라게르 다항식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 처음 몇 개의 라게르 다항식
5. 응용
- 5.1. 양자역학
- 5.2. 기타 응용
6. 역사
참조

1. 개요

라게르 다항식은 로드리게스 공식으로 정의되는 다항식의 일종이다. 물리학에서는 $1/n!$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다. 라게르 다항식은 재귀적 정의, 닫힌 형식, 그리고 생성 함수를 통해 표현될 수 있으며, 일반화된 라게르 다항식도 존재한다. 라게르 다항식은 직교성을 가지며, 양자역학에서 수소 원자, 진동 전자 전이, 3차원 양자 조화 진동자 등을 분석하는 데 활용된다. 에드몽 라게르에 의해 1878년에 처음 소개되었다.

더 읽어볼만한 페이지

직교 다항식 - 르장드르 다항식
르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의되는 직교 다항식 계열로, 생성 함수, 로드리게스 공식, 또는 점화식을 통해 정의될 수 있으며, 물리학, 공학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다.
직교 다항식 - 체비쇼프 다항식
체비쇼프 다항식은 재귀적 정의, 삼각 함수 정의, 최소 상한 노름 등 여러 동치 조건으로 정의되는 실수 다항식으로, 제1종 다항식( $T_n$ )과 제2종 다항식( $U_n$ )으로 나뉘며 수치 해석 분야에 활용된다.
특수 초기하함수 - 지수 함수
지수 함수는 양의 상수 *a*를 밑으로 하는 *y = a^x* 형태의 함수이며, 특히 자연로그의 역함수인 *e^x*는 다양한 정의와 응용을 가지며 복소수로 확장될 수 있다.
특수 초기하함수 - 르장드르 다항식
르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의되는 직교 다항식 계열로, 생성 함수, 로드리게스 공식, 또는 점화식을 통해 정의될 수 있으며, 물리학, 공학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다.
다항식 - 르장드르 다항식
르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의되는 직교 다항식 계열로, 생성 함수, 로드리게스 공식, 또는 점화식을 통해 정의될 수 있으며, 물리학, 공학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다.
다항식 - 행렬식
행렬식은 정사각 행렬에 대해 정의되는 값으로, 선형 방정식의 해를 구하고 선형 독립성을 확인하며 기저의 방향과 부피를 계산하는 데 사용되며, 가우스 소거법 등의 계산 기법과 가역성 판단, 고유값 연관성 등의 성질을 갖는다.

라게르 다항식
개요
종류	직교 다항식
변수	x
기호	Lₙ(x)
정의	'Lₙ(x) = (eˣ/n!) dⁿ/dxⁿ (e⁻ˣxⁿ)'
성질	직교성, 점화식, 로드리게스 공식, 생성 함수
라게르 다항식 (Laguerre Polynomials)
정의	n차 라게르 다항식은 다음과 같이 정의됨: Lₙ(x) = (eˣ/n!) dⁿ/dxⁿ (e⁻ˣxⁿ)
로드리게스 공식	'Lₙ(x) = (eˣ/n!) dⁿ/dxⁿ (e⁻ˣxⁿ)'
직교성	'∫₀^∞ e⁻ˣ Lₘ(x) Lₙ(x) dx = δₘₙ' (m ≠ n일 때 0, m = n일 때 1)
생성 함수	'∑ₙ₀^∞ Lₙ(x) tⁿ = 1/(1-t) e^(-xt/(1-t))'
점화식	L₀(x) = 1 L₁(x) = 1 - x (n+1)Lₙ₊₁(x) = (2n+1-x)Lₙ(x) - nLₙ₋₁(x)
예시	L₀(x) = 1 L₁(x) = -x + 1 L₂(x) = (x² - 4x + 2) / 2 L₃(x) = (-x³ + 9x² - 18x + 6) / 6
일반화된 라게르 다항식 (Associated Laguerre Polynomials)
다른 이름	라게르 곁다항식, 연관 라게르 다항식
정의	Lₙ^(k)(x) = (-1)ᵏ dᵏ/dxᵏ Lₙ₊ₖ(x)
로드리게스 공식	'Lₙ^(α)(x) = (x⁻ᵅ eˣ / n!) dⁿ/dxⁿ (e⁻ˣ x^(n+α))'
직교성	'∫₀^∞ xᵅ e⁻ˣ Lₘ^(α)(x) Lₙ^(α)(x) dx = Γ(n+α+1)/n! δₘₙ'
생성 함수	'∑ₙ₀^∞ Lₙ^(α)(x) tⁿ = (1-t)^(-α-1) e^(-xt/(1-t))'
점화식	L₀^(α)(x) = 1 L₁^(α)(x) = 1 + α - x (n+1)Lₙ₊₁^(α)(x) = (2n+1+α-x)Lₙ^(α)(x) - (n+α)Lₙ₋₁^(α)(x)
예시	L₀^(α)(x) = 1 L₁^(α)(x) = -x + α + 1 L₂^(α)(x) = (x² + 2(-α - 2)x + (α + 2)(α + 1)) / 2
응용
양자역학	수소 원자의 슈뢰딩거 방정식의 해
관련 함수
라게르 함수	'f(x) = e^(-x/2) Lₙ(x)'
참고 문헌

