뤼카–레머–리젤 소수판별법

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1. 개요
2. 역사
3. 알고리즘
4. 알고리즘 작동 원리
5. 예시
- 5.1. 47은 소수
- 5.2. 2303은 합성수
6. LLR 소프트웨어
참조

1. 개요

뤼카–레머–리젤 소수판별법은 에두아르 뤼카가 고안하고 데릭 레머가 개선한 알고리즘으로, 한스 리젤이 더 많은 수에 적용할 수 있도록 확장했다. 이 알고리즘은 주어진 수 N = k ⋅ 2ⁿ - 1이 소수인지 판별하는 데 사용되며, 뤼카-레머 검사법과 유사하게 수열의 값을 활용한다. k와 n 값에 따라 초기값을 설정하고, 수열의 값을 계산하여 N이 소수인지 판별한다. LLR 소프트웨어는 이 알고리즘을 실행하는 프로그램으로, 분산 컴퓨팅 프로젝트에서 활용된다.

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뤼카–레머–리젤 소수판별법
개요
목적	특정 형태의 숫자가 소수인지 판별
종류	뤼카-레머 소수판별법, 뤼카-레머-리젤 소수판별법
뤼카-레머-리젤 소수판별법 (Lucas–Lehmer–Riesel test)
형태	N = k ⋅ 2ⁿ - 1
조건	k < 2ⁿ
관련 항목	프로스의 정리
참고 자료
참고 문헌	John Brillhart, Derrick Henry Lehmer, John Selfridge, New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1, Mathematics of Computation, vol. 29, no. 130, pp. 620–647, April 1975 John Brillhart, Derrick Henry Lehmer, John Selfridge, New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1, Mathematics of Computation, vol. 29, no. 130, pp. 620–647, April 1975 (무료 액세스)

2. 역사

뤼카–레머–리젤 소수판별법은 프랑스 수학자 에두아르 뤼카 Édouard Lucas|에두아르 뤼카^fra가 처음 고안한 알고리즘에서 시작되었다. 이후 미국의 수학자 데릭 레머 Derrick Henry Lehmer|데릭 헨리 레머^eng가 뤼카의 알고리즘을 개선하여 뤼카-레머 소수판별법을 만들었다. 스웨덴의 수학자 한스 리젤 Hans Riesel|한스 리젤^swe은 이 뤼카-레머 소수판별법을 더 많은 종류의 수에 적용할 수 있도록 확장하여 현재의 뤼카–레머–리젤 소수판별법을 완성하였다.

3. 알고리즘

뤼카–레머–리젤 소수판별법은 주어진 수 ''N'' = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1 (단, ''k'' < 2^''n'')이 소수인지 합성수인지를 판별하는 알고리즘이다. 이 방법은 뤼카-레머 소수 판별법과 매우 유사하지만, 사용하는 수열의 초깃값 ''u''₀가 ''k''의 값에 따라 달라진다는 점이 특징이다.

알고리즘의 단계는 다음과 같다.

# 판별하려는 수 ''N'' = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1 (''k'' < 2^''n'')을 정의한다.

# ''k''의 값에 따라 적절한 초깃값 ''u''₀를 결정한다.

# 수열 ''u''_''i'' 를 다음 점화식을 이용해 ''u''_''n''−2까지 계산한다.

#: $u_{i+1} = u_i^2 - 2 \quad (i \ge 0)$

# 계산된 ''u''_''n''−2 값을 확인하여 ''N''으로 나누어떨어지는지 검사한다.

# 만약 $u_{n-2} \equiv 0 \pmod{N}$ 이면, ''N''은 소수이다.

# 그렇지 않으면, ''N''은 합성수이다.

즉, ''N''이 소수일 필요충분 조건은 ''N''이 ''u''_''n''−2를 나누는 것이다. 초깃값 ''u''₀를 결정하는 구체적인 방법은 ''k''의 값에 따라 달라지며, Rödseth가 제안한 일반적인 방법도 존재한다.^[2]^[3]

3. 1. 초깃값 설정

뤼카–레머–리젤 소수판별법은 주어진 수 N = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1 (단, ''k'' < 2^''n'')의 소수 여부를 판별하는 알고리즘이다. 이 판별법은 뤼카-레머 소수판별법과 기본적인 구조는 유사하지만, 사용하는 수열의 초깃값 ''u''₀가 ''k''의 값에 따라 달라지는 점이 특징이다.

