둔각삼각형

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1. 개요
2. 코사인 법칙
- 2.1. 제2 코사인 법칙
  - 2.1.1. 유클리드 원론에서의 증명
3. 둔각삼각형의 합동 조건
참조

1. 개요

둔각삼각형은 한 각이 90도보다 큰 삼각형을 의미하며, 코사인 법칙과 합동 조건에 대한 내용을 포함한다. 코사인 법칙을 통해 둔각삼각형의 변과 각 사이의 관계를 증명하며, 두 변과 둔각이 같으면 두 둔각삼각형이 합동이라는 둔각삼각형의 합동 조건을 정의한다.

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둔각삼각형
개요
다양한 종류의 삼각형
정의	한 각이 90°보다 큰 삼각형
종류	예각삼각형 직각삼각형 둔각삼각형
특징	가장 긴 변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합보다 큼
성질
피타고라스 정리	c² > a² + b² (c가 가장 긴 변일 때)
각	둔각은 90° 초과 180° 미만
기타
관련 항목	삼각형 예각 둔각 직각 피타고라스 정리

2. 코사인 법칙

둔각삼각형에서의 제2코사인법칙^[3]은 유클리드 원론에서 다루어진다.

:

cos (\pi - \alpha)  =  \over{ \overline{AC} } }

:

\overline{CD} =  \overline{AC}  cos (\pi - \alpha)

:

\overline{CD} =  - \overline{AC} cos \alpha

따라서,

:

\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)

:

\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC}  cos \alpha} \right)

:

c^2= a^2 +b^2 - 2ab  \cos \alpha

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

2. 1. 제2 코사인 법칙

둔각삼각형에서 제2 코사인 법칙은 다음과 같다.^[3]

$cos (\pi - \alpha) = \over{ \overline{AC} } }$
$\overline{CD} = \overline{AC} cos (\pi - \alpha)$
$\overline{CD} = - \overline{AC} cos \alpha$

따라서 제2 코사인 법칙은 다음과 같이 유도된다.

$\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)$
$\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC} cos \alpha} \right)$
$c^2= a^2 +b^2 - 2ab \cos \alpha$

2. 1. 1. 유클리드 원론에서의 증명

유클리드 원론 2권 법칙12에서^[3],

\overline{AB}

에서 임의의 한 점

C

에 대해서

\overline{AH}=\overline{CB}=\overline{BI}

이고,

\overline{AC}=\overline{EF}=\overline{EH}

이므로,

:

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 + 2 \left(\overline{AC}\cdot \overline{BC} \right)

이다.

유클리드 원론 2권 법칙4에서, 둔각삼각형

\triangle{ABC}

에서

\overline{BD}

의 임의의 한 점

C

에 대해서

:

\overline{BD}^2=\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)

:

\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;

:

\overline{AC}^2=\overline{CD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;

:

\overline{AC}^2-\overline{CD}^2 = \overline{AD}^2 \;\;

이므로,

:

\overline{AB}^2= \left(\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) \right)  + \left( \overline{AC}^2-\overline{CD}^2  \right)

:

\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)

이다.

:

cos (\pi - \alpha)  =  \over{ \overline{AC} } }

:

\overline{CD} =  \overline{AC}  cos (\pi - \alpha)

:

\overline{CD} =  - \overline{AC} cos \alpha

이므로,

:

\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)

:

\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC}  cos \alpha} \right)

:

c^2= a^2 +b^2 - 2ab  \cos \alpha

이다.

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

3. 둔각삼각형의 합동 조건

두 변의 길이와 하나의 둔각이 주어졌을 때, 그 둔각이 주어진 두 변 사이의 끼인각이 아니어도 두 둔각삼각형은 합동이 된다. 이를 둔각삼각형의 합동 조건이라고 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 鈍角三角形の合同条件 http://blog.livedoor[...] 東大・京大・一直線 2019-11-03
_[2] 웹사이트 ２つの鈍角三角形は本当に合同？二等辺三角形を作り出せ！ http://gakusyu.shizu[...] あすなろ学習室 2019-11-03
_[3] 프로젝트 구텐베르크 프로젝트-유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 및 1권 법칙47 http://www.gutenberg[...]

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