2. 정의

'''라게르 다항식'''( $L_n$ )은 로드리게스 공식(Rodrigues formula^영어)으로 정의된다.

: $L_n(x)=\frac1{n!}\exp(x)\frac{d^n}{dx^n}\exp(-x)x^n$

물리학에서는 $1/n!$ 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식은 다음과 같다.

: $L_0(x) = 1$

: $L_1(x) = 1 - x$

그 다음, 임의의 $k \ge 1$ 에 대해 다음 점화 관계를 사용한다.

: $L_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)}{k + 1}.$

또한, 다음 관계식도 성립한다.

: $x L'_n(x) = nL_n (x) - nL_{n-1}(x).$

일부 경계값 문제에서 다음 특성값이 유용하게 사용될 수 있다.

: $L_{k}(0) = 1, L_{k}'(0) = -k.$

'''닫힌 형식'''은 다음과 같다.

: $L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!} x^k .$

이에 대한 생성 함수는 다음과 같다.

: $\sum_{n=0}^\infty t^n L_n(x)= \frac{1}{1-t} e^{-tx/(1-t)}.$

연산자 형태는 다음과 같다.

: $L_n(x) = \frac{1}{n!}e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x})$

음수 지수의 다항식은 양수 지수의 다항식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $L_{-n}(x)=e^xL_{n-1}(-x).$

임의의 실수 $\alpha$ 에 대한 다음 미분 방정식의 다항식 해^[2]는 '''일반화 라게르 다항식''' 또는 '''연관 라게르 다항식'''이라고 한다.

: $x\,y'' + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0$

일반화 라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식은 다음과 같다.

:

L^{(\alpha)}_0(x) = 1

:

L^{(\alpha)}_1(x) = 1 + \alpha - x

그리고

k \ge 1

인 모든 경우에 대해 다음 재귀 관계를 사용한다.

:

L^{(\alpha)}_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 + \alpha - x)L^{(\alpha)}_k(x) - (k + \alpha) L^{(\alpha)}_{k - 1}(x)}{k + 1}.

단순 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우(

\alpha = 0

)이다.

:

L^{(0)}_n(x) = L_n(x).

로드리게스 공식은 다음과 같다.

:

L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^\infty  t^n L^{(\alpha)}_n(x)=  \frac{1}{(1-t)^{\alpha+1}} e^{-tx/(1-t)}.

3. 성질

라게르 다항식은 여러 가지 흥미로운 성질을 가지고 있다.

기본적으로 라게르 다항식은 재귀적으로 정의될 수 있는데, 처음 두 다항식은 다음과 같다.

$L_0(x) = 1$
$L_1(x) = 1 - x$

이후, k ≥ 1 인 경우 다음 점화식을 사용한다.

:

L_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)}{k + 1}.

또한, 다음 관계식이 성립한다.

