동등 연속 함수족

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동등 연속 함수족
- 2.2. 균등 동등 연속 함수족
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 일반화
- 6.1. 위상 공간에서의 동등 연속성
- 6.2. 확률적 동등 연속성
참조

1. 개요

동등 연속 함수족은 위상 공간에서 균등 공간으로 가는 함수들의 집합으로, 특정 조건을 만족하는 함수족을 의미한다. 함수족 F가 x에서 동등 연속이라는 것은, Y의 임의의 측근 ε에 대해 x의 근방 U가 존재하여, F의 모든 함수 f와 U 내의 x'에 대해 f(x)와 f(x')가 ε로 가깝다는 것을 의미한다. 모든 점에서 동등 연속인 함수족은 동등 연속 함수족이라고 한다. 거리 공간에서의 등등연속, 점별 등등연속, 균등 등등연속과 같은 개념과 비교된다.

동등 연속 함수열은 각 점 수렴 시 극한 함수가 연속성을 가지며, 닫힌 구간에서 동등 연속인 함수열은 균등 동등 연속이고 균등 수렴한다. 아르첼라-아스콜리 정리는 동등 연속성과 균등 수렴의 관계를 설명하며, 콤팩트 공간에서 균등 수렴하는 부분 수열의 존재성을 보장한다. 동등 연속성은 위상군, 위상 벡터 공간, 선형 범함수 등 다양한 수학적 구조로 일반화될 수 있으며, 확률적 동등 연속성과 같은 개념으로도 확장된다.

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동등 연속 함수족
정의
정의	수학에서 함수열이 한 점에서 동등 연속이라는 것은 그 점에서 모든 함수가 균등하게 연속이라는 성질을 의미한다.
설명	간단히 말해, δ는 함수열의 모든 함수에 대해 동일한 ε에 대응할 수 있다.
동등 연속 함수족
정의	함수족 F가 주어진 정의역에서 동등 연속이라는 것은 각 점마다 동등 연속일 뿐만 아니라, 모든 점에 대해 동일한 δ를 선택할 수 있음을 의미한다.
설명	즉, δ는 점에 의존하지 않고 전체 정의역에 대해 균일하게 적용될 수 있다.
특징
각 점별 동등 연속	함수열의 모든 함수가 특정 점에서 연속일 경우, 그 함수열은 해당 점에서 동등 연속일 수 있다.
전체 구간 동등 연속	함수족이 특정 구간에서 동등 연속일 경우, 그 구간 내의 모든 점에서 동등 연속이다.
활용
응용 분야	동등 연속성은 함수열의 수렴 및 극한의 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 활용된다.
예시	미분방정식의 해의 존재성 및 유일성 증명, 함수 공간의 성질 분석 등에 활용될 수 있다.

2. 정의

''X''와 ''Y''가 거리 공간이고, ''F''가 ''X''에서 ''Y''로의 함수족일 때, 이들 공간의 거리를 ''d''로 나타내면 다음과 같이 정의할 수 있다.

점별 등등연속: 함수족 ''F''가 점 ''x''₀ ∈ ''X''에서 등등연속이라는 것은, 모든 ε > 0에 대해, 모든 ''ƒ'' ∈ ''F''와 ''d''(''x''₀, ''x'') < δ인 모든 ''x''에 대해, ''d''(''ƒ''(''x''₀), ''ƒ''(''x'')) < ε를 만족하는 δ > 0이 존재한다는 것을 의미한다.^[2] 함수족이 점별 등등연속이라는 것은 ''X''의 각 점에서 등등연속이라는 것을 의미한다.
균등 등등연속: 함수족 ''F''가 균등 등등연속이라는 것은, 모든 ε > 0에 대해, 모든 ''ƒ'' ∈ ''F''와 ''d''(''x''₁, ''x''₂) < δ인 모든 ''x''₁, ''x''₂ ∈ ''X''에 대해, ''d''(''ƒ''(''x''₁), ''ƒ''(''x''₂)) < ε를 만족하는 δ > 0이 존재한다는 것을 의미한다.^[3]

연속성, 균등 연속성과의 비교

성질	δ의 의존성
연속성	δ는 ε, ƒ, x₀에 따라 달라질 수 있다.
균등 연속	δ는 ε와 ƒ에 따라 달라질 수 있다.
점별 등등연속	δ는 ε와 x₀에 따라 달라질 수 있다.
균등 등등연속	δ는 ε에만 따라 달라질 수 있다.

