로렌츠 곡선

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1. 개요
2. 설명
3. 정의 및 계산
4. 성질
참조

1. 개요

로렌츠 곡선은 소득 분배의 불평등 정도를 나타내는 곡선으로, 하위 x%의 가구가 총 소득의 y%를 얻는다는 점들을 연결하여 표현한다. 완전 평등 사회에서는 45도선인 완전 평등선과 일치하며, 한 사람이 모든 소득을 차지하는 절대적 불평등 사회에서는 "┘" 형태의 완전 불평등선이 된다. 지니 계수는 로렌츠 곡선과 완전 평등선 사이의 면적을 통해 소득 불평등 정도를 측정하는 지표로 활용된다. 로렌츠 곡선은 확률 밀도 함수나 누적 분포 함수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 항상 (0,0)에서 시작하여 (1,1)에서 끝나고, 연속 함수이며, 지니 계수 및 로렌츠 비대칭 계수와 연관된다.

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로렌츠 곡선
개요
정의	소득 또는 부의 분포를 그래프로 표현한 것
창시자	맥스 로렌츠
발표 연도	1905년
관련 지표	지니 계수
활용 분야	경제학 (소득 불평등 분석) 생태학 (종 분포 분석) 보건학 (팬데믹 불균등 분석)
설명
내용	전체 소득의 누적 점유율과 전체 인구의 누적 점유율 사이의 관계를 나타냄 가로축은 소득 하위 계층부터 순서대로 인구 누적 비율을 나타냄 세로축은 해당 인구 계층의 소득 누적 비율을 나타냄
완전 평등선	로렌츠 곡선은 일반적으로 완전 평등선 아래에 위치함 완전 평등선은 소득 분포가 완전히 평등한 상태를 나타냄 (인구 누적 비율과 소득 누적 비율이 동일)
불평등 심화	로렌츠 곡선이 완전 평등선에서 멀어질수록 소득 불평등이 심화됨
응용
경제학	소득 불평등 측정 및 분석
생태학	식물 크기 또는 생식력의 불평등 묘사, 군집 균등성 측정
보건학	COVID-19 팬데믹의 불균등한 영향 측정

2. 설명

로렌츠 곡선 위의 모든 점은 "하위 ''x''%의 가구는 총 소득의 ''y''%를 얻는다"는 식으로 표현할 수 있다. 예를 들어, "전체 가구의 하위 20%가 전체 소득의 10%를 차지한다"와 같은 진술을 나타낸다.^[1] 절대적 평등의 상황에서는 ''x'' = ''y''가 성립한다. 즉, 모든 사람이 동일한 소득을 갖는 경우, 사회의 하위 ''N''%는 항상 소득의 ''N''%를 갖게 된다. 이는 ''y'' = ''x''인 직선으로 나타낼 수 있으며, "완전 평등선"이라고 불린다.^[1]

반면, 한 사람이 모든 재산을 차지하는 절대적으로 불평등한 사회에서는 ''x'' < 100%일 때 ''y'' = 0%이고, ''x'' = 100%일 때 ''y'' = 100%로 나타낼 수 있다. 이 경우 곡선은 모든 ''x'' < 100%에서 ''y'' = 0%가 되고, ''x'' = 100%일 때 ''y'' = 100%가 된다. 이 곡선을 "완전 불평등선"이라고 한다.^[1]

로렌츠 곡선에서 어떤 사회의 소득 분포를 나타낸 곡선과 절대적 평등의 선 사이의 면적이 곧 지니 계수이다. 지니 계수가 클수록 소득 분포의 불평등이 크다는 것을 의미한다.^[1] 지니 계수는 완전 평등선과 관찰된 로렌츠 곡선 사이의 면적을 완전 평등선과 완전 불평등선 사이의 면적으로 나눈 값이다.

국가의 소득 격차 통계에 적용하여 로렌츠 곡선에 대해 설명하면 다음과 같다. 국민 한 사람 한 사람을 소득이 작은 순으로 나열하고, 아래에서 10''F'' 분위에 속하는 사람들의 소득 합계가 국민 전체 소득 합계의 10''y'' 분율일 때,

:''y'' = ''L''(''F'')

로 표시되는 함수 ''L''(''F'')를 '''로렌츠 곡선'''이라고 한다.^[1]