:

x L'_n(x) = nL_n (x) - nL_{n-1}(x).

경계값 문제에서 유용한 특성값은 다음과 같다.

:

L_{k}(0) = 1, L_{k}'(0) = -k.

닫힌 형식은 다음과 같다.

:

L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!} x^k .

생성함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^\infty t^n L_n(x)=  \frac{1}{1-t} e^{-tx/(1-t)}.

음수 지수 다항식은 양수 지수 다항식을 사용하여 표현할 수 있다.

:

L_{-n}(x)=e^xL_{n-1}(-x).

일반화 라게르 다항식(연관 라게르 다항식)은 다음 미분 방정식의 다항식 해이다.^[2]

:

x\,y'' + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0

일반화 라게르 다항식은 재귀적으로 정의될 수 있으며, 처음 두 다항식은 다음과 같다.

$L^{(\alpha)}_0(x) = 1$
$L^{(\alpha)}_1(x) = 1 + \alpha - x$

그리고 k ≥ 1 인 모든 경우에 대해 다음 재귀 관계를 사용한다.

:

L^{(\alpha)}_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 + \alpha - x)L^{(\alpha)}_k(x) - (k + \alpha) L^{(\alpha)}_{k - 1}(x)}{k + 1}.

일반 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우(α = 0)이다.

:

L^{(0)}_n(x) = L_n(x).

로드리게스 공식은 다음과 같다.

:

L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^\infty  t^n L^{(\alpha)}_n(x)=  \frac{1}{(1-t)^{\alpha+1}} e^{-tx/(1-t)}.

라게르 함수는 합류적 초기하 함수와 Kummer 변환을 사용하여 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

L_n^{(\alpha)}(x) := {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x).

n차 일반화 라게르 다항식의 닫힌 형식은 다음과 같다.^[5]

:

L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}

처음 몇 개의 일반화된 라게르 다항식은 아래 표와 같다.

n	$L_n^{(\alpha)}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+\alpha +1\,$
2	$\tfrac{1}{2} (x^2-2\left( \alpha +2 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \left( \alpha +2 \right)) \,$
3	$\tfrac{1}{6} (-x^3+3\left( \alpha +3 \right) x^2-3\left( \alpha +2 \right) \left( \alpha +3 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \left( \alpha +2 \right) \left( \alpha +3 \right)) \,$
4	$\tfrac{1}{24} (x^4-4\left( \alpha +4 \right) x^3+6\left( \alpha +3 \right) \left( \alpha +4 \right) x^2-4\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +4 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +4 \right)) \,$
5	$\tfrac{1}{120} (-x^5+5\left( \alpha +5 \right) x^4-10\left( \alpha +4 \right) \left( \alpha +5 \right) x^3+10\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right) x^2-5\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right)) \,$
6	$\tfrac{1}{720} (x^6-6\left( \alpha +6 \right) x^5+15\left( \alpha +5 \right) \left( \alpha +6 \right) x^4-20\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x^3+15\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x^2-6\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right)) \,$
7	$\tfrac{1}{5040} (-x^7+7\left( \alpha +7 \right) x^6-21\left( \alpha +6 \right) \left( \alpha +7 \right) x^5+35\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^4-35\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^3+21\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^2-7\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right)) \,$
8	$\tfrac{1}{40320} (x^8-8\left( \alpha +8 \right) x^7+28\left( \alpha +7 \right) \left( \alpha +8 \right) x^6-56\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^5+70\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^4-56\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^3+28\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^2-8\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right)) \,$
9	$\tfrac{1}{362880} (-x^9+9\left( \alpha +9 \right) x^8-36\left( \alpha +8 \right) \left( \alpha +9 \right) x^7+84\left( \alpha +7 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^6-126\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^5+126\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^4-84\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^3+36\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^2-9\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right)) \,$
10	$\tfrac{1}{3628800} (x^{10}-10\left( \alpha +10 \right) x^9+45\left( \alpha +9 \right) \left( \alpha +10 \right) x^8-120\left( \alpha +8 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^7+210\left( \alpha +7 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^6-252\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^5+210\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^4-120\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^3+45\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^2-10\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right)) \,$

최고차항의 계수는 (−1)^''n''/''n''! 이다.
상수항(0에서의 값)은 $L_n^{(\alpha)}(0) = {n+\alpha\choose n} = \frac{\Gamma(n + \alpha + 1)}{n!\, \Gamma(\alpha + 1)};$ 이다.