더 일반적으로, ''X''가 위상 공간일 때, ''X''에서 ''Y''로의 함수 집합 ''F''는, 모든 ε > 0에 대해,

: $d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon$

모든 $y$ ∈ ''U_x''와 ''ƒ'' ∈ ''F''에 대해, 위 조건을 만족하는 근방 ''U_x''가 존재하면, ''x''에서 등등연속이라고 한다. 이 정의는 일반적으로 위상 벡터 공간의 맥락에서 나타난다.

''X''가 콤팩트일 때, 집합은 모든 점에서 등등연속일 때에만 균등 등등연속이 되는데, 이는 콤팩트 공간에서 균등 연속성과 연속성이 일치하는 것과 본질적으로 같은 이유이다. "등등연속"이라는 용어는 단독으로 사용될 경우, 문맥에 따라 점별 등등연속 또는 균등 등등연속을 의미할 수 있다. 콤팩트 공간에서는 이러한 개념이 일치한다.

몇 가지 기본적인 성질은 다음과 같다.

연속 함수의 모든 유한 집합은 등등연속이다.
등등연속 집합의 폐포는 다시 등등연속이다.
균등 등등연속 함수 집합의 각 원소는 균등 연속이며, 균등 연속 함수의 모든 유한 집합은 균등 등등연속이다.

2. 1. 동등 연속 함수족

위상 공간

X

에서 균등 공간

(Y,\mathcal E_Y)

로 가는 함수족

\mathcal F

와

x\in X

가 주어졌을 때, 임의의 측근

\epsilon\in\mathcal E_Y

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방

U\ni x

가 존재한다면,

\mathcal F

가 '''

x

에서 동등 연속 함수족'''(family of functions equicontinuous at

x

^영어)이라고 한다.^[7]

임의의 $f\in\mathcal F$ 및 $x'\in U$ 에 대하여, $f(x)\approx_\epsilon f(x')$

모든 점에서 동등 연속인 함수족을 '''동등 연속 함수족'''이라고 한다.

''X''와 ''Y''가 두 개의 거리 공간이고, ''F''가 ''X''에서 ''Y''로의 함수족이라고 할 때, 이러한 공간의 각 거리를 ''d''로 나타내면 다음과 같다.

함수족 ''F''가 점 ''x''₀ ∈ ''X''에서 '''등등연속'''이라는 것은, 모든 ε > 0에 대해, 모든 ''ƒ'' ∈ ''F''와 ''d''(''x''₀, ''x'') < δ인 모든 ''x''에 대해, ''d''(''ƒ''(''x''₀), ''ƒ''(''x'')) < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것을 의미한다. 함수족이 '''점별 등등연속'''이라는 것은 ''X''의 각 점에서 등등연속이라는 것을 의미한다.^[2]

함수족 ''F''가 '''균등 등등연속'''이라는 것은, 모든 ε > 0에 대해, 모든 ''ƒ'' ∈ ''F''와 ''d''(''x''₁, ''x''₂) < δ인 모든 ''x''₁, ''x''₂ ∈ ''X''에 대해, ''d''(''ƒ''(''x''₁), ''ƒ''(''x''₂)) < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것을 의미한다.^[3]

비교를 위해, '''F''에 있는 모든 함수 ''ƒ''가 연속이다'라는 것은, 모든 ε > 0, 모든 ''ƒ'' ∈ ''F'', 모든 ''x''₀ ∈ ''X''에 대해, ''d''(''x''₀, ''x'') < δ인 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''d''(''ƒ''(''x''₀), ''ƒ''(''x'')) < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것을 의미한다.

연속성의 경우, δ 는 ε, ''ƒ'', ''x''₀에 따라 달라질 수 있다.
균등 연속의 경우, δ 는 ε와 ''ƒ''에 따라 달라질 수 있다.
'''점별 등등연속'''의 경우, δ 는 ε와 ''x''₀에 따라 달라질 수 있다.
'''균등 등등연속'''의 경우, δ 는 ε에만 따라 달라질 수 있다.

