등급 가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 등급 가군
- 2.2. 등급 가군 준동형
3. 연산
4. 예시
5. 일반적인 등급화
6. 동차 선형 사상
참조

1. 개요

등급 가군은 모노이드에 의해 등급화된 환에 대한 가군의 일반화이다. 왼쪽 및 오른쪽 등급 가군은 아벨 군의 족과 가군 구조로 구성되며, 특정 조건을 만족해야 한다. 등급 가군은 체 위의 등급 벡터 공간으로도 볼 수 있으며, 각 차수 성분은 자연수 집합뿐만 아니라 임의의 첨자 집합으로도 첨자화될 수 있다. 특히, 정수의 잉여류 환을 첨자 집합으로 사용하는 경우 초벡터 공간이라고 한다. 등급 가군 사이의 준동형은 차수를 보존하는 가군 준동형이다. 등급 가군에는 직합, 텐서곱, 뒤틂, 힐베르트-푸앵카레 급수와 같은 연산이 정의된다. 등급 벡터 공간의 부분 공간은 자연수 집합뿐만 아니라 임의의 집합 I의 원소로 인덱싱될 수 있다. 동차 선형 사상은 등급 가군 사이의 사상으로, 차수를 보존한다.

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등급 가군
정의
정의	대수 구조로, 그 구성 요소들이 차수라고 불리는 비음의 정수에 따라 분류되는 구조이다.
관련 개념
관련 개념	차수환 차수 대수 차수 가군
예시
예시	텐서 대수 대칭 대수 외대수
수학적 구조
유형	벡터 공간
성질	직합 차수
일반화
일반화	여과 벡터 공간

2. 정의

이 섹션에서는 등급 가군, 등급 벡터 공간, 그리고 이들 사이의 준동형인 등급 가군 준동형의 기본적인 정의를 다룬다.

등급 벡터 공간은 벡터 공간을 특정 기준(주로 음이 아닌 정수)에 따라 여러 부분 공간의 직합으로 분해한 것이다. 각 부분 공간의 원소는 특정 '차수'를 가지는 '동차 원소'라고 불린다. 예를 들어, 다항식의 집합은 각 차수의 동차 다항식들을 부분 공간으로 하는 등급 벡터 공간으로 볼 수 있다.

등급 가군은 이러한 개념을 환 위의 가군으로 일반화한 것으로, 등급 벡터 공간은 등급 가군의 특수한 경우에 해당한다.

등급 가군 준동형은 두 등급 가군 사이의 구조, 즉 각 등급 성분을 보존하는 가군 준동형이다. 등급 벡터 공간 사이에서는 이를 '차수 선형 사상' 또는 '동차 선형 사상'이라고도 부른다.

각 개념에 대한 자세한 정의와 예시는 아래 하위 섹션에서 설명한다.

2. 1. 등급 가군

모노이드

(I,\cdot,1)

와

I

-등급환

\textstyle R=\bigoplus_{i\in I}R_i

가 주어졌다고 가정하자.

이때,

R

위의 '''왼쪽 등급 가군'''(left graded module)은 다음 요소들로 구성된다.

아벨 군의 족 $(M_i)_{i\in I}$ . 이들의 직합을 $\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}M_i$ 로 표기한다.
$M$ 위의 $R$ -왼쪽 가군 구조 $R\otimes_{\mathbb Z}M\to M$ .

이 구조는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

R_iM_j\subseteq M_{ij}\qquad\forall i,j\in I

유사하게,

R

위의 '''오른쪽 등급 가군'''(right graded module)은 다음 요소들로 구성된다.

아벨 군의 족 $(M_i)_{i\in I}$ . 마찬가지로 $\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}M_i$ 로 표기한다.
$M$ 위의 $R$ -오른쪽 가군 구조 $M\otimes_{\mathbb Z}R\to M$ .

이 구조는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

M_iR_j\subseteq M_{ij}\qquad\forall i,j\in I

만약

R_1

이 체라면,

R

-등급 가군은

R_0

-벡터 공간이 되며, 이 경우 보통

R

-'''등급 벡터 공간'''(graded vector space^영어)이라고 부른다.