α가 음수가 아니면, ''L''_''n''^(''α'')은 ''n''개의 실수, 엄격하게 양의 근을 가지며, 이 모든 근은 구간

\left( 0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha} \, \right]

안에 있다.

큰 n에 대한 다항식의 점근적 거동은 다음과 같다(단, α와 x > 0는 고정).^[6]^[7]

:

\begin{align}& L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \sin\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha-\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right), \\[6pt]& L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-x/2}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right),\end{align}

이는 다음과 같이 요약할 수 있다.

:

\frac{L_n^{(\alpha)}\left(\frac x n\right)}{n^\alpha}\approx e^{x/ 2n} \cdot \frac{J_\alpha\left(2\sqrt x\right)}{\sqrt x^\alpha},

여기서

J_\alpha

는 베셀 함수이다.

일반화된 라게르 다항식은 에르미트 다항식과 다음과 같은 관계를 갖는다.

$H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)$
$H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! x L_n^{(1/2)} (x^2)$

여기서

H_n(x)

는 가중 함수

\exp(-x^2)

를 기반으로 하는 에르미트 다항식(물리학자 버전)이다.

이러한 관계 때문에 일반화된 라게르 다항식은 양자 조화 진동자를 다룰 때 나타난다.

라게르 다항식은 초기하 함수, 구체적으로는 합류형 초기하 함수를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)

여기서

(a)_n

는 포흐하머 기호(상승 계승)이다.

일반화된 라게르 다항식은 하디-힐 공식을 만족한다.^[14]^[15]

:

\sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(n+\alpha+1\right)}L_n^{(\alpha)}(x)L_n^{(\alpha)}(y)t^n=\frac{1}{(1-t)^{\alpha + 1}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_0F_1\left(;\alpha + 1;\frac{xyt}{(1-t)^2}\right),

여기서 왼쪽의 급수는

\alpha>-1

및

|t|<1

에 대해 수렴한다. 다음 항등식을 사용하면,

:

\,_0F_1(;\alpha + 1;z)=\,\Gamma(\alpha + 1) z^{-\alpha/2} I_\alpha\left(2\sqrt{z}\right),

다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{\Gamma(1+\alpha+n)}L_n^{(\alpha)}(x)L_n^{(\alpha)}(y) t^n = \frac{1}{(xyt)^{\alpha/2}(1-t)}e^{-(x+y)t/(1-t)} I_\alpha \left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right).

3. 1. 직교성

라게르 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

:

\int_{0}^\infty L_m(x)L_n(x)e^{-x}=\delta_{mn}

여기서

\delta_{mn}

은 크로네커 델타이다.

일반화된 라게르 다항식은 가중 함수

x^\alpha e^{-x}

에 대해

(0, \infty)

에서 직교성을 갖는다.^[10]

:

\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m},

이는 다음에서 비롯된다.

:

\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').

만약

\Gamma(x,\alpha+1,1)

이 감마 분포를 나타낸다면, 직교 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\int_0^{\infty} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\Gamma(x,\alpha+1,1) dx={n+ \alpha \choose n}\delta_{n,m},

양자 역학에서 수소 원자를 다룰 때 필요한 적분은 다음과 같다.

:

\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)} (x)\right]^2 dx= \frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).

