매직 넘버

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1. 개요

매직 넘버는 특정 팀 A가 우승을 확정하기 위해 필요한 승수를 의미하며, 다른 팀들이 남은 모든 경기를 이겨도 A의 승률을 넘을 수 없도록 하는 최소한의 승리 횟수를 나타낸다. 프로 야구 리그에서 팀의 순위를 결정하는 중요한 지표로, 팀 A의 매직 넘버는 A가 n승을 거두었을 때, 다른 팀 X가 남은 경기를 모두 이겨도 A의 승률을 넘을 수 없는 최소의 n을 의미한다. 일반적으로 팀의 승리나 매직 넘버 대상 팀의 패배에 따라 1씩 감소하며, 0이 되면 해당 팀의 순위가 확정된다. 하지만, 매직 대상 팀의 변경, 직접 대결, 무승부 등의 예외적인 상황에서는 매직 넘버가 불규칙적으로 변동될 수 있다. 한국 프로야구에서도 KBO의 특수성에 따라 매직 넘버 계산 및 해석에 주의가 필요하며, 우승, 플레이오프 진출 등을 결정짓는 다양한 파생 용어들이 존재한다.

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매직 넘버

2. 정의 및 성질

매직 넘버는 특정 팀이 남은 경기 결과와 관계없이 자력으로 순위를 확정하기 위해 필요한 승리 또는 패배 횟수를 의미한다.

매직 넘버 공식은 다음과 같이 도출된다. 시즌 전체 경기 수가 ''G''일 때, 팀 A가 ''W''_''A''승, ''L''_''A''패, 팀 B가 ''W''_''B''승, ''L''_''B''패를 기록했다고 가정한다. 팀 A가 추가로 ''w''_''A''승, ''l''_''A''패, 팀 B가 ''w''_''B''승, ''l''_''B''패를 기록하면, 팀 A가 우승을 확정짓기 위한 조건은 다음과 같다.

: ''w''_''A'' + ''l''_''B'' = ''G'' + 1 − ''W''_''A'' − ''L''_''B''

이는 팀 B가 남은 모든 경기에서 승리해도 팀 A의 승수를 넘을 수 없는 조건을 나타낸다.

팀의 탈락 여부는 최대 흐름 문제 알고리즘을 사용하여 확인할 수 있다.^[1]

미국의 경우, 다른 팀의 자력 우승 가능성을 고려하지 않기 때문에 "점등"이라는 개념이 없다. 2001년 아메리칸 리그 서부 지구의 시애틀 매리너스가 독주했을 때, 시즌 전반에 이미 지구 우승 매직 넘버 97이 점등되었지만, 이는 일본 언론에서만 화제가 되었고 현지 언론은 다루지 않았다.

메이저 리그에서는 무승부가 없으므로, 위에서 언급된 간단한 식으로 매직 넘버를 계산한다.

2. 1. 기본 정의

특정 팀 A의 매직 넘버는 A가 추가로 n승을 거두었을 때, 다른 어떤 팀 X가 남은 경기를 모두 이겨도 A의 승률을 넘을 수 없는 최소한의 n을 의미한다.

다음은 매직넘버 예시이다.

팀	승	패	승률	게임차	E#
A	88	56	.611	--	--
B	75	71	.514	14.0	4
C	73	70	.510	14.5	5

위의 표에서 팀 A의 매직 넘버는 5이다. 2위 팀 B를 4경기에서 탈락시킬 수 있더라도, 3위 팀 C를 확실히 탈락시키려면 5경기가 필요하기 때문이다. 매직 넘버를 계산하려면 다른 경쟁 팀 중 가장 적은 패배 수를 사용해야 한다. (162 + 1 - 88 - '''70''' = 5).

매직 넘버가 수학적 계산과 다르게 나타나는 또 다른 시나리오는 타이브레이커 상황이 발생할 때이다. 대부분의 스포츠는 시즌 종료 시 기록이 동률일 경우를 대비하여 여러 타이브레이커 방식을 마련해두고 있다. 일반적으로 이러한 방식 중 첫 번째는 팀 간의 상대 전적을 비교하여, 해당 시즌에 더 많은 승리를 거둔 팀을 우위에 두는 것이다.