더 일반적으로, ''X''가 위상 공간일 때, ''X''에서 ''Y''로의 함수 집합 ''F''는, 모든 ε > 0에 대해,

:

d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon

모든

y

∈ ''U_x''와 ''ƒ'' ∈ ''F''에 대해, 위 조건을 만족하는 근방 ''U_x''가 존재하면, ''x''에서 등등연속이라고 한다. 이 정의는 일반적으로 위상 벡터 공간의 맥락에서 나타난다.

''X''가 콤팩트일 때, 집합은 모든 점에서 등등연속일 때에만 균등 등등연속이 되는데, 이는 콤팩트 공간에서 균등 연속성과 연속성이 일치하는 것과 본질적으로 같은 이유이다. "등등연속"이라는 용어는 단독으로 사용될 경우, 문맥에 따라 점별 등등연속 또는 균등 등등연속을 의미할 수 있다. 콤팩트 공간에서는 이러한 개념이 일치한다.

몇 가지 기본적인 성질이 정의로부터 즉시 따른다. 연속 함수의 모든 유한 집합은 등등연속이다. 등등연속 집합의 폐포는 다시 등등연속이다. 균등 등등연속 함수 집합의 각 원소는 균등 연속이며, 균등 연속 함수의 모든 유한 집합은 균등 등등연속이다.

T

는 위상 공간이고,

Y

는 덧셈 연산을 가진 위상군(즉, 연산이 연속이 되도록 위상이 부여된 군)이라고 가정하자. 위상 벡터 공간은 위상군의 중요한 예시이며, 모든 위상군은 연관된 표준적인 균등성을 가진다.

'''정의''':

T

에서

Y

로 가는 함수족

H

는 만약 모든

Y

에서

0

의 근방

V

에 대해, 모든

h

∈ ''H''에 대해

h(U)

⊆

h(t)

+

V

를 만족하는

T

에서

t

의 근방

U

가 존재한다면,

t

∈

T

에서 '''균등 연속'''이라고 한다.

H

가

T

의 모든 점에서 균등 연속이면, 이를 그냥 '''균등 연속'''이라고 한다.

만약

H

가 한 점에서 균등 연속이면,

H

에 있는 모든 함수는 그 점에서 연속이다. 명백히,

T

에서

Y

로 가는 연속 함수의 유한 집합은 균등 연속이다.

(''f''_n)을 실수 전체의 집합 '''R'''의 부분 집합 ''X'' 위에서 정의된 실숫값 함수 ''f''_''n'' : ''X'' → '''R'''의 열이라고 하자(더 일반적인 함수에 대한 정의는 후술).

이 열 (''f''_''n'')이 '''동등 연속'''이라는 정의는 임의의 ε > 0과 ''x'' ∈ ''X''에 대해, 적절한 δ > 0을 선택하면, 임의의 자연수 ''n''과 |''x'' - ''x′''| < δ인 임의의 ''x′'' ∈ ''X''에 대해, |''f''_''n''(''x'') - ''f''_''n''(''x′'')| < ε가 성립하는 것이다.

더 나아가, 함수 열 (''f''_''n'')이 '''균등 동등 연속'''이라는 정의는 임의의 ε > 0에 대해, 적절한 δ > 0을 선택하면, 임의의 자연수 ''n''과 |''x'' - ''x′''| < δ인 임의의 ''x'', ''x′'' ∈ ''X''에 대해, |''f''_''n''(''x'') - ''f''_''n''(''x′'')| < ε가 성립하는 것이다.

참고로, 열 (''f''_''n'')의 모든 함수가 연속이라는 정의를 적으면, 임의의 자연수 ''n'', ε > 0과 ''x'' ∈ ''X''에 대해, 적절한 δ > 0을 선택하면, |''x'' - ''x′''| < δ인 임의의 ''x′'' ∈ ''X''에 대해, |''f''_''n''(''x'') - ''f''_''n''(''x′'')| < ε가 성립하는 것이다.