특히, 음이 아닌 정수의 집합

\mathbb{N}

에 대해 '''

\mathbb{N}

-등급 벡터 공간'''은 단순히 '''등급 벡터 공간'''이라고도 불린다. 이는 다음과 같은 직합으로 분해되는 벡터 공간

V

를 의미한다.

:

V = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} V_n

여기서 각

V_n

은 벡터 공간이다. 주어진

n

에 대해

V_n

의 원소는 '''차수

n

의 동차 원소'''(homogeneous element of degree n)라고 한다.

등급 벡터 공간은 여러 분야에서 활용된다. 예를 들어, 하나 또는 여러 변수를 가진 모든 다항식의 집합은 등급 벡터 공간을 형성한다. 이 경우, 차수

n

의 동차 원소는 정확히 차수

n

인 단항식들의 선형 결합으로 이루어진다. 즉, 차수

n

의 동차 다항식이다.

\mathbb{C}[z] = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{C}z^n

벡터 공간

V

에 대해, 그 텐서 대수

T(V)

, 대칭 대수

S(V)

, 외대수

\textstyle \bigwedge(V)

등도 자연스럽게 등급 벡터 공간 구조를 가진다.

등급 벡터 공간의 각 부분 공간을 첨자화하는 집합은 자연수 집합

\mathbb{N}

에 국한되지 않고, 임의의 집합

I

가 될 수 있다. '''

I

-등급 벡터 공간'''

V

는 집합

I

의 원소

i

로 첨자화된 부분 공간들의 직합으로 표현되는 벡터 공간이다.

:

V = \bigoplus_{i \in I} V_i.

따라서 위에서 정의된

\mathbb{N}

-등급 벡터 공간은 첨자 집합

I

가 자연수 집합

\mathbb{N}

인 특별한 경우의

I

-등급 벡터 공간이다.

첨자 집합

I

가 환

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

(원소가 0과 1)인 경우는 물리학, 특히 초대칭 이론 등에서 중요하게 다루어진다. 이러한

(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})

-등급 벡터 공간은 '''슈퍼벡터 공간'''(supervector space)이라고도 불린다.^[1]

2. 2. 등급 가군 준동형

두

R

-왼쪽 가군 등급 가군

M

,

N

사이의 '''등급 가군 준동형'''

f\colon M\to N

은 각 등급 성분을 보존하는

R

-왼쪽 가군 준동형이다. 즉, 다음 조건을 만족시킨다.

:

f(M_i)\subseteq N_i\qquad\forall i\in I

여기서

I

는 등급을 매기는 데 사용되는 집합이며,

M_i

와

N_i

는 각각

M

과

N

의

i

번째 등급 성분이다. 이는 준동형

f

가 각 등급의 원소를 같은 등급의 원소로 대응시키는 것을 의미한다.

두

R

-오른쪽 가군 등급 가군 사이의 '''등급 가군 준동형''' 역시 같은 방식으로 정의된다.

체 위의 등급 벡터 공간

V

,

W

사이의 등급 가군 준동형은 '''차수 선형 사상'''(graded linear map) 또는 '''동차 선형 사상'''(homogeneous linear map)이라고도 불린다. 이는 차수를 보존하는 선형 변환으로, 다음 조건을 만족한다.

:

f(V_i)\subseteq W_i \quad (\forall i \in I)

고정된 체와 지표 집합

I

에 대해, 등급 벡터 공간들은 차수 선형 사상을 사상으로 하는 범주를 형성한다.

지표 집합

I

가 덧셈 연산(+)을 갖는 가환 모노이드(예: 자연수의 집합

\mathbb{N}

)일 경우, 차수를 변경하는 동차 선형 사상을 정의할 수도 있다. 차수

i \in I

를 갖는 동차 선형 사상

f\colon V \to W

는 다음 조건을 만족하는 선형 변환이다.

:

f(V_j)\subseteq W_{i+j}\quad(\forall j \in I)

여기서 '+'는 모노이드 연산을 나타낸다.

