다양체 가설

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1. 개요
2. 정보 기하학과 통계적 다양체
3. 참고 도서
참조

1. 개요

다양체 가설은 견고한 기계 학습이 데이터 압축을 통해 데이터 세트를 인코딩해야 한다는 가설에 기반하며, 이는 정보 기하학의 도구를 사용하여 연구된다. 이 가설은 효율적인 코딩 가설, 예측 코딩, 변분 베이즈 방법 연구를 통해 나타났으며, 피셔 정보 메트릭의 존재와 유일성에 기반하여 분포의 잠재 공간에 대한 정보 기하학을 추론한다. 빅 데이터 환경에서 통계적 다양체는 많은 양의 데이터를 샘플링할 수 있고, 기계 학습 실험이 재현 가능하다는 특징을 가지며, 자유 에너지 원리를 연구하는 이론 신경 과학자들에 따르면 마르코프 담요를 갖는다.

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기계 학습 - 비지도 학습
비지도 학습은 레이블이 없는 데이터를 통해 패턴을 발견하고 데이터 구조를 파악하는 것을 목표로 하며, 주성분 분석, 군집 분석, 차원 축소 등의 방법을 사용한다.
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다양체 가설
개요
분야	기계 학습, 데이터 과학
설명	고차원 데이터가 저차원 다양체에 놓여 있다는 가설
관련 개념	차원 축소, 특성 학습
상세 내용
핵심 아이디어	고차원 공간에 존재하는 데이터가 실제로는 더 낮은 차원의 다양체에 집중되어 있다는 가정
가정	실제 데이터의 자유도는 관측된 차원보다 훨씬 낮음
예시	얼굴 이미지 데이터는 3차원 공간의 다양체로 표현될 수 있음 (조명, 얼굴 방향, 표정)
활용	차원 축소, 데이터 시각화, 생성 모델 등에 활용
응용 분야
차원 축소	고차원 데이터를 저차원 공간으로 효과적으로 매핑
특징 학습	데이터의 본질적인 특징을 추출
이미지 처리	얼굴 인식, 이미지 생성 등
자연어 처리	단어 임베딩, 문장 표현 등
관련 연구
알고리즘	등거리 사상 (Isomap) 지역 선형 임베딩 (LLE) 헤세ียน 고유사상 (HLLE) 라플라시안 고유사상 (Laplacian Eigenmaps) t-분산 이웃 포함 (t-SNE) 자기 조직화 지도 (SOM) 주성분 분석 (PCA) 커널 PCA 자동 인코더 (Autoencoder)
이론적 배경	고차원 공간, 저차원 다양체, 차원 축소 이론
비판 및 논쟁
검증	다양체 가설의 타당성을 검증하는 것은 어려운 문제임
한계	실제 데이터가 항상 이상적인 다양체 구조를 따르지 않을 수 있음

2. 정보 기하학과 통계적 다양체

다양체 가설에 대한 경험적 접근 방식은 견고한 기계 학습이 데이터 압축을 통해 데이터 세트를 인코딩해야 한다는 가정에 기반한다. 이 관점은 효율적인 코딩 가설, 예측 코딩, 변분 베이즈 방법 연구를 통해 정보 기하학 도구를 사용하여 나타났다.

피셔 정보 메트릭의 존재와 유일성은 분포의 잠재 공간에 대한 정보 기하학적 추론의 근거가 된다.^[6] 이 설정에서 통계적 다양체의 확률적 임베딩을 찾는다. 빅 데이터 환경에서 이 다양체는 동적 시스템 관점에서 다음과 같은 속성을 가진다.

기본 생성 프로세스에서 많은 양의 데이터를 샘플링 가능하다.
기계 학습 실험은 재현 가능하며, 생성 프로세스의 통계는 정상성을 보인다.

자유 에너지 원리를 연구하는 이론 신경 과학자들에 따르면, 이 통계적 다양체는 마르코프 담요를 갖는다.^[7]

2. 1. 효율적인 코딩 가설과 다양체 학습

다양체 가설에 대한 경험적으로 동기 부여된 접근 방식은 견고한 기계 학습이 데이터 압축 방법을 사용하여 관심 있는 데이터 세트를 인코딩해야 한다는 가정하에 다양체 학습에 대한 효과적인 이론과의 상응 관계에 초점을 맞춘다. 이 관점은 효율적인 코딩 가설, 예측 코딩, 변분 베이즈 방법에 대한 연구를 수행하는 과학자들의 협력적인 노력 덕분에 정보 기하학의 도구를 사용하여 점차적으로 나타났다.

