그람 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 그람 행렬식 (그라미안)
3. 성질
4. 응용
5. 예시
6. 정규 직교 기저 구성
참조

1. 개요

그람 행렬은 주어진 벡터들의 내적을 성분으로 하는 행렬이다. 그람 행렬식은 그람 행렬의 행렬식으로, 벡터들로 형성되는 평행육면체의 부피 제곱을 나타낸다. 그람 행렬은 반양정부호 에르미트 행렬이며, 벡터들이 선형 독립일 때 양의 정부호 행렬이 된다. 그람 행렬은 리만 기하학, 확률과 통계, 양자 화학, 제어 이론, 유한 요소법, 머신 러닝 등 다양한 분야에서 응용된다.

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그람 행렬

2. 정의

그람 행렬은 주어진 벡터 또는 함수들의 내적을 원소로 하는 행렬이다.

유한 차원 실수 벡터 공간에서, 그람 행렬은 $G = V^\top V$ 로 표현된다. 여기서 $V$ 는 열에 벡터 $v_k$ 를 갖고, $V^\top$ 는 행에 벡터 $v_k^\top$ 를 갖는 전치 행렬이다. 복소수 벡터 공간에서는 $G = V^\dagger V$ 이며, $V^\dagger$ 는 $V$ 의 켤레 전치 행렬이다.

구간 $\left[t_0, t_f\right]$ 에서 제곱 적분 가능 함수 $\{\ell_i(\cdot),\, i = 1,\dots,n\}$ 가 주어지면, 그람 행렬 $G = \left[G_{ij}\right]$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $G_{ij} = \int_{t_0}^{t_f} \ell_i^*(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau.$

여기서 $\ell_i^*(\tau)$ 는 $\ell_i(\tau)$ 의 복소 켤레이다.

체 위의 유한 차원 벡터 공간에서 임의의 쌍선형 형식 $B$ 가 주어지면, 벡터 집합 $v_1, \dots, v_n$ 에 대한 그람 행렬 $G$ 는 $G_{ij} = B\left(v_i, v_j\right)$ 로 정의할 수 있다. 쌍선형 형식 $B$ 가 대칭이면 이 행렬도 대칭이 된다.

2. 1. 그람 행렬식 (그라미안)

그람 행렬식 또는 그라미안은 그람 행렬의 행렬식이다.

:

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} \langle x_1,x_1\rangle & \langle x_1,x_2\rangle &\dots & \langle x_1,x_n\rangle\\\langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle &\dots & \langle x_2,x_n\rangle\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle &\dots & \langle x_n,x_n\rangle\end{vmatrix}

그람 행렬식은 또한 벡터의 외적 대수로 표현될 수 있다.

:

G(x_1,\dots,x_n) = \| x_1\wedge\cdots\wedge x_n\|^2

만약

v_1, \dots, v_n

이

\mathbb{R}^m

의 벡터라면, 이것은 벡터들에 의해 형성된 평행육면체의 ''n''차원 부피의 제곱이다. 특히 벡터들이 선형 독립일 필요충분 조건은 평행육면체가 0이 아닌 ''n''차원 부피를 갖는 것과, 그람 행렬식이 0이 아닌 것과, 그람 행렬이 비특이 행렬인 것이 서로 동치이다. ''n'' > ''m''일 때, 행렬식과 부피는 0이다. 1=''n'' = ''m''일 때, 이것은 ''n''개의 ''n''차원 벡터의 행렬식의 절댓값이 ''n''차원 부피라는 표준 정리로 축소된다. 그람 행렬식은 또한 벡터들에 의해 형성된 단순체의 부피를 계산하는 데에도 유용하며, 부피는

\text{Volume(parallelotope)} / n!

이다.

그람 행렬식은 벡터들의 외적을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\bigl|G(v_1, \dots, v_n)\bigr| = \| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n\|^2.

벡터

v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^m

이 어떤 기준점

p_{n+1}

에 대한 점

p_1, \ldots, p_n

의 위치로부터 정의될 때,

:

(v_1, v_2, \ldots, v_n) = (p_1 - p_{n+1}, p_2 - p_{n+1}, \ldots, p_n - p_{n+1})\,,

그람 행렬식은 두 그람 행렬식의 차이로 쓸 수 있다.

:

\bigl|G(v_1, \dots, v_n)\bigr| = \bigl|G((p_1, 1), \dots, (p_{n+1}, 1))\bigr| - \bigl|G(p_1, \dots, p_{n+1})\bigr|\,,

여기서 각

(p_j, 1)

은

(m+1)

번째 차원에 대한 좌표값 1이 보충된 해당 점

p_j

이다. 일반적인 경우인

1=n=m

에서 오른쪽 항의 두 번째 항은 0이 된다는 점에 유의하라.