만약

I

가 소거 법칙을 만족하여 아벨 군

A

로 확장될 수 있다면(예:

I = \mathbb{N}

일 때

A = \mathbb{Z}

), 임의의

i \in A

에 대해 차수

i

를 갖는 동차 선형 사상을 정의할 수 있다. 특히,

i \in I

에 대해 차수

-i

를 갖는 동차 선형 사상은 다음 조건을 만족한다.

:

f(V_{i+j})\subseteq W_j\quad(\forall j \in I)

:

f(V_j)=0\,

만약

j-i \notin I

이면.

여기서 '+'와 '-'는 군

A

에서의 연산을 나타낸다.

선형 공간에서 자신으로의 선형 사상 전체가 자기 준동형 사환이라 불리는 결합 대수를 이루는 것과 마찬가지로, 등급 선형 공간

V

에서 자신으로의 모든 동차 선형 사상들의 집합은 (차수를 모노이드

I

로 제한하든, 군

A

의 원소를 허용하든) 결합적인 등급 대수를 이룬다.

3. 연산

벡터 공간에서 여러 연산을 통해 새로운 벡터 공간을 만들 수 있듯이, 차수 선형 공간에서도 기존 공간으로부터 새로운 공간을 구성하는 연산을 정의할 수 있다. 대표적인 연산으로는 직합과 텐서곱이 있다.

이러한 연산들은 등급 가군의 맥락에서도 유사하게 정의되며, 각 연산의 구체적인 정의와 성질은 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

3. 1. 직합

I

-등급환

R

위의 왼쪽 등급 가군들의 족

(M^a)^{a\in A}

이 주어졌을 때, 이들의 '''직합'''은 다음과 같이 정의된다.

:

M=\bigoplus_{a\in A}M^a

:

M_i=\bigoplus_{a\in A}M_i^a\qquad\forall i\in I

이렇게 정의된 직합

M

역시

R

-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

벡터 공간의 경우와 마찬가지로, 차수 선형 공간에 대해서도 알려진 차수 선형 공간으로부터 새로운 차수 선형 공간을 만드는 연산을 정의할 수 있다.

같은

I

로 차수화된 두 개의

I

-차수 선형 공간

V, W

에 대해, 이들의 '''직합'''은 다음과 같이 정의되는

I

-차수 선형 공간을 말한다.

:

V\oplus W := \bigoplus_i X_i;\quad X_i := V_i \oplus W_i\qquad(\forall i\in I)

3. 2. 텐서곱

I

-등급환

R

위의 두 왼쪽 등급 가군

M

,

N

이 주어졌을 때, 이들의 '''텐서곱'''

M \otimes_R N

은 각 차수

i \in I

에 대해 다음과 같이 정의되는

R

-가군들의 직합으로 구성된다.

:

(M \otimes_R N)_i = \bigoplus_{j,k \in I \colon jk=i} M_j \otimes_R N_k

여기서

\otimes_R

은 환

R

위의 텐서곱을 나타낸다. 이렇게 정의된

M \otimes_R N

역시

R

-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

마찬가지로,

R

위의 두 오른쪽 등급 가군의 텐서곱도 동일한 방식으로 정의할 수 있으며, 그 결과 역시 오른쪽 등급 가군이 된다.

3. 3. 뒤틂

I

-등급환

R

위의 왼쪽 등급 가군

M

및

i_0\in I

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

M

의

i_0

-'''뒤틂'''(twist^eng)

M(i_0)

은 다음과 같다.

:

M(i_0)_i=M_{ii_0}

마찬가지로,

I

-등급환

R

위의 오른쪽 등급 가군

M

및

i_0\in I

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

M

의

i_0

-'''뒤틂'''(twist^eng)

M(i_0)

은 다음과 같다.

:

M(i_0)_i=M_{i_0i}

3. 4. 힐베르트-푸앵카레 급수

\mathbb N

-등급환

R

위의 왼쪽 등급 가군

M

의 '''힐베르트-푸앵카레 급수'''(Hilbert–Poincaré series^영어)는, 만약 존재한다면, 다음과 같이 정의되는 형식적 멱급수이다.

