r^2$	$\approx 0.894$
이상적인 원기둥 $(h=2\,r)$	원기둥	$\pi\,r^2h=2\pi\,r^3$	$2\pi\,r(r+h)=6\pi\,r^2$	$\approx 0.874$
이상적인 원뿔 $(h=2\sqrt{2}r)$	원뿔	$\frac{1}{3}\pi\,r^2h=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi\,r^3$	$\pi\,r(r+\sqrt{r^2+h^2})=4\pi\,r^2$	$\approx 0.794$

참조

_[1] 논문 Volume, Shape, and Roundness of Quartz Particles
_[2] 논문 Volume, Shape, and Roundness of Quartz Particles http://dx.doi.org/10[...] 1935-04

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