사회에 소득 격차가 전혀 존재하지 않는 경우, 로렌츠 곡선은 45도선('''균등 분배선''', line of perfect equality^영어)과 일치한다. 45도선과 로렌츠 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 '''2배'''한 값은 '''지니 계수'''를 제공한다. 소득 격차가 전혀 존재하지 않는 경우, 로렌츠 곡선은 45도선과 일치하므로 지니 계수는 0이 된다. 반면에, 단 한 사람에게 모든 부가 집중되어 있는 경우(가장 소득 격차가 심한 경우), 로렌츠 곡선은 "┘" 형태가 되므로 지니 계수는 1이 된다. 이상으로부터 지니 계수는 소득 격차를 측정하는 척도로 볼 수 있다.^[1]

어떤 분포에서도 로렌츠 곡선 ''L''(''F'')는 확률 밀도 함수 ''f''(''x'') 또는 누적 분포 함수 ''F''(''x'')를 사용하여 나타낼 수 있다.^[1]

여기서 ''x''(''F'')는 누적 분포 함수 ''F''(''x'')의 역함수이다.^[1]

:

\frac{dx(F)}{dF} = \frac{1}{\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=x(F)}}= \frac{1}{\left\{\frac{dF(x(F))}{dx}\right\}}

:

\int_{-\infty}^{x(F)} xf(x)\,dx= \int_{0}^{F} x(F')dF'

3. 정의 및 계산

로렌츠 곡선 위의 모든 점은 "하위 ''x''%의 가구는 총 소득의 ''y''%를 얻는다"로 표현할 수 있다. 절대적 평등의 상황에서는 x=y가 성립한다. 한편 한 사람이 모든 재산을 차지하는 절대적으로 불평등한 사회에서는 "x" < 100%일 때 y = 0%이고 x=100%일 때 y=100%으로 나타낼 수 있다.^[4]

로렌츠 곡선에서 어떤 사회의 소득 분포를 나타낸 곡선과 절대적 평등의 선 사이의 면적이 곧 지니 계수이다. 지니 계수가 클수록 소득 분포의 불평등이 크다는 것을 의미한다.

로렌츠 곡선의 점은 "전체 가구의 하위 20%가 전체 소득의 10%를 차지한다"와 같은 진술을 나타낸다.

완벽하게 평등한 소득 분배는 모든 사람이 동일한 소득을 갖는 경우이다. 이 경우, 사회의 하위 ''N''%는 항상 소득의 ''N''%를 갖게 된다. 이는 "완전 평등선"이라고 불리는 직선 ''y'' = ''x''로 묘사될 수 있다.

반대로, 완벽하게 불평등한 분배는 한 사람이 모든 소득을 가지고 다른 모든 사람은 아무것도 갖지 못하는 경우이다. 이 경우 곡선은 모든 ''x'' < 100%에서 ''y'' = 0%가 되고, ''x'' = 100%일 때 ''y'' = 100%가 된다. 이 곡선을 "완전 불평등선"이라고 한다.

지니 계수는 완전 평등선과 관찰된 로렌츠 곡선 사이의 면적을 완전 평등선과 완전 불평등선 사이의 면적으로 나눈 값이다. 계수가 높을수록 분배는 더 불평등하다. 오른쪽 그림에서 이는 비율 ''A''/(''A''+''B'')로 주어지며, 여기서 ''A''와 ''B''는 그림에 표시된 영역의 면적이다.

2016년 미국 부의 분포에 대한 로렌츠 곡선, 음의 부와 과두정치를 보여줌

로렌츠 곡선은 확률도표 (P–P 플롯)로, 확률 변수의 분포를 해당 변수의 가상 균등 분포와 비교한 것이다. 일반적으로 함수 ''L''(''F'')로 표현될 수 있으며, 여기서 인구의 누적 비율인 ''F''는 가로축으로, 총 부 또는 소득의 누적 비율인 ''L''은 세로축으로 표현된다.

곡선 ''L''은 ''F''에 대해 부드럽게 증가하는 함수일 필요는 없다. 예를 들어, 부의 분포에는 과두정치 또는 음의 부를 가진 사람들이 있을 수 있다.^[4]

''y''₁, ..., ''y''_''n''의 값(''y''_''i'' ≤ ''y''_''i''+1)과 확률

f(y_j) := \Pr(Y=y_j)

로 주어진 Y의 이산 분포의 경우, 로렌츠 곡선은 점 ( ''F''_''i'', ''L''_''i'' )를 연결하는 연속 함수 구간별 선형 함수이며, ''i'' = 0에서 ''n''까지, 여기서 ''F''₀ = 0, ''L''₀ = 0, 그리고 ''i'' = 1에서 ''n''까지:

\begin{align}F_i &:= \sum_{j=1}^i f(y_j) \\S_i &:= \sum_{j=1}^i  f(y_j) \, y_j \\L_i &:= \frac{S_i}{S_n}\end{align}

모든 ''y''_''i''가 1/''n''의 확률로 동일하게 가능할 때, 이는 다음과 같이 단순화된다.

\begin{align}F_i &= \frac i n \\S_i &= \frac 1 n \sum_{j=1}^i \; y_j \\L_i &= \frac{S_i}{S_n}\end{align}

확률 밀도 함수 ''f''와 누적 분포 함수 ''F''를 갖는 연속 분포의 경우, 로렌츠 곡선 ''L''은 다음과 같이 주어집니다.