분포의 잠재 공간에 대한 정보 기하학에 대해 추론해야 하는 주장은 피셔 정보 메트릭의 존재와 유일성에 기반한다.^[6] 이 일반적인 설정에서 우리는 통계적 다양체의 확률적 임베딩을 찾으려고 한다. 빅 데이터 환경에서 이 다양체는 동적 시스템의 관점에서 일반적으로 다음과 같은 특정 속성을 나타낸다.

# 기본 생성 프로세스에서 많은 양의 데이터를 샘플링할 수 있다.

# 기계 학습 실험은 재현 가능하므로 생성 프로세스의 통계는 정상성을 나타낸다.

자유 에너지 원리를 연구하는 이론 신경 과학자들이 정확하게 설명하는 의미에서, 해당 통계적 다양체는 마르코프 담요를 갖는다.^[7]

2. 2. 피셔 정보 메트릭과 통계적 다양체

분포의 잠재 공간에 대한 정보 기하학에 대해 추론해야 한다는 주장은 피셔 정보 메트릭의 존재와 유일성에 기반한다.^[6] 이 일반적인 설정에서 통계적 다양체의 확률적 임베딩을 찾으려고 한다.

2. 3. 빅 데이터 환경에서 통계적 다양체의 속성

빅 데이터 환경에서 통계적 다양체는 동적 시스템의 관점에서 일반적으로 다음과 같은 특정 속성을 나타낸다.

기본 생성 프로세스에서 많은 양의 데이터를 샘플링할 수 있다.
기계 학습 실험은 재현 가능하므로 생성 프로세스의 통계는 정상성을 나타낸다.

자유 에너지 원리를 연구하는 이론 신경 과학자들이 정확하게 설명하는 의미에서, 해당 통계적 다양체는 마르코프 담요를 갖는다.^[7]

2. 4. 마르코프 담요와 통계적 다양체

자유 에너지 원리를 연구하는 이론 신경 과학자들에 따르면, 통계적 다양체는 마르코프 담요를 갖는다.^[7]

3. 참고 도서

브래들리 C. A. 브라운(Bradley C. A. Brown), 앤서니 L. 카테리니(Anthony L. Caterini), 브렌던 리 로스(Brendan Leigh Ross), 제시 C. 크레스웰(Jesse C. Cresswell), 가브리엘 로아이자-가넴(Gabriel Loaiza-Ganem), 《딥 생성 모델링에 대한 다양체 가설 연합과 그 함의》(The Union of Manifolds Hypothesis and its Implications for Deep Generative Modelling), 제11회 국제 학습 표현 콘퍼런스(The Eleventh International Conference on Learning Representations), 2023년.
이용현(Yonghyeon Lee), 《오토인코더에 대한 기하학적 관점》(A Geometric Perspective on Autoencoders), 2023년.

참조

_[1] 논문 Blessing of dimensionality: mathematical foundations of the statistical physics of data 2018
_[2] 간행물 Algorithms for manifold learning https://www.lcayton.[...] University of California at San Diego 2005
_[3] 논문 Testing the manifold hypothesis https://www.ams.org/[...] 2016-02-09
_[4] 웹사이트 Blog: Neural Networks, Manifolds, and Topology https://colah.github[...] 2014
_[5] 서적 Deep Learning with Python Manning
_[6] conference Geometry from Information Geometry 2015
_[7] 논문 The Markov blankets of life: autonomy, active inference and the free energy principle 2018
_[8] 저널 인용 Blessing of dimensionality: mathematical foundations of the statistical physics of data 2018
_[9] 간행물 Algorithms for manifold learning https://www.lcayton.[...] University of California at San Diego 2005
_[10] 저널 인용 Testing the manifold hypothesis https://www.ams.org/[...] 2016-02-09
_[11] 웹인용 Blog: Neural Networks, Manifolds, and Topology https://colah.github[...] 2014

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