기술적 집합론

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1. 개요
2. 폴란드 공간
- 2.1. 폴란드 공간의 보편성
3. 보렐 집합
- 3.1. 보렐 위계
- 3.2. 보렐 집합의 정규성
4. 해석 집합과 보해석 집합
5. 사영 집합과 Wadge 차수
6. 보렐 동치 관계
7. 유효 기술 집합론
참조

1. 개요

기술적 집합론은 완비 거리 공간의 일반화인 폴란드 공간과, 폴란드 공간의 부분 집합인 보렐 집합, 해석적 집합, 사영 집합 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 폴란드 공간은 가산 제2 공리를 만족하는 위상 공간으로, 실수선, 베어 공간, 칸토어 공간 등이 이에 속한다. 보렐 집합은 위상 공간의 열린 집합들로부터 생성되는 시그마 대수이며, 보렐 위계는 보렐 집합을 복잡도에 따라 분류한다. 해석적 집합과 공해석적 집합은 보렐 집합보다 더 복잡한 집합이며, 사영 집합은 해석적 집합과 공해석적 집합을 일반화한 개념이다. 기술적 집합론은 보렐 동치 관계, Wadge 차수, 유효 기술 집합론 등 다양한 주제를 다루며, 계산 가능성 이론 및 구성주의 수학과도 연관된다.

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기술적 집합론 - 보렐 집합
보렐 집합은 위상 공간의 열린 집합으로부터 가산 번의 연산을 통해 생성되며, 보렐 시그마 대수의 원소로서 연속 함수에 대한 원상은 보렐 집합이다.
기술적 집합론 - 폴란드 공간
폴란드 공간은 분리 가능하고 완전 거리 공간인 위상 공간으로, 가산 합집합, 가산 곱, 상 연산에 대해 닫혀 있으며, 다양한 수학적 성질을 가지고 20세기 초 폴란드 수학자들에 의해 연구되기 시작하여 위상수학, 측도론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

기술적 집합론
개요
분야	수학, 집합론, 기술적 집합론
하위 분야	보렐 집합론, 사영 집합론, 묘사 복잡도
역사적 맥락
기원	20세기 초, 에밀 보렐, 르네 베어, 앙리 르베그의 연구
주요 연구자	니콜라이 루진, 카지미에시 쿠라토프스키, 바츨라프 시에르핀스키, 알프레드 타르스키
주요 개념
기본 개념	폴란드 공간, 보렐 집합, 해석적 집합, 사영 집합
고급 개념	결정성 공리, 강제법, 큰 기수
응용 분야
응용	실수 해석학, 함수 해석학, 에르고딕 이론, 군론, 바나흐 공간
관련 분야
관련 분야	수리논리학, 모델 이론, 재귀 이론, 집합론

2. 폴란드 공간

폴란드 공간은 완비적으로 거리화 가능한 제2 가산 위상공간이다. 즉, 거리화가 사라진 완비된 분해 가능 공간이다. 실수 직선 $\mathbb{R}$ , 베르 공간 $\mathcal{N}$ , 칸토어 공간 $\mathcal{C}$ , 힐베르트 큐브 $I^{\mathbb{N}}$ 등이 그 예시이다. 여기서 베르 공간은 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 이고 칸토어 공간은 $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 이다.

2. 1. 폴란드 공간의 보편성

폴란드 공간은 여러 가지 보편성 속성을 가지며, 이는 특정 제한된 형태의 폴란드 공간을 고려하는 데 있어서 일반성을 잃지 않는다는 것을 보여준다.

모든 폴란드 공간은 힐베르트 큐브의 $G_\delta$ 부분 공간과 위상 동형이며, 힐베르트 큐브의 모든 $G_\delta$ 부분 공간은 폴란드 공간이다.
모든 폴란드 공간은 베르 공간의 연속적인 이미지로 얻어진다. 실제로, 모든 폴란드 공간은 베르 공간의 닫힌 부분 집합에서 정의된 연속 전단사 함수의 이미지이다. 마찬가지로, 모든 콤팩트 폴란드 공간은 칸토어 공간의 연속적인 이미지이다.

이러한 보편성 속성 때문에, 그리고 베르 공간

\mathcal{N}

이

\mathcal{N}^\omega

와 위상 동형이라는 편리한 속성을 가지기 때문에, 기술적 집합론의 많은 결과들이 베르 공간만을 대상으로 증명된다.