먼저 수열 ''u''_''i''를 다음과 같은 점화식으로 정의한다.

:

u_0 = \text{초깃값}, \quad u_{i+1} = u_i^2 - 2 \quad (i \ge 0)

이때 N이 소수일 필요충분 조건은 ''u''_''n''−2가 N으로 나누어떨어지는 것, 즉

u_{n-2} \equiv 0 \pmod{N}

을 만족하는 것이다. 만약 이 조건을 만족하면 N은 소수이고, 그렇지 않으면 N은 합성수이다.

초깃값 ''u''₀는 ''k''와 ''n''의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.

만약 ''k''가 짝수라면, ''k''가 홀수가 될 때까지 ''k''를 2로 나누고, 나눌 때마다 ''n''의 값에 1을 더한다. 이후 홀수가 된 ''k''와 새로 계산된 ''n''을 기준으로 아래의 경우에 따라 ''u''₀를 결정한다.
''k'' = 1인 경우:
일반적으로 ''u''₀ = 4로 설정한다. 이 경우 뤼카-레머 소수판별법과 동일해진다.
만약 ''n'' ≡ 3 (mod 4)이라면, ''u''₀ = 3으로 설정할 수도 있다.
만약 ''n'' ≡ 1 (mod 4)이라면, ''u''₀ = 4로 설정한다. (N이 메르센 수가 될 수 있는 경우)
''k'' = 3인 경우:
만약 ''n'' ≡ 1 (mod 4)이라면, N = 3 ⋅ 2^''n'' - 1은 5로 나누어떨어진다. 따라서 N = 5 (즉, ''n''=1)인 경우를 제외하면 항상 합성수이므로 소수판별을 할 필요가 없다.
만약 ''n'' ≡ 2 (mod 4)이라면, 이는 ''k''가 짝수인 경우로 변환되어 처리된다.
따라서 ''n'' ≡ 0 또는 3 (mod 4)인 경우만 고려하며, 이때 ''u''₀ = 5778로 설정한다.
''k'' ≡ ±1 (mod 6)이고 N이 3으로 나누어떨어지지 않는 경우: (''k'' ≡ 1 (mod 6)이고 ''n''이 홀수이거나, ''k'' ≡ 5 (mod 6)이고 ''n''이 짝수인 경우)
''u''₀ = $(2 + \sqrt{3})^k + (2 - \sqrt{3})^k$ 로 설정한다. 이 값은 $\lceil(2+\sqrt{3})^{k}\rceil$ 와 같다.
또는 다음과 같이 정의되는 뤼카 수열 ''v''_''m''을 이용하여 ''u''₀ = ''v''_''k''로 설정할 수도 있다.

:

v_{m}        = \begin{cases}        2 & \text{if } m = 0 \\        4 & \text{if } m = 1 \\        4v_{m-1} - v_{m-2} & \text{if } m \ge 2        \end{cases}

위의 경우에 해당하지 않는 경우 (주로 ''k''가 3의 배수일 때): Rödseth가 제안한 다음 방법을 사용할 수 있다.^[2]
1. 다음 두 야코비 기호 조건을 만족하는 정수 ''P''를 찾는다.

:

\left(\frac{P-2}{N}\right)=1 \quad\text{and}\quad \left(\frac{P+2}{N}\right)=-1

실제로는 ''P'' = 5, 8, 9, 11 등의 작은 값들 중 하나가 조건을 만족할 확률이 약 85% 정도로 높다.
만약 ''k''가 3의 배수가 아니라면 (즉, ''k'' ≡ ±1 (mod 6)인 경우), ''P'' = 4를 사용하면 되므로 별도로 ''P''를 찾을 필요가 없다.^[3]
2. 찾은 ''P''를 이용하여 뤼카 수열 ''V''_''m''(''P'', 1)을 계산한다. 이 수열은 $V_0=2, V_1=P, V_m=PV_{m-1}-V_{m-2}$ (m ≥ 2) 로 정의된다.
3. 초깃값 ''u''₀는 ''V''_''k''(''P'', 1)을 N으로 나눈 나머지, 즉 $u_0 \equiv V_k(P,1) \pmod{N}$ 으로 설정한다.^[2]^[3]

이 초깃값 ''u''₀를 결정하는 과정은 전체 소수판별 과정에 비해 시간이 적게 소요된다.

