극대 원소와 극소 원소

3. 존재성과 유일성

극대 원소와 극소 원소는 존재하지 않거나 유일하지 않을 수 있다. 울타리와 같이 여러 개의 극대 원소와 극소 원소가 존재하는 경우가 있으며, 모든 원소가 극대 원소이자 극소 원소인 경우도 있다.

3. 1. 존재성

• 실수의 전순서 집합 $(\backslash mathbb\; R,\backslash le)$은 극대·극소 원소를 갖지 않는다.
• 실수의 부분집합 $[1,+\backslash infty)$은 극대 원소를 갖지 않는다.

• '''예시 1:''' $S\; =\; [1,\; \backslash infty)\; \backslash subseteq\; \backslash R$이고, $\backslash R$은 실수를 나타낸다고 하자. 모든 $m\; \backslash in\; S$에 대해, $s\; =\; m\; +\; 1\; \backslash in\; S$이지만 $m\; s$이다 (즉, $m\; \backslash leq\; s$이지만 $m\; =\; s$는 아니다).
• '''예시 2:''' $S\; =\; \backslash \{\; s\; \backslash in\; \backslash Q\; ~:~\; 1\; \backslash leq\; s^2\; \backslash leq\; 2\; \backslash \},$이고, $\backslash Q$는 유리수를 나타내며 $\backslash sqrt\{2\}$는 무리수라고 하자.

• '''예시 3:''' 울타리 $a\_1\; b\_1\; >\; a\_2\; b\_2\; >\; a\_3\; b\_3\; >\; \backslash ldots$에서 모든 $a\_i$는 최소 원소이고 모든 $b\_i$는 최대 원소이다. 그림에서 볼 수 있다.
• '''예시 4:''' ''A''를 두 개 이상의 원소를 가진 집합이라고 하고, $S\; =\; \backslash \{\; \backslash \{\; a\; \backslash \}\; ~:~\; a\; \backslash in\; A\; \backslash \}$를 멱집합 $\backslash wp(A)$의 부분 집합으로 싱글톤 부분 집합으로 구성되며 $\backslash ,\; \backslash subseteq$로 부분 순서를 갖는다고 하자. 이것은 두 원소를 비교할 수 없는 이산적인 포셋(poset)이므로, 모든 원소 $\backslash \{\; a\; \backslash \}\; \backslash in\; S$는 최대 (및 최소) 원소이다. 또한, 서로 다른 $a,\; b\; \backslash in\; A$에 대해 $\backslash \{\; a\; \backslash \}\; \backslash subseteq\; \backslash \{\; b\; \backslash \}$도 $\backslash \{\; b\; \backslash \}\; \backslash subseteq\; \backslash \{\; a\; \backslash \}$도 성립하지 않는다.

3. 2. 유일성

• 울타리로 불리는 부분 순서 구조 $a\_1a\_2a\_3\backslash cdots$에서, 모든 $a\_i$는 극소 원소이고, 모든 $b\_i$는 극대 원소이다.
• 적어도 두 원소를 포함한 집합 $A$에 대해 집합 $S=\backslash \{\backslash \{a\backslash \}:a\backslash in\; A\backslash \}$와 그 위의 부분 순서 $\backslash subseteq$를 정의하면, $S$의 임의의 서로 다른 원소는 비교가 불가능하므로, $S$의 모든 원소는 동시에 극대 원소이자 극소 원소이다.

4. 최대·최소 원소와의 관계

모든 최대 원소는 극대 원소이며, 모든 최소 원소는 극소 원소이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[12][13]

전순서 집합에서는 극대 원소와 최대 원소, 극소 원소와 최소 원소의 개념이 같다.^[8]

최대 원소와 최소 원소는 각각 많아야 하나뿐이지만, 부분 순서 집합의 극대 원소와 극소 원소는 여러 개일 수 있다. 다만, 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.