:

p_M(t)=\sum_{i\in\mathbb N}\ell_{R_0}(M_i)t^i\in\mathbb Zt

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\ell_{R_0}(-)$ 는 $R_0$ -왼쪽 가군으로서의 가군의 길이이다. 만약 어떤 $i$ 에 대해 $M_i$ 의 길이가 무한하다면, $M$ 의 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
$\mathbb Zt$ 는 정수를 계수로 가지는 하나의 변수 $t$ 에 대한 형식적 멱급수환이다.

유사하게,

\mathbb{N}

-등급 벡터 공간

V = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} V_n

(여기서

\mathbb{N}

은 음이 아닌 정수의 집합)이 주어지고, 각 동차 성분

V_n

이 유한 차원을 가질 때, 그 힐베르트-푸앵카레 급수는 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{n\in\mathbb{N}}\dim_K(V_n)\, t^n

여기서

\dim_K(V_n)

는 체

K

위에서의 벡터 공간

V_n

의 차원을 나타낸다.

등급 벡터 공간의 예시로는 하나 또는 여러 변수를 가지는 모든 다항식의 집합이 있다. 이 경우, 차수

n

의 동차 원소는 정확히 차수

n

인 단항식들의 선형 결합으로 이루어진다.

등급 벡터 공간들의 직접합과 텐서 곱의 힐베르트-푸앵카레 급수는 각각 원래 벡터 공간들의 힐베르트-푸앵카레 급수의 합과 곱에 해당한다.

4. 예시

등급 벡터 공간의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

하나 또는 여러 변수를 갖는 다항식들의 집합은 등급 벡터 공간을 이룬다. 각 차수 ''n''의 동차 다항식들이 해당 차수의 부분 공간을 형성한다.

등급 벡터 공간의 부분 공간을 나누는 첨자(index)는 음이 아닌 정수 집합 $\mathbb{N}$ 외에도 임의의 집합 ''I''를 사용할 수 있다. 이를 ''I''-등급 벡터 공간 $V = \bigoplus_{i \in I} V_i$ 라고 한다. 예를 들어, $\mathbb{N}$ -등급 벡터 공간은 ''I''가 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 인 특별한 경우이다.

첨자 집합 ''I''가 두 원소 0과 1로 이루어진 환 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 인 경우, 즉 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ -등급 벡터 공간은 물리학에서 중요하게 사용되며 초벡터 공간이라고 불린다.

4. 1. 초벡터 공간

체

K

에 자명한

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

-등급을 부여하였을 때,

K

-등급 가군

:

V=V_0\oplus V_1

은

K

-'''초벡터 공간'''(super-vector space|^영어)이라고 한다.

특히, 첨자 집합

I

가 환

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

(원소 0과 1)인 경우는 물리학에서 중요하며, 이러한

\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

-등급 벡터 공간은 초벡터 공간(supervector space)이라고도 불린다^[1].

4. 2. 등급 아벨 군

정수환

\mathbb Z

에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 '''등급 아벨 군'''(graded Abelian group^eng)이라고 한다.

4. 3. 다항식환

하나 또는 여러 변수를 갖는 다항식들의 집합은 등급 벡터 공간의 중요한 예시이다. 이 공간에서 차수 ''n''의 동차 원소는 정확히 차수 ''n''인 단항식들의 선형 결합으로 이루어진다. 즉, 차수 ''n''의 동차 다항식이 이에 해당한다.

예를 들어, 복소수 계수를 갖는 변수

z

에 대한 다항식환

\mathbb{C}[z]

는 다음과 같이 각 차수별 공간의 직합으로 표현될 수 있다.

\mathbb{C}[z] = \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{C}z^n

여기서

\mathbb{N}

은 음이 아닌 정수의 집합이며, 각

\mathbb{C}z^n

은 차수가 ''n''인 단항식

z^n

에 복소수 상수를 곱한 형태의 원소들로 이루어진 1차원 벡터 공간이다. 따라서 차수 ''n''의 동차 원소는

c \cdot z^n

(단,

c

는 복소수) 형태이며, 이는 차수 ''n''의 동차 다항식이다. 다변수 다항식의 경우에도 유사하게, 주어진 총 차수를 갖는 단항식들의 선형 결합으로 동차 원소가 정의된다.