이 세 가지 정의의 차이를 다음과 같이 정리한다. 연속성에서는, δ는 ε, ''n'', ''x'' 모두에 의존하여 선택할 수 있다. 그러나, 동등 연속성에서는, δ는 ''n''에 의존해서는 안 되며, 균등 동등 연속성에서는, δ는 ''n''과 ''x'' 둘 다에 의존하지 않고 선택해야 한다.

2. 2. 균등 동등 연속 함수족

균등 공간

(X,\mathcal E_X)

와

(Y,\mathcal E_Y)

가 주어졌을 때,

X

에서

Y

로 가는 함수족

\mathcal F

를 생각하자.

임의의 측근

\epsilon\in\mathcal E_Y

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근

\delta\in\mathcal E_X

가 존재한다면,

\mathcal F

를 '''균등 동등 연속 함수족'''(均等同等連續函數族, uniformly equicontinuous family of functions^영어)이라고 한다.^[7]

임의의 $f\in\mathcal F$ 및 $x,x'\in X$ 에 대하여, 만약 $x\approx_\delta x'$ 이라면 $f(x)\approx_\epsilon f(x')$ 이다.

여기서

x\approx_\delta x_0

는

(x,x_0)\in\delta\in\mathcal E_X

인 것이다. 만약

X

의 균등 구조가 거리 함수로부터 유도된다면, 이는

\delta

를 어떤 양의 실수로 생각하며,

d_X(x,x_0)<\delta

로 해석해도 좋다. (

f(x)\approx_\epsilon f(x_0)

또한 마찬가지다.)

X

와

Y

가 거리 공간이고,

F

가

X

에서

Y

로의 함수족일 때, 각 거리를

d

로 나타내면 다음과 같이 정의할 수 있다.

함수족

F

가 '''균등 동등 연속'''이라는 것은, 모든

\epsilon>0

에 대해, 모든

f\in F

와

d(x_1, x_2) < \delta

인 모든

x_1, x_2 \in X

에 대해,

d(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon

를 만족하는

\delta>0

가 존재한다는 것을 의미한다.^[3]

함수 열

(f_n)

이 '''균등 동등 연속'''이라는 것은, 임의의

\epsilon>0

에 대해, 적절한

\delta>0

을 선택하면, 임의의 자연수

n

과

|x - x'| < \delta

인 임의의

x, x' \in X

에 대해,

|f_n(x) - f_n(x')| < \epsilon

가 성립하는 것이다.

이는 균등 연속과 비교할 때,

\delta

가

\epsilon

에만 의존하고, 함수

f

나 점

x

에는 의존하지 않는다는 차이점이 있다.

3. 성질

동등 연속 함수열은 각 점마다 수렴할 때 그 극한 함수는 연속 함수이다. 여기서 함수는 모두 '''R'''의 부분집합 ''X''에서 '''R'''로의 함수로 한정한다.^[2]

:'''정리 1''': 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이면, 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해 ''f''_''n''(''x'') → ''f''(''x'') (''n'' → ∞)를 만족하는 함수 ''f''는 연속이다.

정리 1의 가정은 조밀한 부분 집합 위에서 각 점 수렴하는 것으로 완화할 수 있다.

:'''정리 2''': 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이고, ''D''가 ''X''의 조밀한 부분 집합이라고 하자. ''x'' ∈ ''D''에 대해 ''f''_''n''(''x'')가 수렴하면, 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해 ''f''_''n''(''x'')는 수렴하고 그 극한 함수는 연속이다.

''f''_''n''의 정의역 ''X''가 닫힌 구간 [0, 1]인 경우에는 더 강한 결과가 성립한다.

동등 연속성과 균등 동등 연속성은 일치한다.

:'''정리 3''': 닫힌 구간 [0, 1] 상의 실수값 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이면, 균등 동등 연속이기도 하다.

동등 연속이며 각 점 수렴한다면 균등 수렴이다.

:'''정리 4''': 닫힌 구간 [0, 1] 상의 실수값 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이고, 각 점 ''x'' ∈ [0, 1]에 대해 ''f''_''n''(''x'') → ''f''(''x'')이면, ''f''_''n''(''x'')의 ''f''(''x'')로의 수렴은 [0, 1] 상에서 균등 수렴이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리와 유사하게 함수열에서 균등 수렴하는 부분 수열의 존재성을 제시하는 아스콜리-아르첼라 정리는 다음과 같다.