극대 원소와 최대 원소가 같은 경우는 전순서뿐만이 아니다. 임의의 집합 $S$에 대해, 그의 멱집합과 포함 관계로 이루어진 부분 순서 집합 $(\backslash mathcal\{P\}(S),\backslash subseteq)$은 극대 원소와 최대 원소, 극소 원소와 최소 원소가 각각 유일하며 같으나, 이는 일반적으로 전순서가 아니다($S$의 원소가 없거나 하나뿐일 때에만 전순서이다).

5. 성질

각 유한하고 비어 있지 않은 부분 집합 S는 최대 원소와 최소 원소를 모두 갖는다. 무한 부분 집합은 이들 중 어떤 것도 가질 필요가 없다. 예를 들어, 일반적인 순서를 가진 정수 $\backslash Z$는 최대 원소와 최소 원소가 없다. 부분 집합 S의 최대 원소 집합은 항상 반사슬이다. 즉, S의 서로 다른 두 최대 원소는 비교할 수 없다. 최소 원소에도 동일하게 적용된다.

6. 관련 개념

부분 순서 집합 $P$의 부분 집합 $Q$가 모든 $x\; \backslash in\; P$에 대해 $x\; \backslash leq\; y$인 $y\; \backslash in\; Q$가 존재하면 공종이라고 한다. 최대 원소를 가진 부분 순서 집합의 모든 공종 부분 집합은 모든 최대 원소를 포함해야 한다.

부분 순서 집합 $P$의 부분 집합 $L$이 아래로 닫혀 있으면 $P$의 아래 집합이라고 한다. 즉, $y\; \backslash in\; L$이고 $x\; \backslash leq\; y$이면 $x\; \backslash in\; L$이다. 유한 순서 집합 $P$의 모든 아래 집합 $L$은 $L$의 모든 최대 원소를 포함하는 가장 작은 아래 집합과 같다.

7. 예시

• $D:=\backslash \{2,3,4,6,9,12,18\backslash \}$은 자연수 36의 자명하지 않은 (즉 1과 자신을 제외한) 자연수 약수들의 집합이다. 이들에게 약수 관계에 의한 부분 순서를 주면 2, 3을 극소 원소, 12, 18을 극대 원소로 한다.^[1]
• 환 $R$의 고유 아이디얼($R$ 전체가 아닌 아이디얼)들의 극대 원소를 극대 아이디얼이라고 한다.^[2]
• 파레토 효율에서, 파레토 최적은 파레토 개선에 의한 부분 순서의 극대 원소를 찾는 것이다. 이러한 극대 원소들의 집합을 파레토 경계라고 한다.^[3]
• 결정이론에서, 허용 가능 결정 규칙은 지배 결정 규칙에 의한 부분 순서의 극대 원소이다.^[4]
• 현대 포트폴리오 이론에서, 위험과 회수의 곱순서에 대한 극대 원소들의 집합을 효율적 투자선이라고 한다.^[5]
• 집합론에서, 한 집합이 유한할 필요충분조건은 공집합이 아닌 임의의 부분집합족이 포함 관계에 의한 부분 순서에 대한 극소 원소가 존재한다는 것이다.^[6]
• 추상대수학에서, 극대공약수는 최대공약수를 원소들의 공약수들의 극대 원소가 유일하지 않을 수 있는 경우로 일반화한 개념이다.^[7]
• 계산 기하학에서, 점 집합의 극대점은 좌표별 지배의 부분 순서에 대해 극대이다.^[10]

참조

_[1] 서적 A Discrete Transition to Advanced Mathematics https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 서적 Group Theory https://books.google[...] Dover
_[3] 서적 The Axiom of Choice Dover Publications
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 서적 The Axiom of Choice Dover Publications
_[12] 인용 A Discrete Transition to Advanced Mathematics http://books.google.[...] American Mathematical Society
_[13] 인용 Group Theory http://books.google.[...] Dover