3. 2. 수열 계산

수열 {''u_i''}는 다음과 같이 점화식으로 정의한다. 초기값 ''u''₀는 아래 방법으로 결정하고, 음이 아닌 정수 ''i'' ≥ 0에 대해 다음 식을 만족한다.

u_{i+1} = u_i^2 - 2

''N'' = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1 (단, ''k'' < 2^''n'') 형태의 수가 소수인지 판별할 때, ''N''이 소수일 필요충분 조건은 ''N''이 ''u''_''n''−2를 나누는 것이다. 즉,

u_{n-2} \equiv 0 \pmod{N}

이면 ''N''은 소수이고, 그렇지 않으면 합성수이다.

이 알고리즘은 뤼카-레머 소수 판별법과 매우 유사하지만, 수열 {''u_i''}의 초깃값 ''u''₀가 ''k''의 값에 따라 달라진다는 차이점이 있다. 초깃값 ''u''₀는 ''k''의 값에 따라 다음과 같이 결정된다.

'''k'' ≡ 1 또는 5 (mod 6)인 경우''': 만약 (''k'' ≡ 1 (mod 6)이고 ''n''이 짝수)이거나 (''k'' ≡ 5 (mod 6)이고 ''n''이 홀수)이면, 3이 ''N''을 나누므로 ''N''은 소수가 아니다 (단, N=3인 경우는 제외). 그 외의 경우, ''N'' ≡ 7 (mod 24)이며, 루카스 V(4,1) 수열을 사용하여 초깃값을 계산할 수 있다. 이때 초깃값 ''u''₀는 해당 수열의 ''k''번째 항으로, 다음과 같이 주어진다.

u_0 = V_k(4, 1) \equiv (2+\sqrt{3})^k + (2-\sqrt{3})^k \pmod{N}

이는 ''k''=1일 때 뤼카-레머 소수 판별법과 동일해진다.

'''k''가 3의 배수인 경우''': 적절한 ''u''₀ 값을 선택하는 것이 더 복잡하다. ''k'' = 3이고 ''n'' ≡ 0 또는 3 (mod 4)인 경우에는 ''u''₀ = 5778을 사용할 수 있다.
'''대안적인 방법 (Rödseth 1994)'''^[2]: ''k''가 3의 배수인 경우를 포함하여 초깃값을 찾는 더 쉬운 방법이다. 먼저 다음 야코비 기호 등식을 만족하는 정수 ''P''를 찾는다.

\left(\frac{P-2}{N}\right)=1 \quad\text{and}\quad \left(\frac{P+2}{N}\right)=-1

일반적으로 몇 개의 작은 ''P'' 값(예: 5, 8, 9, 11)을 시도하면 금방 찾을 수 있다. ''P'' 값을 찾으면, 루카스 수열 V_k(''P'',1)을 이용하여 초깃값을 계산한다.^[2]^[3]

u_0 \equiv V_k(P, 1) \pmod{N}

만약 ''k''가 3의 배수가 아니라면, ''P''=4를 사용하면 되므로 별도의 탐색 과정이 필요 없다.^[3]

3. 3. 소수 판별

판별하려는 수

N

을

N = k \cdot 2^n - 1

(단,

k < 2^n

) 형태로 둔다.

그 다음, 수열

u_i

를 다음과 같이 정의한다.

초깃값

u_0

는

k

의 값에 따라 결정되며(구체적인 방법은 다음 절에서 설명한다), 음이 아닌 정수

i \ge 0

에 대해 점화식을

:

u_{i+1} = u_i^2 - 2

로 정한다.

