디리클레 함수
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1. 개요
디리클레 함수는 실수 집합에서 정의된 함수로, 유리수에서는 1, 무리수에서는 0의 값을 갖는다. 이 함수는 모든 점에서 불연속이며, 모든 유리수를 주기로 갖는 주기 함수이지만 최소 양의 주기는 존재하지 않는다. 디리클레 함수는 리만 적분 불가능하지만 르베그 적분은 가능하며, 르베그 적분 값은 0이다. 이 함수는 독일 수학자 페터 구스타프 디리클레에 의해 1829년에 제시되었다.
2. 정의
디리클레 함수 1_\mathbb Q\colon\mathbb R\to\{0,1\} 는 다음과 같이 정의된다.1_\mathbb Q(x)=\begin{cases} \mathbb Q 와 \mathbb R\setminus\mathbb Q 는 각각 유리수 와 무리수 의 집합이다.1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x) m! 는 계승, \cos 는 코사인 함수이다.
2. 1. 지시 함수를 이용한 정의
디리클레 함수 1_\mathbb Q\colon\mathbb R\to\{0,1\} 는 다음과 같이 정의된다.1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\begin{cases} m! 는 계승, \cos 는 코사인, \mathbb Q 와 \mathbb R\setminus\mathbb Q 는 각각 유리수 와 무리수 의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 1_{\mathbb Q} 는 베르 2급 함수이다.x\in\mathbb Q 인 경우, \textstyle x=\frac ab 인 정수 a,b 를 잡을 수 있다. 임의의 m\ge b 에 대하여 m!x 는 정수이므로, \cos(m!\pi x) 는 -1 또는 1이다. 따라서 다음이 성립한다.\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}1=1 x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q 인 경우, 임의의 m\ge 0 에 대하여 m!x 는 정수가 아니므로, \cos(m!\pi x) 는 -1과 1 사이의 값을 갖는다. 따라서 다음이 성립한다.\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}0=0 2. 2. 극한을 이용한 정의
:1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x) m! 는 계승, \cos 는 코사인 함수이다. 이 정의는 디리클레 함수가 베르 2급 함수임을 보여준다.x 가 유리수 라면, \textstyle x=\frac ab 인 정수 a , b 를 찾을 수 있다. m\ge b 이면 m!x 는 정수이므로, \cos(m!\pi x) 는 -1 또는 1이다. 따라서 다음이 성립한다.\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}1=1 x 가 무리수 라면, 모든 m\ge 0 에 대하여 m!x 는 정수가 아니므로, \cos(m!\pi x) 는 -1과 1 사이의 값이다. 따라서 다음이 성립한다.\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}0=0
3. 성질
디리클레 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.
주기성 : 모든 유리수 를 주기로 갖는 주기 함수이며, 최소 양의 주기는 존재하지 않는다. 이는 유리수 체가 덧셈에 대해 닫혀 있기 때문이다.연속성 : 모든 점에서 불연속 이다. 이는 임의의 실수 에 대해, 상극한은 1이고 하극한은 0이기 때문이다. 유리수 와 무리수 는 실수 에서 조밀하기 때문에, 모든 점에서 불연속성이 나타난다.적분 : 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 이 불가능하지만, 르베그 적분 은 가능하다. 르베그 적분 값은 0이다. 이는 유리수 집합의 르베그 측도 가 0이기 때문이다.3. 1. 주기성
디리클레 함수 1_{\mathbb Q} 는 모든 유리수 를 주기로 갖는 주기 함수이며, 최소 양의 주기는 존재하지 않는다.1_{\mathbb Q}(x+t)=1_{\mathbb Q}(x) 가 성립한다. 만약 x\in\mathbb Q 라면, 유리수는 덧셈에 대해 닫혀있으므로 x+t\in\mathbb Q 이고,1_{\mathbb Q}(x+t)=1=1_{\mathbb Q}(x) x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q 라면, x+t\in\mathbb R\setminus\mathbb Q 이므로,1_{\mathbb Q}(x+t)=0=1_{\mathbb Q}(x) 귀류법 을 사용하여, t_0\in\mathbb Q^+ 가 1_{\mathbb Q} 의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그러면, \textstyle\frac{t_0}2\in\mathbb Q^+ 역시 1_{\mathbb Q} 의 양의 주기이며, \textstyle\frac{t_0}2이다. 이는 t_0 이 최소 양의 주기라는 가정에 모순된다. 따라서 디리클레 함수는 최소 양의 주기를 갖지 않는다.f(x+a)=f(x) 가 성립한다. 이는 유리수체 \mathbb{Q} 가 덧셈에 대해 닫혀 있기 때문이다. 또한, 이 함수는 무한히 많은 주기를 가지며 상수 함수 가 아닌 주기 함수의 예시이다.3. 2. 연속성
디리클레 함수 1_{\mathbb Q} 는 모든 점에서 불연속 이다. 이는 임의의 x\in\mathbb R 에 대하여, 상극한은 1이고 하극한은 0이기 때문이다.x\in\mathbb R 에 대하여, x 로 수렴하는 유리수 수열 (x_n)_{n=0}^\infty 과 무리수 수열 (y_n)_{n=0}^\infty 을 취할 수 있다. 유리수 와 무리수 는 실수 에서 조밀하기 때문이다. 그렇다면 다음이 성립한다.1=\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(x_n)\le\limsup_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\sup_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)=1 0=\inf_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)\le\liminf_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(y_n)=0 3. 3. 적분
디리클레 함수 1_{\mathbb Q} 는 모든 점에서 불연속 이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 이 불가능하다. 그 상적분과 하적분은 각각 다음과 같다.\overline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=b-a \underline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=0 단순 함수 이므로, 르베그 적분 이 가능하며, 그 값은 다음과 같다.\int_{\mathbb R}1_{\mathbb Q}d\mu=0 유리수 집합의 르베그 측도 가 0이기 때문이다.영집합 이 아니므로 (르베그 측도 에 대해) 유계임에도 불구하고 \R 의 어떤 구간에서도 리만 적분 이 불가능하다.단조 수렴 정리 가 리만 적분의 맥락에서 참이 아님을 보여주는 반례를 제공한다.
참조
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Springer
Dirichlet-function
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웹사이트
Dirichlet Function — from MathWorld
http://mathworld.wol[...]
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학술지
Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données
https://eudml.org/do[...]
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서적
The Calculus Gallery
Princeton University Press
2005
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http://www.digizeits[...]
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서적
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https://archive.org/[...]
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2005
[7]
문서
"Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여]
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