3. 2. 점화식과 생성함수

라게르 다항식은 다음과 같은 점화식을 따른다.^[8]

:

L_{n+1}(x)=\frac1{n+1} \left( (2n+1- x)L_n(x)-nL_{n-1}(x)\right)

라게르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.^[8]

:

\sum_n^\infty  t^nL_n(x)=\frac1{1-t}\exp\left(\frac{-tx}{1-t}\right)

이를 전개하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.^[8]

:

L_n(x)=\sum_{k=0}^n (n-k)\binom nk^2 \frac{(-1)^k}{k!}x^k

라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수도 있다. 처음 두 다항식을 다음과 같이 정의한다.^[8]

:

L_0(x) = 1

:

L_1(x) = 1 - x

그 다음, 임의의 k ≥ 1 에 대해 다음의 점화 관계를 사용한다.^[8]

:

L_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)}{k + 1}.

또한, 다음 식이 성립한다.^[8]

:

x L'_n(x) = nL_n (x) - nL_{n-1}(x).

일부 경계값 문제의 해에서 특성 값이 유용할 수 있다.^[8]

:

L_{k}(0) = 1, L_{k}'(0) = -k.

라게르 다항식은 다음과 같은 점화 관계를 만족한다.^[8]

:

L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n L_{n-i}^{(\alpha+i)}(y)\frac{(y-x)^i}{i!},

특히^[8]

:

L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)

그리고^[8]

:

L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x),

또는^[8]

:

L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);

더욱이^[8]

:

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\[6pt]&=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x)\end{align}

이들을 사용하여 다음과 같은 네 개의 3점 규칙을 도출할 수 있다.^[8]

:

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x) &= L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) = \sum_{j=0}^k {k \choose j}(-1)^j L_{n-j}^{(\alpha+k)}(x), \\[10pt]n L_n^{(\alpha)}(x) &= (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x), \\[10pt]& \text{또는 } \\\frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x) &= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x), \\[10pt]n L_n^{(\alpha+1)}(x) &= (n-x) L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) + (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x) \\[10pt]x L_n^{(\alpha+1)}(x) &= (n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);\end{align}

이들을 결합하면 다음과 같은 추가적이고 유용한 점화 관계가 얻어진다.^[8]

:

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)&= \left(2+\frac{\alpha-1-x}n \right)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)- \left(1+\frac{\alpha-1}n \right)L_{n-2}^{(\alpha)}(x)\\[10pt]&= \frac{\alpha+1-x}n  L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)- \frac x n L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x)\end{align}

3. 3. 일반화 라게르 다항식

임의의 실수 α에 대한 다음 미분 방정식의 다항식 해는^[2] '''일반화 라게르 다항식''' 또는 '''연관 라게르 다항식'''이라고 한다.

:

x\,y'' + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0

일반화 라게르 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

:

L^{(\alpha)}_0(x) = 1

:

L^{(\alpha)}_1(x) = 1 + \alpha - x

그리고 k ≥ 1 인 모든 경우에 대해 다음의 재귀 관계를 사용한다.

:

L^{(\alpha)}_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 + \alpha - x)L^{(\alpha)}_k(x) - (k + \alpha) L^{(\alpha)}_{k - 1}(x)}{k + 1}.

단순 라게르 다항식은 일반화 라게르 다항식의 특수한 경우( α = 0 )이다.

:

L^{(0)}_n(x) = L_n(x).

로드리게스 공식은 다음과 같다.

:

L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)= \frac{x^{-\alpha}}{n!}\left( \frac{d}{dx}-1\right)^nx^{n+\alpha}.

생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^\infty  t^n L^{(\alpha)}_n(x)=  \frac{1}{(1-t)^{\alpha+1}} e^{-tx/(1-t)}.

라게르 함수는 합류적 초기하 함수와 Kummer 변환을 사용하여 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

L_n^{(\alpha)}(x) := {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x).

: 여기서

{n+ \alpha \choose n}

은 일반화된 이항 계수이다. n이 정수일 때 함수는 n차 다항식으로 축소된다. 이는 제2종 쿠머 함수의 관점에서 다음과 같은 다른 표현식을 갖는다.^[4]

:

L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x)

n차 일반화 라게르 다항식의 닫힌 형식은 다음과 같다.^[5]

:

L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}

:이는 곱의 미분에 대한 라이프니츠 정리를 로드리게스 공식에 적용하여 얻어진다.