이때,

N

이 소수일 필요충분 조건은

N

이

u_{n-2}

를 나누는 것이다. 즉,

u_{n-2} \equiv 0 \pmod{N}

이 성립하면

N

은 소수이고, 그렇지 않으면 합성수이다.

이 알고리즘은 뤼카-레머 소수 판별법과 매우 유사하지만, 사용하는 수열

u_i

의 초깃값

u_0

가

k

값에 따라 달라진다는 점이 다르다.

4. 알고리즘 작동 원리

뤼카-레머-리젤 소수 판별법은 군론을 이용한 소수 판별법의 한 종류이다. 어떤 정수 ''N''이 소수인지 판별하기 위해, ''N''을 법으로 하는 2차 확대의 승법군을 활용한다. 만약 ''N''이 소수라면, 이 승법군의 위수는 ''N''² − 1이 된다. 중요한 점은 이 군이 위수가 ''N'' + 1인 부분군을 가지며, 이 부분군의 생성원을 찾는 것이 판별법의 핵심이다.^[2]^[3]

이 알고리즘은 뤼카-레머 소수 판별법과 매우 유사하지만, 판별하려는 수 ''N'' = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1의 형태에서 ''k'' 값에 따라 계산 시작점이 달라진다는 특징이 있다. 알고리즘은 다음과 같이 정의된 수열 ''u''_''i''를 사용한다. 모든 ''i'' > 0에 대해:

: $u_i = u_{i-1}^2-2 \,$

이 점화식을 만족하는 수열 ''u''_''i''는 뤼카 수열과 밀접한 관련이 있다. 뤼카-레머 판별법에서처럼 $u_i = a^{2^i} + a^{-2^i}$ 형태로 생각할 수 있으며, 이는 수열 $w_i = a^i + a^{-i}$ 의 2^''i''번째 항에 해당한다. 여기서 ''a''는 특정 이차 방정식의 근이며, 수열 ''w''_''i''는 뤼카 수열의 점화식 $w_{i+2} = \alpha w_{i+1} + \beta w_i$ 를 만족한다. 실제로는 ''k'' ⋅ 2^''i''번째 항을 다루게 되는데, 뤼카 수열에서 ''k''번째 항마다 추출한 부분 수열(즉, 0번째 항부터 시작하여 매 ''k''번째 항을 취하는 것) 역시 뤼카 수열이므로, 적절한 시작 값 ''u''₀를 선택함으로써 계수 ''k''의 영향을 반영할 수 있다.

''N'' = ''k'' ⋅ 2^''n'' − 1 (단, ''k'' < 2^''n'') 형태의 수가 주어졌을 때, ''N''이 소수일 필요충분조건은 위에서 정의된 수열의 ''n'' − 2번째 항인 ''u''_''n''−2가 ''N''으로 나누어떨어지는 것이다. 즉, $u_{n-2} \equiv 0 \pmod{N}$ 이 성립하는지 확인한다.

시작 값 ''u''₀는 ''k''의 값에 따라 결정된다.

만약 ''k'' ≡ 1 또는 5 (mod 6)이고 특정 조건을 만족하지 않으면(예: 3이 ''N''을 나누지 않는 경우), 뤼카 V(4,1) 수열의 ''k''번째 항을 ''u''₀로 사용할 수 있다. 이는 일반적인 뤼카-레머 소수 판별법의 일반화로 볼 수 있다.
''k''가 3의 배수인 경우 등 다른 경우에는 시작 값을 찾는 것이 더 복잡하다. Rödseth가 제안한 대안적인 방법^[2]은 야코비 기호를 이용하여 특정 조건을 만족하는 ''P'' 값을 찾는 것이다.

:

\left(\frac{P-2}{N}\right)=1 \quad\text{and}\quad \left(\frac{P+2}{N}\right)=-1

이러한 ''P'' 값을 찾은 후(보통 5, 8, 9, 11 중 하나가 빠르게 찾아진다), 뤼카 수열 ''V''_''k''(''P'',1)을 계산하여 ''u''₀ (mod ''N'')를 결정한다.^[3] 이 시작 값 선택 과정은 주 판별 과정에 비해 시간이 거의 소요되지 않는다.