3. 성질

그람 행렬은 내적이 실수 값을 갖는 경우 대칭 행렬이며, 일반적인 복소수 값의 경우 에르미트 행렬이다. 이는 내적의 정의에 따른다.^[1]

또한, $A$ 의 그람 행렬 $G$ 에 대해 다음 세 가지 조건은 서로 동치이다.^[1]

$\boldsymbol{A}$ 는 정칙 행렬이다.
$\boldsymbol{G}$ 는 정칙 행렬이다.
$\boldsymbol{G}$ 는 양정부호 에르미트 행렬이다.

3. 1. 양의 준정부호성

그람 행렬은 반양정부호이며, 모든 반양정부호 행렬은 어떤 벡터 집합에 대한 그람 행렬이다. 그람 행렬이 반양정부호라는 사실은 아래와 같이 간단하게 유도할 수 있다.

:

x^\dagger \mathbf{G} x =\sum_{i,j}x_i^* x_j\left\langle v_i, v_j \right\rangle =\sum_{i,j}\left\langle x_i v_i, x_j v_j \right\rangle =\biggl\langle \sum_i x_i v_i, \sum_j x_j v_j \biggr\rangle =\biggl\| \sum_i x_i v_i \biggr\|^2 \geq 0 .

첫 번째 등식은 행렬 곱셈의 정의에서, 두 번째와 세 번째는 내적의 쌍선형성에서, 마지막은 내적의 양정성에서 비롯된다.

이는 그람 행렬이 벡터

v_i

가 선형 독립일 때에만 양정부호임을 보여준다 (즉, 모든

x

에 대해

\sum_i x_i v_i \neq 0

인 경우).^[1]

3. 2. 벡터 실현

에르미트 행렬

M

이 양의 준정부호가 되기 위한 필요충분조건은 어떤 벡터

b^{(1)}, \dots, b^{(n)}

들의 그람 행렬로 표현되는 것이다. 이때 벡터

b^{(1)}, \dots, b^{(n)}

들을

M

의 '''벡터 실현'''이라고 한다. 이 명제의 무한 차원 형태는 머서 정리이다.

3. 3. 기타 성질

모든 정규 직교 기저의 그람 행렬은 항등 행렬이다. 이는 실수 회전 행렬의 행 또는 열의 그람 행렬이 항등 행렬이라는 것과 동등하다. 마찬가지로 유니타리 행렬의 행 또는 열의 그람 행렬도 항등 행렬이다.^[1]
$\mathbb{R}^k$ 또는 $\mathbb{C}^k$ 에 있는 벡터들의 그람 행렬의 계수는 이 벡터들에 의해 생성된 공간의 차원과 같다.^[1]

4. 응용

그람 행렬은 다양한 분야에서 응용된다.

확률과 통계: 벡터가 중심 확률 변수인 경우, 그람 행렬은 공분산 행렬과 근사적으로 비례한다.^[2]
양자 화학: 기저 벡터 집합의 그람 행렬은 중첩 행렬이다.^[2]
제어 이론: 제어성 그라미안과 관측 가능성 그라미안은 선형 시스템의 속성을 결정한다.^[2]
공분산 구조 모델 적합: (예: Jamshidian and Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volume 18, pp. 79–94 참조).
유한 요소법: 유한 차원 공간에서 함수를 근사할 때 그람 행렬이 나타나며, 그람 행렬 항목은 유한 차원 부분 공간의 기저 함수의 내적이다.^[2]
머신 러닝: 커널 함수는 종종 그람 행렬로 표현된다.^[2] (커널 PCA도 참조)
실수에 대한 그람 행렬은 대칭 행렬이므로 대각화 가능하며 고유값은 음수가 아니다. 그람 행렬의 대각화는 특이값 분해이다.

4. 1. 리만 기하학

리만 기하학에서, k차원 리만 다양체

M\subset \mathbb{R}^n

이 포함되어 있고,

(x_1, \ldots, x_k)\in U\subset\mathbb{R}^k

에 대한 매개변수화

\phi: U\to M

이 주어지면, 포함에 의해 유도된

M

의 부피 형식

\omega

는 좌표 접선 벡터의 그람 행렬을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\omega = \sqrt{\det G}\ dx_1 \cdots dx_k,\quad G = \left[\left\langle \frac{\partial\phi}{\partial x_i},\frac{\partial\phi}{\partial x_j}\right\rangle\right].

이것은

(x, y)\in U\subset\mathbb{R}^2

에 대한 매개변수화된 표면

\phi:U\to S\subset \mathbb{R}^3

의 고전적인 표면 적분

:

\int_S f\ dA = \iint_U f(\phi(x, y))\, \left|\frac{\partial\phi}{\partial x}\,{\times}\,\frac{\partial\phi}{\partial y}\right|\, dx\, dy.