L(F(x)) = \frac{\int_{-\infty}^x t\,f(t)\,dt}{\int_{-\infty}^\infty t\,f(t)\,dt} = \frac{\int_{-\infty}^x t\,f(t)\,dt}{\mu}

여기서

\mu

는 평균을 나타낸다. 그러면 로렌츠 곡선 ''L''(''F'')는 ''x''에 대한 매개변수 함수로 플롯될 수 있다: ''L''(''x'') 대 ''F''(''x''). 다른 맥락에서, 여기서 계산된 양은 길이 편향(또는 크기 편향) 분포로 알려져 있으며, 갱신 이론에서도 중요한 역할을 한다.

또는 누적 분포 함수 ''F''(''x'')의 역함수 ''x''(''F'')의 경우, 로렌츠 곡선 ''L''(''F'')는 직접적으로 다음과 같이 주어집니다.

L(F) = \frac{\int_0^F x(F_1)\,dF_1}{\int_0^1 x(F_1)\,dF_1}

누적 분포 함수에 상수 값의 간격이 있기 때문에 역함수 ''x''(''F'')가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 이전 공식은 ''x''(''F'')의 정의를 일반화하여 여전히 적용될 수 있다.

x(F_1) = \inf \{y : F(y) \geq F_1\}

여기서 inf는 하한이다.

로렌츠 곡선의 예는 파레토 분포를 참조할 수 있다.

국가의 소득 격차 통계에 적용하여 로렌츠 곡선을 설명한다. 국민 한 사람 한 사람을 소득이 작은 순으로 나열하고, 아래에서 F 분위에 속하는 사람들의 소득 합계가 국민 전체 소득 합계의 y 분율일 때,

:

y = L(F)

로 표시되는 함수 L(F)를 '''로렌츠 곡선'''이라고 한다.

사회에 소득 격차가 전혀 존재하지 않는 경우, 로렌츠 곡선은 45도선('''균등 분배선''', line of perfect equality^영어)과 일치한다. 45도선과 로렌츠 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 '''2배'''한 값은 '''지니 계수'''를 제공한다. 소득 격차가 전혀 존재하지 않는 경우, 로렌츠 곡선은 45도선과 일치하므로 지니 계수는 0이 된다. 반면에, 단 한 사람에게 모든 부가 집중되어 있는 경우(＝가장 소득 격차가 심한 경우), 로렌츠 곡선은 "┘" 형태가 되므로 지니 계수는 1이 된다. 이상으로부터 지니 계수는 소득 격차를 측정하는 척도로 볼 수 있다.

어떤 분포에서도 로렌츠 곡선 L(F)는 확률 밀도 함수 f(x) 또는 누적 분포 함수 F(x)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

여기서 x(F)는 누적 분포 함수 F(x)의 역함수이다. 역함수의 성질에 의해,

:

\frac{dx(F)}{dF} = \frac{1}{\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=x(F)}}= \frac{1}{\left\{\frac{dF(x(F))}{dx}\right\}}

를 만족하므로, 적분

:

\int_{-\infty}^{x(F)} xf(x)\,dx

의 적분 변수를 x에서 F'로 바꾼 것은, 누적 분포 함수의 정의에 의해 F(-∞) = 0이 되므로, 다음과 같이 바꿀 수 있다.

:

\int_{0}^{F} x(F')f(x(F'))\,\frac{dx(F')}{dF'}dF'= \int_{0}^{F} x(F')f(x(F'))\,\frac{1}{\left\{\frac{dF(x(F'))}{dx}\right\}}dF'

또한 누적 분포 함수 F(x)는, 대응하는 확률 밀도 함수의 적분 f(x)로 대체될 수 있다. 따라서, 그 도함수 dF(x)/dx는 확률 밀도 함수 f(x)를 제공하므로, 변수 변환 후의 적분에서 확률 밀도 함수를 제거할 수 있으며, 위의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\int_{-\infty}^{x(F)} xf(x)\,dx= \int_{0}^{F} x(F')dF'