5. 예시

이 섹션에서는 뤼카–레머–리젤 소수판별법을 사용하여 특정 수가 소수인지 합성수인지 판별하는 구체적인 예를 살펴본다. 아래 하위 섹션에서는 47과 2303을 예로 들어 판별 과정을 자세히 설명한다.

이 판별법은 47이나 2303과 같이 상대적으로 작은 수에 대해서는 직접 나누어 보거나 페르마 소수판별법 등 다른 방법이 더 효율적일 수 있다. 하지만 판별하려는 수가 매우 커지면(예: 1000만 자리 이상) 뤼카–레머–리젤 소수판별법의 효율성이 다른 소수판별법들을 크게 앞서기 때문에 주로 사용된다.

5. 1. 47은 소수

47은 뤼카–레머–리젤 소수판별법을 적용할 수 있는 k · 2ⁿ - 1 형태로 나타낼 수 있다. 47 = 3 × 2⁴ - 1 이므로, k=3이고 n=4이다. 판별법 적용 조건인 k < 2ⁿ (3 < 16)을 만족한다.

k=3일 때, 판별법에 따른 초깃값 s₀는 5778이다. 이 값을 N=47에 대해 모듈러 연산을 적용하면 다음과 같다.

s_0 = 5778 \equiv 44 \pmod{47}

다음으로, 수열의 점화식 s_i ≡ s_i-1² - 2 (mod N)에 따라 s_n-2 = s_4-2 = s₂까지 계산한다.

$s_1 \equiv s_0^2 - 2 \equiv 44^2 - 2 = 1936 - 2 = 1934 \equiv 7 \pmod{47}$
$s_2 \equiv s_1^2 - 2 \equiv 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47 \equiv 0 \pmod{47}$

계산 결과 s_n-2 = s₂ ≡ 0 (mod 47)이므로, 뤼카–레머–리젤 소수판별법에 따라 47은 소수이다.

5. 2. 2303은 합성수

2303 = 9 ⋅ 2⁸ - 1이므로 k=9, n=8이다. 여기서 9 < 2⁸ = 256 이므로 판별법 적용 조건을 만족한다.

먼저 초깃값 s₀ = V_k (mod 2303)을 구해야 한다. k=9인 경우, 특정 조건을 만족하는 P 값을 찾아야 하며, 이 예시에서는 P=8을 사용한다. V_k는 다음 점화식을 이용하여 계산할 수 있다.

$V_{2i}=V_i^2-2$
$V_{2i+1}=V_iV_{i+1}-P$

k=9를 이진수로 표현하면 1001₍₂₎이다. V₀=2, V₁=P=8부터 시작하여 V₉를 계산한다.

V₀ = 2, V₁ = 8
1001₍₂₎: 첫 비트(1)는 시작을 의미한다.
001₍₂₎: 다음 비트가 0이므로 $V_{2i}$ 공식을 사용한다.
$V_{2 \cdot 1} = V_2 = V_1^2 - 2 = 8^2 - 2 = 62$
다음 계산을 위해 V₃도 구한다: $V_3 = V_1 V_2 - P = 8 \cdot 62 - 8 = 488$
01₍₂₎: 다음 비트가 0이므로 $V_{2i}$ 공식을 사용한다.
$V_{2 \cdot 2} = V_4 = V_2^2 - 2 = 62^2 - 2 = 3844 - 2 = 3842 \equiv 1539 \pmod{2303}$
다음 계산을 위해 V₅도 구한다: $V_5 = V_2 V_3 - P = 62 \cdot 488 - 8 = 30256 - 8 = 30248 \equiv 309 \pmod{2303}$
1₍₂₎: 마지막 비트가 1이므로 $V_{2i+1}$ 공식을 사용한다.
$V_{2 \cdot 4 + 1} = V_9 = V_4 V_5 - P \equiv 1539 \cdot 309 - 8 \pmod{2303}$
$1539 \cdot 309 = 475551$
$475551 \div 2303 \approx 206.49...$ 이므로, $475551 = 2303 \cdot 206 + 1139$ 이다.
$V_9 \equiv 1139 - 8 = 1131 \pmod{2303}$
(원본 소스의 계산 결과는 $V_9 \equiv 1133 \pmod{2303}$ 이며, 여기서는 원본 소스 결과를 따른다.)
$V_9 \equiv 1133 \pmod{2303}$

따라서 초깃값

s_0 = V_9 \equiv 1133 \pmod{2303}

이다.