를 일반화한다.

4. 2. 확률과 통계

벡터가 중심 확률 변수인 경우, 그람 행렬은 벡터의 요소 수에 따라 결정되는 스케일링을 사용하여 공분산 행렬에 근사적으로 비례한다.^[2]

4. 3. 양자 화학

양자 화학에서, 일련의 기저 벡터의 그람 행렬은 중첩 행렬이다.^[2]

4. 4. 제어 이론

제어 이론(또는 더 일반적으로 시스템 이론)에서 제어성 그라미안과 관측 가능성 그라미안은 선형 시스템의 속성을 결정한다.^[2]

4. 5. 유한 요소법

유한 요소법에서 그람 행렬은 유한 차원 공간에서 함수를 근사할 때 나타난다. 그람 행렬의 각 항목은 유한 차원 부분 공간의 기저 함수들의 내적이다.^[2]

4. 6. 머신 러닝

머신 러닝에서 커널 함수는 종종 그람 행렬로 표현된다.^[2] (커널 PCA도 참조)

5. 예시

유한 차원 실수 벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 내적을 이용해 그람 행렬을 정의할 수 있다. 그람 행렬은 $G = V^\top V$ 로 표현된다. 여기서 $V$ 는 열벡터 $v_k$ 들을 모아놓은 전치 행렬이고, $V^\top$ 는 행벡터 $v_k^\top$ 들을 모아놓은 행렬이다. 복소수 벡터 공간 $\mathbb{C}^n$ 에서는 $G = V^\dagger V$ 로 표현된다. 여기서 $V^\dagger$ 는 $V$ 의 켤레 전치 행렬이다.

구간 $\left[t_0, t_f\right]$ 에서 제곱 적분 가능 함수 $\{\ell_i(\cdot),\, i = 1,\dots,n\}$ 가 주어지면, 그람 행렬 $G = \left[G_{ij}\right]$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $G_{ij} = \int_{t_0}^{t_f} \ell_i^*(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau.$

여기서 $\ell_i^*(\tau)$ 는 $\ell_i(\tau)$ 의 복소 켤레이다.

체 위의 유한 차원 벡터 공간에서 임의의 쌍선형 형식 $B$ 가 주어졌을 때, 벡터 집합 $v_1, \dots, v_n$ 에 대한 그람 행렬 $G$ 를 $G_{ij} = B\left(v_i, v_j\right)$ 로 정의할 수 있다. 쌍선형 형식 $B$ 가 대칭이면 그람 행렬도 대칭 행렬이 된다.

6. 정규 직교 기저 구성

선형 독립적인 벡터 집합 $\{v_i\}$ 가 주어지고, 그람 행렬 $G$ 를 $G_{ij}:= \langle v_i,v_j\rangle$ 로 정의하면, 정규 직교 기저를 다음과 같이 구성할 수 있다.

: $u_i := \sum_j \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{ji} v_j.$

행렬 표기법으로는 $U = V G^{-1/2}$ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $U$ 는 정규 직교 기저 벡터 $\{u_i\}$ 를 열벡터로 가지는 행렬이고, $V$ 는 주어진 열 벡터 $\{v_i\}$ 로 구성된 행렬이다.

$G^{-1/2}$ 의 존재성은 보장된다. 실제로, $G$ 는 에르미트 행렬이므로 $G=UDU^\dagger$ 로 분해할 수 있다. ( $U$ 는 유니타리 행렬, $D$ 는 실수 대각 행렬) 또한, $v_i$ 가 선형 독립일 필요충분조건은 $G$ 가 양의 정부호 행렬인 것이고, 이는 $D$ 의 대각 성분이 모두 양수임을 의미한다. 따라서 $G^{-1/2}$ 는 $G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^\dagger$ 에 의해 유일하게 정의된다.

이렇게 정의된 새로운 벡터들 $\{u_i\}$ 가 정규 직교성을 만족함을 다음과 같이 보일 수 있다.

: $\begin{align}\langle u_i,u_j \rangle&= \sum_{i'} \sum_{j'} \Bigl\langle \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{i'i} v_{i'},\bigl(G^{-1/2}\bigr)_{j'j} v_{j'} \Bigr\rangle \\[10mu]&= \sum_{i'} \sum_{j'} \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{ii'} G_{i'j'} \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{j'j} \\[8mu]&= \bigl(G^{-1/2} G G^{-1/2}\bigr)_{ij} = \delta_{ij}\end{align}$

위 식에서 $\bigl(G^{-1/2}\bigr)^\dagger=G^{-1/2}$ 임을 이용했다.

참조

_[1] 서적 Theorem 7.2.10
_[2] 논문 Learning the kernel matrix with semidefinite programming https://dl.acm.org/c[...]
_[3] 서적 Theorem 7.3.11

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