라게르 다항식은 밀접하게 관련된 에르미트 다항식과 마찬가지로 미분 연산자 표현을 갖는다. 즉, $D = \frac{d}{dx}$ 이고 미분 연산자 $M=xD^2+(\alpha+1)D$ 를 고려한다. 그러면 $\exp(-tM)x^n=(-1)^nt^nn!L^{(\alpha)}_n\left(\frac{x}{t}\right)$ 이다.
처음 몇 개의 일반화된 라게르 다항식은 다음과 같다.

n	$L_n^{(\alpha)}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+\alpha +1\,$
2	$\tfrac{1}{2} (x^2-2\left( \alpha +2 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \left( \alpha +2 \right)) \,$
3	$\tfrac{1}{6} (-x^3+3\left( \alpha +3 \right) x^2-3\left( \alpha +2 \right) \left( \alpha +3 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \left( \alpha +2 \right) \left( \alpha +3 \right)) \,$
4	$\tfrac{1}{24} (x^4-4\left( \alpha +4 \right) x^3+6\left( \alpha +3 \right) \left( \alpha +4 \right) x^2-4\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +4 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +4 \right)) \,$
5	$\tfrac{1}{120} (-x^5+5\left( \alpha +5 \right) x^4-10\left( \alpha +4 \right) \left( \alpha +5 \right) x^3+10\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right) x^2-5\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +5 \right)) \,$
6	$\tfrac{1}{720} (x^6-6\left( \alpha +6 \right) x^5+15\left( \alpha +5 \right) \left( \alpha +6 \right) x^4-20\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x^3+15\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x^2-6\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +6 \right)) \,$
7	$\tfrac{1}{5040} (-x^7+7\left( \alpha +7 \right) x^6-21\left( \alpha +6 \right) \left( \alpha +7 \right) x^5+35\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^4-35\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^3+21\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x^2-7\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +7 \right)) \,$
8	$\tfrac{1}{40320} (x^8-8\left( \alpha +8 \right) x^7+28\left( \alpha +7 \right) \left( \alpha +8 \right) x^6-56\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^5+70\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^4-56\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^3+28\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x^2-8\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +8 \right)) \,$
9	$\tfrac{1}{362880} (-x^9+9\left( \alpha +9 \right) x^8-36\left( \alpha +8 \right) \left( \alpha +9 \right) x^7+84\left( \alpha +7 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^6-126\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^5+126\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^4-84\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^3+36\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x^2-9\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +9 \right)) \,$
10	$\tfrac{1}{3628800} (x^{10}-10\left( \alpha +10 \right) x^9+45\left( \alpha +9 \right) \left( \alpha +10 \right) x^8-120\left( \alpha +8 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^7+210\left( \alpha +7 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^6-252\left( \alpha +6 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^5+210\left( \alpha +5 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^4-120\left( \alpha +4 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^3+45\left( \alpha +3 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x^2-10\left( \alpha +2 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right) x+\left( \alpha +1 \right) \cdots \left( \alpha +10 \right)) \,$

최고차항의 계수는 (−1)^''n''/''n''! 이다.
상수항, 즉 0에서의 값은

:

L_n^{(\alpha)}(0) = {n+\alpha\choose n} = \frac{\Gamma(n + \alpha + 1)}{n!\, \Gamma(\alpha + 1)};

만약 α 가 음수가 아니면, ''L''_''n''^(''α'')은 ''n''개의 실수, 엄격하게 양의 근을 갖는다. 이 모든 근은 구간 $\left( 0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha} \, \right]$ 안에 있다.
큰 n에 대한 다항식의 점근적 거동은 다음과 같다. (단, α 와 x > 0 는 고정)^[6]^[7]

:

\begin{align}& L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \sin\left(2 \sqrt{nx}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha-\frac{1}{2} \right) \right)+O\left(n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{3}{4}}\right), \\[6pt]& L_n^{(\alpha)}(-x) = \frac{(n+1)^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-x/2}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} e^{2 \sqrt{x(n+1)}} \cdot\left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right),\end{align}

:이는 다음과 같이 요약할 수 있다.