이제 수열 s_i를

s_{i+1} = s_i^2 - 2 \pmod{2303}

점화식에 따라 계산한다. 목표는 s_n-2 = s₆를 구하는 것이다.

$s_1 = s_0^2 - 2 \equiv 1133^2 - 2 = 1283689 - 2 = 1283687 \equiv 916 \pmod{2303}$
$s_2 = s_1^2 - 2 \equiv 916^2 - 2 = 839056 - 2 = 839054 \equiv 762 \pmod{2303}$
$s_3 = s_2^2 - 2 \equiv 762^2 - 2 = 580644 - 2 = 580642 \equiv 286 \pmod{2303}$
$s_4 = s_3^2 - 2 \equiv 286^2 - 2 = 81796 - 2 = 81794 \equiv 1189 \pmod{2303}$
$s_5 = s_4^2 - 2 \equiv 1189^2 - 2 = 1413721 - 2 = 1413719 \equiv 1980 \pmod{2303}$
$s_6 = s_5^2 - 2 \equiv 1980^2 - 2 = 3920400 - 2 = 3920398 \equiv 692 \pmod{2303}$

계산 결과

s_{n-2} = s_6 \equiv 692 \pmod{2303}

이다. 이 값이 0이 아니므로, 뤼카–레머–리젤 소수판별법에 따라 2303은 합성수이다. 실제로 2303은 7² ⋅ 47로 소인수분해된다.

6. LLR 소프트웨어

LLR은 뤼카–레머–리젤 소수판별법(LLR) 테스트를 실행할 수 있는 프로그램이다.^[4] 이 프로그램은 장 펜네(Jean Penné)가 개발했으며, 뱅상 펜네(Vincent Penné)는 인터넷을 통해 테스트를 수행할 수 있도록 프로그램을 수정했다.^[4] 이 소프트웨어는 개인적으로 소수를 탐색하는 사람들과 분산 컴퓨팅 프로젝트 모두에서 사용된다. 대표적인 분산 컴퓨팅 프로젝트로는 리젤 체와 프라임 그리드가 있다.^[4]

2020년에는 개정된 버전인 LLR2^[5]가 배포되었다.^[6] 이 버전은 전체적인 이중 확인 과정 없이도 계산 결과를 검증할 수 있는 "작업 증명" 인증서를 생성하는 특징이 있다.

이후 추가적인 업데이트로 PRST^[7]가 개발되었다. PRST는 검증에는 더 많은 시간이 걸리지만, 일부 특정 형태의 소수에 대해서는 더 빠르게 인증서를 생성할 수 있는 대체 인증 방식을 사용한다.^[8]^[9]

참조

_[1] 논문 New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1 1975-04
_[2] 논문 A note on primality tests for N=h·2^n−1 http://folk.uib.no/n[...] 1994
_[3] 서적 Prime Numbers and Computer Methods for Factorization Birkhäuser
_[4] 웹사이트 LLRnet supports LLR V3.8! (LLRnet2010 V0.73L) https://mersenneforu[...] 2021-11-17
_[5] 웹사이트 LLR2 GitHub https://github.com/p[...] 2023-11-23
_[6] 웹사이트 LLR2 installed on all big LLR projects https://www.primegri[...] 2023-11-23
_[7] 웹사이트 PRST GitHub https://github.com/p[...] 2023-11-23
_[8] 간행물 An Efficient Modular Exponentiation Proof Scheme 2022-09-16
_[9] 웹사이트 SR5 project switched to PRST https://www.primegri[...] 2023-11-23

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