5. 일반적인 등급화

등급 벡터 공간의 부분 공간은 자연수 집합뿐만 아니라, 임의의 집합 ''I''의 원소를 사용하여 번호를 매길(인덱싱할) 수 있다. ''I''-등급 벡터 공간 ''V''는 집합 ''I''의 각 원소 ''i''에 대응하는 부분 공간 ''V''_''i''들의 직접합으로 표현되는 벡터 공간이다. 즉, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $V = \bigoplus_{i \in I} V_i$

따라서 앞서 정의된 $\mathbb{N}$ -등급 벡터 공간은 인덱스 집합 ''I''가 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 인 특별한 경우에 해당한다.

특히 인덱스 집합 ''I''가 0과 1 두 원소만 가지는 환 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (즉, 정수를 2로 나눈 나머지의 집합)인 경우가 물리학 분야에서 중요하게 다루어진다. 이러한 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ -등급 벡터 공간을 슈퍼벡터 공간(supervector space)이라고 부른다.^[1]

6. 동차 선형 사상

일반적인 지표 집합 ''I''에 대해, 두 개의 ''I''-등급 벡터 공간 ''V'', ''W'' 사이의 선형 사상 ''f'' : ''V'' → ''W''가 동차 원소의 등급을 보존할 때, 즉 모든 ''i'' ∈ ''I''에 대해 다음 조건을 만족할 때 '''동차 선형 사상'''이라고 한다.

: $f(V_i)\subseteq W_i$

동차 선형 사상은 등급 벡터 공간 사이의 '''준동형''' 또는 '''사상'''이라고도 불린다.

고정된 체와 지표 집합 ''I''에 대해, ''I''-등급 벡터 공간들은 동차 선형 사상을 사상으로 하는 범주를 형성한다.

지표 집합 ''I''가 덧셈 연산 "+"를 갖는 가환 모노이드 (예를 들어 자연수의 집합 '''N''')일 경우, ''I''의 임의의 원소 ''i''에 대해 '''차수 ''i''의 동차 선형 사상''' ''f''를 더 일반적으로 정의할 수 있다. 이는 모든 ''j'' ∈ ''I''에 대해 다음 조건을 만족하는 선형 사상이다.

: $f(V_j)\subseteq W_{i+j}$

여기서 "+"는 모노이드 ''I''의 연산을 나타낸다.

만약 ''I''가 소거법칙을 만족하고, ''I''에 의해 생성되는 아벨 군 ''A'' (예를 들어 ''I''가 자연수일 때 ''A''는 정수의 집합 '''Z''')로 매장될 수 있다면, ''A''의 임의의 원소 ''i''를 차수로 갖는 동차 선형 사상 ''f''도 같은 방식으로 정의할 수 있다. 즉, 모든 ''j'' ∈ ''I''에 대해 다음 조건을 만족하며, 여기서 "+"는 군 ''A''의 연산을 의미한다.

: $f(V_j)\subseteq W_{i+j}$

특히, 군 ''A''에는 역원이 존재하므로, ''I''의 원소 ''i''에 대해 '''차수 -''i''의 동차 선형 사상''' ''f''는 다음 두 조건을 만족하는 선형 사상으로 정의된다.

모든 ''j'' ∈ ''I''에 대해 $f(V_{i+j})\subseteq W_j$
''j'' - ''i''가 ''I''에 속하지 않는 경우 $f(V_j) = 0$

벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 사상 전체가 결합 대수인 자기준동형 대수를 이루는 것처럼, 등급 벡터 공간 ''V''에서 자기 자신으로 가는 모든 동차 선형 사상의 집합은 (차수를 모노이드 ''I''의 원소로 제한하든, 군 ''A''의 원소까지 허용하든) 결합 등급 대수를 형성한다.

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