:'''아스콜리-아르첼라 정리''': (''f''_''n'')을 닫힌 구간 [0, 1] 상의 실수값 함수의 균등 유계인 열이라고 하자. 이때, 균등 수렴하는 (''f''_''n'')의 부분 수열이 존재한다. 여기서 '균등 유계'란, 어떤 상수 ''C''가 존재하여 임의의 ''x''와 ''n''에 대해 |''f''_''n''(''x'')| < ''C''가 됨을 의미한다.

더 일반적으로, 콤팩트 공간 ''K'' 상의 복소수값 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이고 각 점마다 유계라면, (''f''_''n'')은 ''K''에서 균등 유계이며, 균등 수렴하는 부분 수열을 가진다.

:'''정리 5''': ''K''를 콤팩트한 거리 공간으로 하고, ''S''를 ''K'' 상의 복소수값 함수 집합으로 하자. 이때 균등 노름 (:en:Uniform norm)에 관해 ''S''가 콤팩트하다는 것과, ''S''가 (균등) 닫힌 집합이며 각 점마다 유계이고 동등 연속이라는 것은 동치이다.

이 결과는 하이네-보렐의 덮개 정리와 유사하다. 하이네-보렐 정리는, '''R'''^''n''의 부분 집합이 콤팩트하다는 것과 유계 닫힌 집합이라는 것이 동치임을 나타낸다.

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

균등 동등 연속 함수족	⇒	동등 연속 함수족
⇓		⇓
균등 연속 함수족	⇒	연속 함수족

'''연속 함수족'''(family of continuous functions^영어)은 단순히 (균등 공간 위상에 대하여) 모든 원소가 연속 함수인 함수족이다.
'''균등 연속 함수족'''(family of uniformly continuous functions^영어)은 단순히 모든 원소가 균등 연속 함수인 함수족이다.

''X''가 콤팩트 공간일 때, 집합은 모든 점에서 동등 연속일 때에만 균등 동등 연속이 되는데, 이는 콤팩트 공간에서 균등 연속성과 연속성이 일치하는 것과 본질적으로 같은 이유이다.^[2]^[3] "동등 연속"이라는 용어는 단독으로 사용될 경우, 문맥에 따라 점별 동등 연속 또는 균등 동등 연속을 의미할 수 있다. 콤팩트 공간에서는 이러한 개념이 일치한다.

3. 2. 아르첼라-아스콜리 정리

'''아르첼라-아스콜리 정리'''(Arzelà–Ascoli theorem^영어)는 함수해석학에서 중요한 정리로, 함수 공간의 콤팩트성에 대한 정보를 제공한다.^[7]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
균등 공간 $(Y,\mathcal E_Y)$
연속 함수족 $\mathcal F\subseteq Y^X$

이때, 함수 집합

Y^X

위에 균등 수렴 위상을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간으로 만들 수 있다.

아르첼라-아스콜리 정리에 따르면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[7]

$\mathcal F\subseteq Y^X$ 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
다음 두 조건이 성립한다.
$\mathcal F$ 는 동등 연속 함수족이다.
모든 $x\in X$ 에 대하여, $\{f(x)\colon f\in\mathcal F\}\subseteq Y$ 는 콤팩트 집합이다.

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌을 때도 동일한 결론이 성립한다.

콤팩트 균등 공간 $X$
균등 공간 $(Y,\mathcal E_Y)$
균등 연속 함수족 $\mathcal F\subseteq Y^X$

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[7]

$\mathcal F\subseteq Y^X$ 가 (균등 수렴 위상에 대하여) 콤팩트 집합이다.
다음 두 조건이 성립한다.
$\mathcal F$ 는 균등 동등 연속 함수족이다.
모든 $x\in X$ 에 대하여, $\{f(x)\colon f\in\mathcal F\}\subseteq Y$ 는 콤팩트 집합이다.

이 정리는 함수 공간의 콤팩트성에 대한 중요한 정보를 제공하며, 함수해석학 등에서 널리 활용된다.