:

\frac{L_n^{(\alpha)}\left(\frac x n\right)}{n^\alpha}\approx e^{x/ 2n} \cdot \frac{J_\alpha\left(2\sqrt x\right)}{\sqrt x^\alpha},

:여기서

J_\alpha

는 베셀 함수이다.

4. 처음 몇 개의 라게르 다항식

라게르 다항식의 값들은 다음과 같다.

n	n!L_n(x)
0	$1$
1	$-x+1$
2	${1\over2} (x^2-4x+2)$
3	${1 \over 6} (-x^3+9x^2-18x+6)$
4	${1\over24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	${1\over120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	${1 \over 720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

다음은 처음 몇 개의 라게르 다항식이다.

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	$\tfrac{1}{2} (x^2-4x+2) \,$
3	$\tfrac{1}{6} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	$\tfrac{1}{24} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	$\tfrac{1}{120} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	$\tfrac{1}{720} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$
7	$\tfrac{1}{5040} (-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040) \,$
8	$\tfrac{1}{40320} (x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320) \,$
9	$\tfrac{1}{362880} (-x^9+81x^8-2592x^7+42336x^6-381024x^5+1905120x^4-5080320x^3+6531840x^2-3265920x+362880) \,$
10	$\tfrac{1}{3628800} (x^{10}-100x^9+4050x^8-86400x^7+1058400x^6-7620480x^5+31752000x^4-72576000x^3+81648000x^2-36288000x+3628800) \,$

5. 응용

라게르 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자를 분석하거나 수소 유사 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 진동 전자 전이를 설명할 때 사용된다.^[11]^[12]

5. 1. 양자역학

양자역학에서 라게르 다항식은 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다. 수소 유사 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 구면 좌표계에서 변수 분리를 통해 정확히 풀 수 있는데, 파동 함수의 방사형 부분은 일반화된 라게르 다항식이다.^[11]

진동 전자 전이는 프랑크-콘돈 근사에서 라게르 다항식을 사용하여 설명할 수도 있다.^[12]

5. 2. 기타 응용

라게르 다항식은 양자역학에서 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다.

6. 역사

에드몽 라게르(Edmond Laguerre^프랑스어)가 1878년 도입하였다.^[24]

참조

_[1] 논문 Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en séries http://www.digizeits[...] 1880
_[2] 문서 A&S p. 781
_[3] 문서 A&S p. 509
_[4] 문서 A&S p. 510
_[5] 문서 A&S p. 775
_[6] 문서 Szegő, p. 198.
_[7] 논문 Effective Laguerre asymptotics 2008
_[8] 문서 A&S equation (22.12.6), p. 785
_[9] 논문 Identities for families of orthogonal polynomials and special functions
_[10] 웹사이트 Associated Laguerre Polynomial http://mathworld.wol[...]
_[11] 서적 Quantum Mechanics in Chemistry Prentice Hall
_[12] 논문 Resolving the ambiguity in the relation between Stokes shift and Huang–Rhys parameter https://pubs.rsc.org[...] 2015-06-24
_[13] 간행물 On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions http://www.pnas.org/[...] Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics 1950
_[14] 문서 Szegő, p. 102.
_[15] 논문 Operational representations for Laguerre and other polynomials https://projecteucli[...] 1964
_[16] 서적 Introduction to quantum mechanics Pearson Prentice Hall 2005
_[17] 서적 Modern quantum mechanics Addison-Wesley 2011
_[18] 서적 Quantum mechanics Wiley 1998
_[19] 서적 Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables Dover Publications 1965
_[20] 서적 Quantum mechanics McGraw-Hill 1968
_[21] 서적 Quantum Mechanics. Dover Publications 2014
_[22] 서적 Mathematical methods in the physical sciences Wiley 2006
_[23] 논문 On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus 1973-06-01
_[24] 저널 Sur le transformations des fonctions elliptiques https://eudml.org/do[...] 1878

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com