란다우-라마누잔 상수

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1. 개요
2. 두 제곱수의 합
3. 역사
- 3.1. 란다우의 접근
- 3.2. 라마누잔의 접근
참조

1. 개요

란다우-라마누잔 상수는 두 제곱수의 합으로 표현 가능한 정수의 개수와 관련된 수학 상수이다. 란다우의 정리에 따르면, x 미만의 두 제곱수의 합으로 표현 가능한 양의 정수의 개수 N(x)를 x/sqrt(log(x))로 나눈 값의 극한은 란다우-라마누잔 상수 b에 수렴하며, b는 약 0.764223653589220662990698731250092328116790541이다. 이 상수는 무한 곱으로 표현될 수 있으며, 에드문트 란다우에 의해 극한 형태로 언급되었고, 스리니바사 라마누잔은 N(x)를 적분으로 근사했다.

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란다우-라마누잔 상수
기본 정보
이름	란다우-라마누잔 상수
로마자 표기	Randau-Ramanujan sangsu
영어 이름	Landau–Ramanujan constant
분야	수학, 정수론
기호	c
값	0.76422365358922066299069873156009141988878872767309... (OEIS의 수열 A082710)
수학적 성질
정의	주어진 수 x보다 작은 제곱수의 합으로 표현될 수 있는 정수의 개수의 점근적 행동을 나타내는 상수
발견	에드문트 란다우, 스리니바사 라마누잔
추가 정보
관련 주제	점근적 분석 제곱수의 합

2. 두 제곱수의 합

어떤 정수가 두 제곱수의 합으로 표현될 수 있는지 판별하는 방법은 두 제곱수의 합 정리에 나와 있다. 이 정리에 따르면, 어떤 정수를 소인수분해했을 때 4로 나눈 나머지가 3인 소수들의 지수가 모두 짝수여야 한다. 예를 들어, 45 = 9 + 36은 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 45의 소인수분해는 3² x 5인데, 3은 짝수 지수를 가지며, 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수여도 된다.

2. 1. 두 제곱수의 합 정리

두 제곱수의 합 정리에 따르면, 어떤 정수가 두 제곱수의 합으로 표현되려면, 그 정수를 소인수분해했을 때 4로 나눈 나머지가 3인 소수들의 지수가 모두 짝수여야 한다. 예를 들어, 45 = 9 + 36은 두 제곱수의 합이다. 45를 소인수분해하면 3² × 5인데, 여기서 소수 3은 지수가 짝수이고, 소수 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수여도 상관없다.

2. 2. 란다우의 정리

두 제곱수의 합 정리에 따르면, 정수를 두 제곱수의 합으로 표현하려면, 그 정수를 소인수 분해했을 때 4로 나눈 나머지가 3인 소수들의 지수가 모두 짝수여야 한다. 예를 들어, 45 = 9 + 36과 같이 두 제곱수의 합으로 표현되는 수는 소인수분해하면 3² × 5가 되는데, 여기서 소수 3은 지수가 짝수이고, 소수 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수여도 된다.

란다우의 정리에 따르면, x 이하의 양의 정수 중 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 수의 개수를 N(x)라고 할 때, 다음 극한이 성립한다.

:

\lim_{x\rightarrow\infty}\ \left(\dfrac{N(x)}{\dfrac{x}{\sqrt{\log(x)}}}\right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541

여기서 b는 란다우-라마누잔 상수이다.

2. 3. 란다우-라마누잔 상수의 표현

란다우-라마누잔 상수는 무한 곱으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

b = \frac{1}{\sqrt{2}}\prod_{p\equiv 3 \pmod{4}} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-1/2} = \frac{\pi}{4} \prod_{p\equiv 1 \pmod{4}} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{1/2}.

3. 역사

이 상수는 에드문트 란다우와 스리니바사 라마누잔이 각각 연구했다.^[3] 란다우는 극한 형태로, 라마누잔은 $N(x)$ 를 적분으로 근사하는 형태로 접근했는데, 비례 상수는 같았고 오차 항은 천천히 증가했다.

3. 1. 란다우의 접근

이 상수는 에드문트 란다우가 극한 형태로 언급했으며, 스리니바사 라마누잔은

N(x)

를 적분으로 근사했는데, 비례 상수는 같고 오차 항은 천천히 증가했다.^[3]

3. 2. 라마누잔의 접근

이 상수는 란다우에 의해 위와 같은 극한 형태로 언급되었으며, 라마누잔은

N(x)

를 적분으로 근사했는데, 비례 상수는 동일하고 오차 항은 천천히 증가했다.^[3]

참조

_[1] 논문 Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate 1908
_[2] 서적 letter to G.H. Hardy 1913-01-16
_[3] 웹사이트 Landau–Ramanujan Constant https://mathworld.wo[...]

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