대수적 벡터 다발

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
참조

1. 개요

대수적 벡터 다발은 기하학적으로 스킴 사상으로, 또는 가군층으로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 동치이다. 1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발이라고 한다. 스킴을 통한 정의는 스킴 사상과 스킴 동형 사상을 사용하여 정의되며, 층 이론을 통한 정의는 환 달린 공간 위의 국소 자유 가군층으로 정의된다. 스킴의 경우, 이 두 정의는 서로 일치한다. 가가 정리에 따라, 복소수 사영 대수다양체에 대응하는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

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대수적 벡터 다발
개요
유형	가환환 R 위의 유한 생성 사영 가군
관련 개념	국소 자유 가군, 벡터 다발, 층 (수학), 대수기하학
정의
국소 자유 층	대수다양체 X 위의 층 F가 국소 자유 층이라는 것은 각 점 x ∈ X에 대해 x의 열린 근방 U가 존재하여 F\|U ≅ O_U^n이 되는 것이다. 여기서 O_U는 U 위의 구조층이고, n은 U에서 상수인 층의 계수이다.
대수적 벡터 다발	대수적 벡터 다발은 대수다양체 X 위의 국소 자유 층과 동등한 개념이다. 특히, X 위의 계수 n인 대수적 벡터 다발은 각 점 x ∈ X에 대해 n차원 벡터 공간인 올을 갖는 사영 사상 π: E → X이다.
성질
동치 관계	대수적 벡터 다발은 국소 자유 층과 동치이다. 즉, 대수적 벡터 다발 E에 대응하는 국소 자유 층은 E의 단면층이고, 국소 자유 층 F에 대응하는 대수적 벡터 다발은 F의 스펙이다.
연산	국소 자유 층은 텐서곱, 쌍대, 직접합 등의 연산에 대해 닫혀 있다.
분류	대수적 벡터 다발은 여러 불변량에 의해 분류될 수 있다. 예를 들어, 계수, 천 특성류 등이 있다.
예시
자명한 다발	X × K^n (K는 체)는 X 위의 계수 n인 자명한 대수적 벡터 다발이다.
접다발	매끄러운 대수다양체 X의 접다발은 X 위의 대수적 벡터 다발이다.
선다발	계수 1인 대수적 벡터 다발을 선다발이라고 한다.
응용
대수기하학	대수적 벡터 다발은 대수다양체의 연구에 중요한 도구이다.
모듈라이 공간	대수적 벡터 다발의 모듈라이 공간은 대수기하학에서 중요한 연구 대상이다.
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Vakil, Ravi (2017). Foundations of algebraic geometry. (영어) Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.

2. 정의

'''대수적 벡터 다발'''은 기하학적으로는 특정 스킴 사상으로, 대수적으로는 특별한 가군층으로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.^[1] 1차원 대수적 벡터 다발은 '''대수적 선다발'''(algebraic line bundle^영어)이라고 한다.

2. 1. 스킴을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

스킴 $X$
자연수 $n$

만약 다음 조건들이 성립한다면,

\pi

를

n

차원 '''대수적 벡터 다발'''이라고 한다.

스킴 $E$
전사 함수인 스킴 사상 $\pi\colon E\to X$
$X$ 의 어떤 열린 덮개 $\mathcal U=\{U_i\}_{i\in I}$
각 $i\in I$ 에 대하여, 스킴 동형 사상 $\pi^{-1}(U_i)\to \mathbb A^n_{U_i} = \mathbb A^n_{\mathbb Z}\times U_i$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

임의의 $i,j\in I$ 및 아핀 열린 부분 스킴 $\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U_i \cap U_j$ 에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 $R[x_1,\dotsc,x_n] \to R[y_1,\dotsc,y_n]$ 은 어떤 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n,n;R)$ 에 대하여 $r\mapsto r\;\forall r\in R$ , $x_i \mapsto \textstyle\sum_{i=1}^nx_iM_{ij}$ 로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, $M$ 은 가역 행렬이다.

같은 스킴

X

위의 두 대수적 벡터 다발

(E,\pi,\mathcal U)

,

(E',\pi',\mathcal U')

사이의 '''동형 사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$X$ -스킴의 동형 사상 $\iota\colon E/X\to E'/X$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$(E,\pi, \mathcal U\cap\mathcal U')$ 은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

2. 2. 층 이론을 통한 정의

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의 '''국소 자유 가군층'''은

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal E

가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\mathcal E \restriction U_i \cong (\mathcal O_X\restriction U)^{\oplus n}$ 인 자연수 $n\in\mathbb N$ 과 열린 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

n

차원 '''대수적 벡터 다발'''(또는 '''유한 계수 국소 자유층''')은

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal E

가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

어떤 열린 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\forall i\in I\colon\mathcal E \restriction U_i \cong (\underbrace{\mathcal O_X\oplus\dotsb\oplus\mathcal O_X}_n) \restriction U_i$

즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

2. 3. 두 정의 사이의 관계

층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.^[1] 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발

\pi \colon E \to X

의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

3. 성질

가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

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