3. 3. 위상군 및 위상 벡터 공간에서의 동등 연속성

가 위상 공간이고, 가 덧셈 연산을 가진 위상군(연산이 연속이 되도록 위상이 부여된 군)이라고 가정하자. 위상 벡터 공간은 위상군의 중요한 예시이며, 모든 위상군은 연관된 표준적인 균등성을 가진다.

에서 로 가는 함수족 는 만약 모든 에서 의 근방 에 대해, 모든 에 대해 를 만족하는 에서 의 근방 가 존재한다면, 에서 '''동등 연속'''이라고 한다. 가 의 모든 점에서 동등 연속이면, 이를 그냥 '''동등 연속'''이라고 한다.^[1]

만약 가 한 점에서 동등 연속이면, 에 있는 모든 함수는 그 점에서 연속이다. 명백히, 에서 로 가는 연속 함수의 유한 집합은 동등 연속이다.

모든 위상 벡터 공간(TVS)은 위상군이므로 위상군에 대해 주어진 동등 연속 함수족의 정의는 변경 없이 TVS로 이전된다. 동등 연속 함수열은 각 점 수렴할 때 그 극한 함수는 연속이다. 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이고, 조밀한 부분 집합 위에서 각 점 수렴하면, ''f''_''n''(''x'')는 임의의 ''x''에 대해 수렴하고 극한 함수는 연속이다.

''f''_''n''의 정의역 ''X''가 닫힌 구간 [0, 1]인 경우에는 동등 연속성과 균등 동등 연속성은 일치하며, 동등 연속이며 각 점 수렴한다면 균등 수렴임이 따른다.

아스콜리-아르첼라 정리는 볼차노-바이어슈트라스 정리와 유사하게 함수열에서 균등 수렴하는 부분 수열의 존재성을 제시한다.

3. 3. 1. 동등 연속 선형 범함수

\mathbb{F}

를 체로 하는 위상 벡터 공간(TVS)

X

와 그 연속 쌍대 공간

X^{\prime}

에 대해,

X

상의 선형 범함수의 집합

H \subseteq X^{\prime}

가 동등 연속일 필요충분조건은 다음과 같다.

$H$ 는 동등 연속이다.

$H$ 는 원점에서 동등 연속이다.

$H$ 는 $X$ 의 어떤 점에서 동등 연속이다.

$H$ 는 $X$ 에서 원점의 어떤 근방의 극집합에 포함된다.^[1]

$H$ 의 극집합은 $X$ 에서 원점의 근방이다.

$X^{\prime}$ 에서 $H$ 의 약-* 위상 폐포는 동등 연속이다.

$H$ 의 평형 껍질은 동등 연속이다.

$H$ 의 볼록 껍질은 동등 연속이다.

$H$ 의 절대 볼록 껍질은 동등 연속이다.^[2]

X

가 노름 공간이면 다음 조건이 추가된다.

$H$ 는 $X^{\prime}$ 의 강하게 유계인 부분집합이다.^[3]

X

가 배럴 공간이면 다음 조건이 추가된다.

$H$ 는 $X^{\prime}$ 의 약-* 위상에서 상대 콤팩트이다.^[4]

$H$ 는 약-* 유계이다(즉, $H$ 는 $X^{\prime}$ 에서 $\sigma\left(X^{\prime}, X\right)-$ 유계이다).^[5]

$H$ 는 유계 수렴 위상에서 유계이다(즉, $H$ 는 $X^{\prime}$ 에서 $b\left(X^{\prime}, X\right)-$ 유계이다).^[6]

균등 유계 원리(바나흐-슈타인하우스 정리라고도 함)에 따르면, 바나흐 공간 사이의 선형 사상 집합

H

가 점별 유계이면 동등 연속이다. 즉, 각

x \in X

에 대해

\sup_{h \in H} \|h(x)\| < \infty

이다.