아래 예시에서 팀 A와 팀 B 모두 12경기가 남았고, 수학 공식에 따르면 팀 A의 매직 넘버는 6이 된다. (162+1-83-74=6).

팀	승	패	승률	게임차
A	83	67	.553	--
B	76	74	.507	7.0

그러나 팀 A가 남은 경기 중 5경기만 승리하여 시즌을 88승 74패로 마감하고, 팀 B가 남은 모든 경기에서 승리하여 동률 기록으로 시즌을 마감하는 경우, 팀 A가 시즌 중 팀 B에 대한 승리 기록이 있다면 지구 우승을 차지하게 된다. 이는 아래 예시에서 팀 A의 실제 매직 넘버가 5임을 의미한다.

프로 야구의 리그전은 풀 리그전(× 여러 번)의 승률에 따라 순위가 결정되므로, 팀 B가 팀 C에게 이겨서 승률을 올렸는지가, 그것들과는 별개의 팀 A의 순위에 영향을 준다. 따라서 팀 A, B의 순위는 A 대 B의 경기 (A, B의 '''직접 대결'''이라고 한다) 결과뿐만 아니라, A와 C와의 경기 결과나 B와 C와의 경기 결과에도 영향을 받는다.

팀 A의 '''매직 넘버'''란,

(A가 앞으로 ''n'' 승하여 리그가 종료되었을 때의 A의 승률) > (X가 남은 모든 경기에 이겨서 리그가 종료되었을 때의 X의 승률)

이 모든 팀 X에 대해 성립하는 최소의 ''n''을 말한다. 이상의 정의에서 알 수 있듯이, A의 매직 넘버를 계산하려면, 위의 식의 좌변을 위의 식의 우변이 가장 커지는 팀 ('''(매직) 대상 팀''' )과 비교한다.

메이저 리그에서는 무승부가 없으므로, 매직 넘버의 계산에 앞서 언급한 간단한 식이 사용된다.

2. 2. 매직 넘버의 성질

매직 넘버는 일반적으로 어떤 팀이 승리하거나, 매직 넘버 대상 팀이 패배할 때마다 1씩 감소한다.^[1] 매직 넘버가 0이 되면 해당 팀의 순위가 확정된다.^[1] 리그 진행 중에는 매직 넘버가 감소할 수는 있어도 증가하지는 않는다.^[1]

하지만 예외적인 경우도 있어서, 경기에 승리해도 매직 넘버가 감소하지 않거나, 반대로 2 감소하는 경우도 있다.^[1] 따라서 매직 넘버가 반드시 우승 확정까지의 승리 수와 일치하는 것은 아니다.^[1]

2001년 아메리칸 리그 서부 지구의 시애틀 매리너스는 시즌 전반에 지구 우승 매직 넘버 97이 점등되기도 했다.^[1] 당시 애슬레틱스가 남은 110경기에서 모두 이겨도 매리너스가 애슬레틱스와의 경기를 제외한 97경기에서 모두 이기면 더 높은 승률을 기록하게 되므로, 애슬레틱스의 자력 우승 가능성이 없어졌기 때문이다.^[1]

순위	팀	성적	승률	잔여 경기	게임차
1위	매리너스	40승 12패	.769	110	-
2위	애슬레틱스	26승 26패	.500	110	14
3위	에인절스	24승 28패	.462	110	2
4위	레인저스	19승 33패	.365	110	5

2. 3. 예외적인 경우

메이저 리그 베이스볼 시나리오에서는 시즌에 3경기가 남아 있을 때, 팀 A, B, C가 지구 챔피언십에만 출전 자격이 있고 다른 지구에서 더 좋은 기록을 가진 팀들이 이미 3개의 "와일드 카드" 자리를 확보한 경우가 있다.