3. 보렐 집합

보렐 집합은 위상 공간의 열린 집합들을 포함하는 최소의 σ-대수이다. 다음 조건을 만족하는 집합들의 모임으로 정의된다.

''X''의 모든 열린 부분 집합은 보렐 집합이다.
''A''가 보렐 집합이면 ''X'' - ''A'' (여집합)도 보렐 집합이다.
각 자연수 ''n''에 대해 ''A''_''n''이 보렐 집합이면 그 합집합 $\bigcup A_n$ 도 보렐 집합이다.

임의의 비가산 폴란드 공간 ''X'', ''Y''에 대하여 둘 사이에 보렐 동형이 존재한다. 즉, ''X''와 ''Y'' 사이에 일대일 대응이 존재하여 보렐 집합의 상과 원상은 오직 보렐 집합뿐이라는 성질이 성립한다. 따라서 모든 폴란드 공간은 보렐 집합 단계에서는 모두 동형으로 볼 수 있으므로 베르 공간과 칸토어 공간에 논의를 한정하는 것이 정당화된다.

3. 1. 보렐 위계

보렐 집합을 얻기 위해 열린집합에 여집합 연산이나 합집합 연산을 몇 번이나 반복해야 하는지에 따라 보렐 집합들을 분류하는 것을 '''보렐 위계'''라고 한다. 보렐 위계는 가산 순서수

\alpha

에 대해

\mathbf{\Sigma}^0_\alpha

,

\mathbf{\Pi}^0_\alpha

,

\mathbf{\Delta}^0_\alpha

와 같이 표기되며, 다음과 같이 정의된다.

모든 열린 집합은 $\mathbf{\Sigma}^0_1$ 로 분류된다.
여집합이 $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ 인 집합은 $\mathbf{\Pi}^0_\alpha$ 로 분류된다.
어떤 집합 A에 대해 집합열 (A_i)가 존재하여 $A = \bigcup A_i$ 이되, 이때 각 A_i에 대해 순서수 $\lambda(i)$ 가 존재하여 A_i가 $\mathbf{\Pi}^0_{\lambda(i)}$ ( $\lambda(i) < \alpha$ )에 속하면 A는 $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ 로 분류된다.
$\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ 와 $\mathbf{\Pi}^0_\alpha$ 모두에 속하는 집합은 $\mathbf{\Delta}^0_\alpha$ 로 분류된다.

따라서 다음과 같은 도표가 성립한다. (화살표는 포함 관계)

\begin{matrix}& & \mathbf{\Sigma}^0_1 & & & & \mathbf{\Sigma}^0_2 & & \cdots \\& \nearrow & & \searrow & & \nearrow \\\mathbf{\Delta}^0_1 & & & & \mathbf{\Delta}^0_2 & & & & \cdots \\& \searrow & & \nearrow & & \searrow \\& & \mathbf{\Pi}^0_1 & & & & \mathbf{\Pi}^0_2 & & \cdots\end{matrix}\begin{matrix}& &  \mathbf{\Sigma}^0_\alpha & & & \cdots \\& \nearrow & & \searrow \\\quad \mathbf{\Delta}^0_\alpha &  & & & \mathbf{\Delta}^0_{\alpha + 1} & \cdots \\& \searrow & & \nearrow \\& & \mathbf{\Pi}^0_\alpha & & & \cdots\end{matrix}

폴란드 공간의 보렐집합의 연속적 상을 해석적 집합이라 하며 이로부터 위와 같은 방식으로 사영 위계를 정의해나갈 수 있다.

3. 2. 보렐 집합의 정규성

위상공간 X의 보렐 집합들의 집합은 X의 열린 집합들을 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 따라서 보렐 집합은 다음과 같다.

X의 모든 열린 부분집합은 보렐 집합이다.
A가 보렐 집합이면 X - A도 보렐 집합이다. (여집합에 대해 닫힘)
각 자연수 n에 대해 A_n이 보렐 집합이면 그 합집합 $\bigcup A_n$ 도 보렐 집합이다. (가산 합집합에 대해 닫힘)

또한 임의의 비가산 폴란드 공간 X, Y에 대하여 둘 사이에 보렐 동형(Borel isomorphism)이 존재한다. 즉 X와 Y 사이의 일대일대응이 존재하여 특히 보렐 집합의 상과 원상은 오직 보렐 집합뿐이라는 성질이 성립한다. 따라서 모든 폴란드 공간은 보렐 집합의 단계에서는 모두 동형으로 볼 수 있으므로 베르 공간과 칸토어 공간에 논의를 한정하는 것이 정당화된다.