알라오글루 정리에 따르면,

X^{\prime}

의 균등 연속 부분 집합의 약한-* 폐포는 약한-* 컴팩트하며, 따라서 모든 균등 연속 부분 집합은 약한-* 상대 컴팩트하다.^[7]^[8]

3. 4. 균등 수렴과의 관계

Equicontinuous function sequence^영어은 각 점 수렴할 때 그 극한 함수는 연속이다. 이하, 함수는 모두 '''R'''의 부분집합 ''X''에서 '''R'''로의 함수로 한다.^[2]

:'''정리 1''': 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이라고 하자. 어떤 함수 ''f''가 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해 ''f''_''n''(''x'') → ''f''(''x'') (''n'' → ∞)를 만족할 때, ''f''는 연속이다.

정리 1의 가정은 다소 완화될 수 있다. 함수열이 조밀한 부분 집합 위에서 각 점 수렴하면 충분하다.

:'''정리 2''': 함수열 (''f''_''n'')이 동등 연속이라고 하자. 또한, ''D''는 ''X''의 조밀한 부분 집합이라고 한다. ''x'' ∈ ''D''에 대해 ''f''_''n''(''x'')가 수렴한다면, ''f''_''n''(''x'')는 (''D''의 원소에 한정되지 않는) 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해 수렴하고, 극한 함수는 연속이다.

''f''_''n''의 정의역 ''X''가 닫힌 구간 [0, 1]인 경우에는 좀 더 강한 결과가 따른다. 먼저, 동등 연속성과 균등 동등 연속성은 일치한다.

:'''정리 3''': 닫힌 구간 [0, 1] 상의 실수값 함수의 열 (''f''_''n'')이 동등 연속이라면, 그 열은 균등 동등 연속이기도 하다.

그리고, 동등 연속이며 각 점 수렴한다면 균등 수렴임이 따른다.

:'''정리 4''': 닫힌 구간 [0, 1] 상의 실수값 함수의 열 (''f''_''n'')이 동등 연속이며, 또한 각 점 ''x'' ∈ [0, 1]에 대해 ''f''_''n''(''x'') → ''f''(''x'')라고 한다. 이 때, ''f''_''n''(''x'')의 ''f''(''x'')로의 수렴은 [0, 1] 상에서 균등 수렴이다.

4. 예

다음과 같은 함수열을 생각하자.

:x|x^영어↦arctan nx|arctan nx^영어: n|n^영어∈ℕ}⊆ ℝ^ℝ

이는 x|x^영어=0에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 x|x^영어=0에서 기울기들의 열 n|n^영어_{n|n^영어∈ℕ}이 발산하기 때문이다.^[4]^[5]

함수열 f_n(x|x^영어) = arctan(nx)|arctan(nx)^영어는 x₀=0에서 정의가 위배되므로 균등 연속 함수족이 아니다.

5. 역사

동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말 이탈리아의 수학자 줄리오 아스콜리(Giulio Ascoli^it, 1843~1896)^[8]와 체사레 아르첼라(Cesare Arzelà^it, 1847~1912)^[9]가 도입하였다.

6. 일반화

동등 연속성의 정의는 임의의 거리 공간 사이의 사상으로 일반화할 수 있다. (''f''_''n'')을 ''X''에서 ''Y''로의 사상 열이라고 하자. 이 열이 동등 연속이라는 것은, 임의의 ε > 0과 임의의 ''x'' ∈ ''X''에 대해, 적절한 δ > 0을 선택하면, 임의의 ''n''과 ''d''_''X''(''x'', ''x′'') < δ를 만족하는 임의의 ''x′''에 대해, ''d''_''Y''(''f''_''n''(''x''), ''f''_''n''(''x′'')) < ε가 성립하는 것을 말한다.^[7] 여기서, ''d''_''X''과 ''d''_''Y''는 각각 거리 공간 ''X''와 ''Y''의 거리 함수이다. 균등 동등 연속성 역시 유사하게 정의할 수 있다.

이 정의에 대해서도 (동등 연속 함수열의 극한 함수는 연속 함수라는) 정리 1은 성립하지만, (동등 연속 함수열이 균등 수렴 부분열을 가지면, 원래 함수열도 균등 수렴한다는) 정리 2는 ''Y''가 완비인 경우에만 성립한다.

