동류항

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1. 개요
2. 동류항의 정의
3. 동류항의 계산
- 3.1. 일반적인 경우
- 3.2. 복잡한 식의 단순화
4. 동류항 정리의 활용
참조

1. 개요

동류항은 다항식에서 문자 부분이 완전히 일치하는 항을 의미한다. 분배법칙을 이용하여 동류항을 하나의 항으로 축약할 수 있으며, 이러한 과정을 통해 식을 단순화한다. 식에 동류항이 존재할 경우 계수를 더하거나 빼서 결합하고, 공통 인수를 유지하여 결합할 수 있는데, 이러한 동류항 결합은 방정식을 푸는 데 중요한 도구로 활용된다.

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동류항
정의
설명	대수학에서, 동류항(同類項, 영어: like terms, similar terms)은 변수와 그 변수의 지수가 각각 같은 항이다. 즉, 계수는 달라도 변수와 변수의 차수가 모두 같은 항을 말한다.
예시
동류항	3x -2x 5x
동류항 아님	3x -2y 5x^2

2. 동류항의 정의

동류항은 덧셈 또는 뺄셈으로 결합된 항들 중에서, 공통의 미지수(또는 여러 개의 미지수)를 가진 항들을 의미한다.^[1] 예를 들어, 다음 식을 살펴보자.

: $ax+bx$

이 식에는 두 개의 항이 있다. 두 항 모두 $x$ 를 공통 인수로 가지고 있다. 이러한 경우, 공통 인수인 변수를 묶어낼 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

: $(a+b)x$

괄호 안의 변수들이 알려진 숫자라면, $a+b$ 를 계산하고 새로운 숫자와 나머지 미지수를 나란히 쓰는 것이 더 간단하다. 이처럼 동류항들은 분배법칙을 이용하여 하나의 항으로 축약될 수 있으며, 이러한 과정을 통해 주어진 식을 단순화하여 파악하기 쉽게 만들 수 있다.^[1] 예를 들어 다음과 같이 계산된다.

: $x^2 - 2x^2 = (1-2)x^2 = -x^2$

3. 동류항의 계산

동류항은 분배법칙을 이용하여 하나의 항으로 묶을 수 있다. 동류항의 계수들을 더하거나 빼서 계산한다. 예를 들어, $5x + 3x = (5+3)x = 8x$ 와 같이 계산한다.

3. 1. 일반적인 경우

분배법칙을 이용하여 동류항들을 하나의 항으로 묶을 수 있다. 이러한 과정을 통해 주어진 식을 단순화하여 파악하기 쉽도록 만든다. 예를 들어,

x^2 - 2x^2 = (1-2)x^2 = -x^2

와 같이 계산된다.

ax+bx

식에는 두 개의 항이 있는데, 두 항 모두 공통적으로

x

를 가지고 있다. 이 공통 인수를 묶어내면 다음과 같다.

:

(a+b)x

괄호 안의 식을 계산할 수 있다면, 즉 괄호 안의 변수들이 알려진 숫자라면,

a+b

를 계산하고 새로운 숫자와 나머지 미지수를 나란히 쓰는 것이 더 간단하다. 이처럼 공통의 미지수를 가진 식에서 결합된 항을 동류항이라고 한다.

예를 들어,

a=5

와

b=3

으로 하면, 원래의 식은

5x+3x

가 되고, 이는

(5+3)x

또는

8x

로 묶을 수 있다. 즉,

5x+3x=8x

이다.

둘 이상의 항에서, 알려진 값을 계수라고 한다. 식에 동류항이 존재할 경우, 계수를 더하거나 빼서 결합하고 두 항의 공통 인수를 유지하여 동류항을 결합할 수 있다. 이러한 동류항 결합은 방정식을 푸는 데 사용되는 중요한 도구이다.

예를 들어, 다음과 같은 식이 주어졌다고 하자.

:

3(4x^2y-6y)+7x^2y-3y^2+2(8y-4y^2-4x^2y)

동류항을 묶는 첫 번째 단계는 괄호를 없애는 것이다. 괄호 앞에 있는 각 숫자를 해당 괄호 안의 각 항에 곱하면 다음과 같다.

:

12x^2y-18y+7x^2y-3y^2+16y-8y^2-8x^2y

여기서 미지수 인수 집합은

x^2y,

y^2,

및

y

이다. 모든 동류항은 미지수 인수를 유지하면서 계수를 더하거나 빼서 결합할 수 있다. 따라서 식은 다음과 같이 단순화된다.

:

11x^2y-2y-11y^2

모든 동류항이 결합되고 모든 항이 서로 다를 때 식을 단순화된 것으로 간주한다.

3. 2. 복잡한 식의 단순화

복잡한 식에서 동류항을 묶기 위해서는 먼저 괄호를 제거해야 한다. 괄호 앞의 숫자를 괄호 안의 각 항에 분배하여 괄호를 제거한다. 동류항끼리 묶어 계수를 계산하고, 미지수 부분을 그대로 유지한다. 모든 동류항이 정리되고, 더 이상 동류항이 없을 때 식이 완전히 단순화된 것으로 간주한다.

예를 들어 다음과 같은 식이 주어졌다고 하자.

:

3(4x^2y-6y)+7x^2y-3y^2+2(8y-4y^2-4x^2y)

이 식에서 동류항을 묶는 첫 번째 단계는 괄호를 없애는 것이다. 괄호 앞에 있는 각 숫자를 해당 괄호 안의 각 항에 분배(곱하기)하여 이를 수행한다.

:

12x^2y-18y+7x^2y-3y^2+16y-8y^2-8x^2y

여기서 동류항은 정확히 동일한 미지수 인수를 갖는 항을 의미한다. 미지수 인수 집합은

x^2y,

y^2,

및

y.

이다. 동일한 미지수 인수 집합을 갖는 모든 동류항은 미지수 인수를 유지하면서 계수를 더하거나 빼서 결합할 수 있다. 따라서 식은 다음과 같이 단순화된다.

:

11x^2y-2y-11y^2

모든 동류항이 결합되고, 모든 항이 서로 다를 때 식을 단순화된 것으로 간주한다. 이 경우 모든 항이 서로 다른 미지수 인수를 가지므로 서로 다르며, 따라서 식은 완전히 단순화된다.

4. 동류항 정리의 활용

동류항 정리는 방정식을 푸는 데 사용되는 중요한 도구이다. 복잡한 식을 간단하게 만들어 문제를 해결하는 데 도움을 준다.^[1]

예를 들어, 다음과 같은 식이 주어졌다고 하자.

: $3(4x^2y-6y)+7x^2y-3y^2+2(8y-4y^2-4x^2y)$

이 식에서 동류항을 묶는 첫 번째 단계는 괄호를 없애는 것이다. 괄호 앞에 있는 각 숫자를 해당 괄호 안의 각 항에 분배(곱하기)하여 이를 수행한다.

: $12x^2y-18y+7x^2y-3y^2+16y-8y^2-8x^2y$

여기서 미지수 인수 집합은 $x^2y,$ $y^2,$ 및 $y.$ 이다. 동일한 미지수 인수 집합을 갖는 모든 동류항은 미지수 인수를 유지하면서 계수를 더하거나 빼서 결합할 수 있다. 따라서 식은 다음과 같다.

: $11x^2y-2y-11y^2$

모든 동류항이 결합되고 모든 항이 서로 다를 때 식을 단순화된 것으로 간주한다. 이 경우 모든 항이 서로 다른 미지수 인수를 가지므로 서로 다르며, 따라서 식은 완전히 단순화된다.^[1]

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