고전적 기술 집합론은 보렐 집합의 정규성 속성에 대한 연구를 포함한다. 예를 들어, 폴란드 공간의 모든 보렐 집합은 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다.

4. 해석 집합과 보해석 집합

폴란드 공간의 보렐집합의 연속적 상을 해석적 집합이라 한다. 어떤 보렐 집합의 연속적인 역상은 보렐 집합이지만, 모든 해석적 집합이 보렐 집합인 것은 아니다. 어떤 집합의 여집합이 해석적이면 그 집합은 '''공해석적'''이다. 해석 집합이면서 보해석 집합인 집합은 정확히 보렐 집합과 일치한다(수슬린 정리).^[1]

5. 사영 집합과 Wadge 차수

기술적 집합론의 많은 문제는 궁극적으로 순서수와 기수에 관한 집합론적인 성질에 의존한다. 이 현상은 특히 '''사영 집합'''에서 두드러진다. 이들은 폴란드 공간 $X$ 상의 사영 계층을 통해 정의된다.

집합이 $\mathbf{\Sigma}^1_1$ 이란 것은 그것이 해석적 집합임을 말한다.
집합이 $\mathbf{\Pi}^1_1$ 이란 것은 그것이 보해석 집합임을 말한다.
집합 $A$ 가 $\mathbf{\Sigma}^1_{n+1}$ 이란 것은, 어떤 $X \times X$ 의 $\mathbf{\Pi}^1_n$ 집합 $B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 제1좌표로의 사영임을 말한다.
집합 $A$ 가 $\mathbf{\Pi}^1_{n+1}$ 이란 것은, 어떤 $X \times X$ 의 $\mathbf{\Sigma}^1_n$ 집합 $B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 제1좌표로의 사영임을 말한다.
집합이 $\mathbf{\Delta}^1_{n}$ 이란 것은 그것이 $\mathbf{\Pi}^1_n$ 이고 $\mathbf{\Sigma}^1_n$ 임을 말한다.

보렐 집합에서와 마찬가지로, 임의의

n

에 대해, 임의의

\mathbf{\Delta}^1_n

집합은

\mathbf{\Delta}^1_{n+1}

이다.

''V = L'' 하에서 베어 성질과 완전 집합 성질을 갖지 않는 사영 집합이 존재한다. 그러나, 사영 집합의 결정성 공리 하에서, 모든 사영 집합은 완전 집합 성질과 베어 성질을 갖는다. 이것은 ZFC가 보렐 집합의 결정성을 증명할 수 있지만, 사영 집합에 대해서는 그렇지 않다는 것과 관련이 있다.

더 일반적으로, 폴란드 공간

X

의 부분 집합의 집합은 Wadge 차수로 알려진 동치류로 분류된다. 이것은 사영 계층을 일반화한다. 이러한 차수는 Wadge 계층에 정렬된다. 결정성 공리는 폴란드 공간 상의 Wadge 계층이 정초적이며 길이 Θ인 사영 계층의 연장임을 함의한다.

6. 보렐 동치 관계

기술적 집합론의 현대 연구 분야는 '''보렐 동치 관계'''를 연구한다. '''보렐 동치 관계'''는 폴란드 공간 ''X'' 상의 $X \times X$ 의 보렐 부분 집합으로서, ''X'' 상의 동치 관계를 이룬다.

7. 유효 기술 집합론

유효 기술 집합론은 기술 집합론의 방법과 일반화된 재귀 이론(특히 초산술 이론)의 방법을 결합한 분야이다. 고전적 기술 집합론 계층의 라이트페이스 유사물을 중점적으로 다루며, 보렐 계층 대신 초산술 계층을, 사영 계층 대신 해석적 계층을 연구한다. 이 연구는 크립키-플라텍 집합론 및 2차 산술과 같은 약한 버전의 집합론과 관련이 있다.

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