6. 1. 위상 공간에서의 동등 연속성

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

위상 공간 $X$
균등 공간 $(Y,\mathcal E_Y)$
$X$ 에서 $Y$ 로 가는 함수족 $\mathcal F$
$x\in X$

임의의 측근

\epsilon\in\mathcal E_Y

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 근방

U\ni x

가 존재한다면,

\mathcal F

가 '''

x

에서 동등 연속 함수족'''(family of functions equicontinuous at

x

^영어)이라고 한다.^[7]

임의의 $f\in\mathcal F$ 및 $x'\in U$ 에 대하여, $f(x)\approx_\epsilon f(x')$

모든 점에서 동등 연속인 함수족을 '''동등 연속 함수족'''이라고 한다.

더 일반적으로, ''X''가 위상 공간일 때, ''X''에서 ''Y''로의 함수 집합 ''F''는, 모든 ε > 0에 대해,

:

d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon

모든

y

∈ ''U_x''와 ''ƒ'' ∈ ''F''에 대해 위 조건을 만족하는 근방 ''U_x''가 존재하면, ''x''에서 동등연속이라고 한다. 이 정의는 일반적으로 위상 벡터 공간의 맥락에서 나타난다.

''X''가 콤팩트일 때, 집합은 모든 점에서 동등연속일 때에만 균등 동등연속이 되는데, 이는 콤팩트 공간에서 균등 연속성과 연속성이 일치하는 것과 본질적으로 같은 이유이다. "동등연속"이라는 용어는 단독으로 사용될 경우, 문맥에 따라 점별 동등연속 또는 균등 동등연속을 의미할 수 있다. 콤팩트 공간에서는 이러한 개념이 일치한다.

몇 가지 기본적인 성질이 정의로부터 즉시 따른다. 연속 함수의 모든 유한 집합은 동등연속이다. 동등연속 집합의 폐포는 다시 동등연속이다.

두 위상 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 연속 함수 집합 ''A''는 점 ''x'' ∈ ''X'' 및 ''y'' ∈ ''Y''에서 '''위상적으로 동등 연속'''이며, ''y''에 대한 임의의 열린 집합 ''O''에 대해, 모든 ''f'' ∈ ''A''에 대해, ''f''[''U'']과 ''V''의 교집합이 공집합이 아니면, ''f''[''U''] ⊆ ''O''를 만족하는 ''x''의 근방 ''U''와 ''y''의 근방 ''V''가 존재한다. 그러면 ''A''는 ''x'' ∈ ''X''에서 ''x''와 모든 ''y'' ∈ ''Y''에 대해 위상적으로 동등 연속이면 '''위상적으로 동등 연속'''이라고 한다. 마지막으로, ''A''는 모든 점 ''x'' ∈ ''X''에서 동등 연속이면 '''동등 연속'''이라고 한다.

두 위상 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 연속 함수 집합 ''A''는 ''y''를 포함하는 임의의 열린 집합 ''O''에 대해, ''f''(''x'') ∈ ''V''일 때마다 ''f''[''U''] ⊆ ''O''를 만족하는 ''x''의 근방 ''U''와 ''y''의 근방 ''V''가 존재하면 ''x'' ∈ ''X'' 및 ''y'' ∈ ''Y''에서 '''균등 연속'''이라고 한다. ''x''에서 균등 연속이 되는 모든 ''y'' ∈ ''Y''에 대해 ''x''에서 균등 연속이면 '''x''에서 균등 연속'''이고, 모든 ''x'' ∈ ''X''에서 균등 연속이면 '''균등 연속'''이라고 한다.

6. 2. 확률적 동등 연속성

확률적 동등 연속은 확률 변수의 함수열과 그들의 수렴의 맥락에서 사용되는 동등 연속의 한 형태이다.^[6]

참조

_[1] 문서 compactly generated space
_[2] 문헌 Reed, Simon, 1980
_[3] 문헌 Reed, Simon, 1980
_[4] 서적 Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems Springer 2000
_[5] 서적 The arithmetic of dynamical systems Springer 2007
_[6] 서적 Asymptotic Theory of Expanding Parameter Space Methods and Data Dependence in Econometrics
_[7] 서적 Topologie générale. Chapitres 5 à 10 Hermann 1974
_[8] 논문 Le curve limite di una varietà data di curve 1883
_[9] 논문 Un’ osservazione intorno alle Serie di funzioni 1893

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