4. 성질

로렌츠 곡선은 항상 (0,0)에서 시작해 (1,1)에서 끝난다.
확률 분포의 평균이 0이거나 무한일 경우에는 로렌츠 곡선이 정의되지 않는다.
확률 분포에 대한 로렌츠 곡선은 연속함수이다. 하지만 불연속함수를 나타내는 곡선은 확률 분포 곡선의 극한으로 나타낼 수 있다. 그 예로 절대적 불평등의 선을 들 수 있다.^[1]
측정하여 얻어지는 변수가 음수를 취할 수 없을 때:
* 로렌츠 곡선은 절대적 평등의 선 위로 올라가거나 절대적 불평등의 선 아래로 내려갈 수 없다.
* 곡선은 증가함수이며 볼록함수이다.
변수가 음수를 취할 수 있으나 평균이 양수일 때 로렌츠 곡선은 절대적 불평등의 선 아래로 내려가는 아래로 볼록한 함수이다.
변수로 음수를 취하고 평균이 음수일 때 로렌츠 곡선은 절대적 평등의 선 위로 올라가는 위로 볼록한 함수이다.

로렌츠 곡선의 정보는 지니 계수 및 로렌츠 비대칭 계수로 요약될 수 있다.^[1]
두 번째 로렌츠 곡선 아래로 떨어지지 않고 적어도 한 번은 그 위로 올라가는 로렌츠 곡선은 두 번째 곡선보다 로렌츠 지배를 갖는다.^[5]
로렌츠 곡선은 양의 스케일링에 대해 불변이다. 만약 '''''X'''''가 임의 변수라면, 어떤 양수 ''c''에 대해서도 임의 변수 ''c'' '''X'''는 '''''X''''''와 동일한 로렌츠 곡선을 갖는다.
로렌츠 곡선은 부정을 통해 두 번 뒤집힌다. 한 번은 F = 0.5에 대해, 한 번은 ''L'' = 0.5에 대해 뒤집힌다. 만약 '''''X'''''가 로렌츠 곡선 ''L''_'''X'''(''F'')를 갖는 임의 변수라면, −'''''X'''''는 다음과 같은 로렌츠 곡선을 갖는다.

: ''L''_{− '''X'''} = 1 − ''L''_'''X'''(1 − ''F'')

로렌츠 곡선은 이동에 의해 변경되므로 평등 갭 ''F'' − ''L''(''F'')는 원래 및 이동된 평균의 비율에 비례하여 변경된다. 만약 '''''X'''''가 로렌츠 곡선 ''L''_'''X'''(''F'')와 평균 ''μ''_'''X'''를 갖는 임의 변수라면, 상수 ''c'' ≠ −''μ''_'''X'''에 대해, '''''X''''' + ''c''는 다음과 같이 정의된 로렌츠 곡선을 갖는다.

:

F - L_{X+c}(F) = \frac{\mu_X}{\mu_X + c} ( F - L_X(F))

평균 ''μ''와 (일반화된) 역 ''x''(''F'')를 갖는 누적 분포 함수 ''F''(''x'')에 대해, 0 < ''F'' < 1인 모든 ''F''에 대해:
*만약 로렌츠 곡선이 미분 가능하다면:

:

\frac{d L(F)}{d F} = \frac{x(F)}{\mu}

*만약 로렌츠 곡선이 두 번 미분 가능하다면, 확률 밀도 함수 ''f''(''x'')가 해당 지점에서 존재하고 다음과 같다.

:

\frac{d^2 L(F)}{d F^2} = \frac{1}{\mu\,f(x(F))}\,

*만약 ''L''(''F'')가 연속적으로 미분 가능하다면, ''L''(''F'')의 접선은 점 ''F''(''μ'')에서 완전 평등 선과 평행하다. 이것은 또한 평등 갭 ''F'' − ''L''(''F''), 즉 로렌츠 곡선과 완전 평등 선 사이의 수직 거리가 가장 큰 지점이다. 갭의 크기는 상대 평균 절대 편차의 절반과 같다.

:

F(\mu) - L(F(\mu)) = \frac{\text{mean absolute deviation}}{2\,\mu}

참조

_[1] 논문 Describing inequality in plant size or fecundity
_[2] 논문 Initial community evenness favours functionality under selective stress
_[3] 논문 Measuring unequal distribution of pandemic severity across census years, variants of concern and interventions 2023
_[4] 논문 The Affine Wealth Model: An agent-based model of asset exchange that allows for negative-wealth agents and its empirical validation 2018-02-14
_[5] 논문 Lorenz Dominance and Welfare: Changes in the U.S. Distribution of Income, 1967-1986 https://www.jstor.or[...] 1991
_[6] 서적 Economics: Principles in action https://www.savvas.c[...] Prentice Hall 2003

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