팀	승	패
A	87	72
B	87	72
C	85	74

만약 팀 C가 남은 3경기를 모두 이기면 88-74로 시즌을 마치게 되고, 팀 A와 B가 남은 3경기를 모두 지면 87-75로 시즌을 마치게 되어 팀 C가 지구 우승팀이 된다. 하지만 팀 A와 B가 마지막 주말에 서로 경기를 한다면(3경기 시리즈), 두 팀이 남은 3경기를 모두 지는 것은 불가능하다. 두 팀 중 한 팀은 최소 2경기를 이기고 90-72 또는 89-73의 기록으로 지구 우승을 확정할 것이다. 이 상황의 더 직접적인 결과는 팀 A와 B가 서로 동점으로 시즌을 마치는 것도 불가능하며, 팀 C는 지구 우승을 할 수 없다는 것이다.^[1]

두 번째 와일드 카드 팀의 추가는 야구에서 팀이 아직 탈락할 수 있는 것처럼 보이지만 실제로는 포스트 시즌 진출을 확정한 반대 시나리오를 가능하게 한다.

팀	승	패
A	89	70
B	87	72
C	87	72

만약 팀 B와 C가 마지막 3경기를 서로 치르고, 다른 모든 팀이 지구 우승을 확정하거나 팀 A를 따라잡는 것이 수학적으로 불가능해졌다면, 팀 A는 적어도 두 번째 와일드 카드 자리를 확정했을 것이다. 팀 B와 C가 팀 A를 따라잡을 수 있을 만큼 충분한 경기를 모두 이기는 것이 불가능하기 때문이다.

전미 농구 협회의 컨퍼런스 순위에서 7위에서 10위까지 팀에 대한 시나리오는 다음과 같다.

팀	승	패
A	42	38
B	41	39
C	41	39
D	40	40

만약 팀 B와 C가 마지막 두 경기 중 한 경기를 서로 해야 하고, 팀 A가 팀 B, C, D에 대한 타이 브레이커를 가지고 있다면, 팀 A는 플레이오프 진출을 확정했을 것이다. 팀 B와 C에게 모두 따라잡힐 수 없기 때문이다. 또한 팀 D가 팀 A, B, C 중 어느 팀에도 타이 브레이커를 가지고 있지 않다면, 팀 B와 C에게 모두 따라잡힐 수 없으므로 플레이오프 경쟁에서 제외될 것이다.

유럽 축구 리그 및 승강제를 사용하는 다른 대회에서도 이와 유사한 시나리오가 가끔 발생한다. 더블 라운드 로빈 형식으로 경기를 하고, 승리 시 3점, 무승부 시 1점을 부여하며, 18위, 19위, 20위 팀을 강등시키는 20개 팀 축구 리그에 대한 시나리오는 다음과 같다.

순위	팀	경기	승점
16	A	36	38
17	B	36	34
18	C	36	32
19	D	36	28

만약 팀 A가 마지막 두 경기를 모두 지면 38점으로 시즌을 마치고, 팀 D가 마지막 두 경기를 모두 이기면 34점으로 시즌을 마친다. 그럼에도 불구하고, 골득실 또는 다른 타이 브레이커와 관계없이, 팀 B와 C가 아직 서로 경기를 해야 한다면, 팀 A는 팀 B와 C가 모두 38점에 도달할 수 없으므로 강등에서 안전하며, 팀 D는 팀 B와 C가 모두 35점 미만으로 시즌을 마칠 수 없으므로 강등될 것이다.

프로 야구의 리그전은 풀 리그전(× 여러 번)의 승률에 따라 순위가 결정되므로, 팀 B가 팀 C에게 이겨서 승률을 올렸는지가, 그것들과는 별개의 팀 A의 순위에 영향을 준다. 따라서 팀 A, B의 순위는 A 대 B의 경기 (A, B의 '''직접 대결'''이라고 한다) 결과뿐만 아니라, A와 C와의 경기 결과나 B와 C와의 경기 결과에도 영향을 받는다.

매직 넘버가 불규칙적인 행동을 보이는 경우는 세 가지가 있다.

첫째, '''매직 대상 팀이 교체되는''' 경우가 있다. 매직 대상 팀 B가 져도 새롭게 매직 대상 팀이 된 다른 팀 C에 대한 매직 넘버가 줄어들지 않을 수 있으므로, 이 경우 매직 넘버가 줄어들지 않을 수 있다.

(NPB에서의 사례) 2003년 7월 23일, 센트럴 리그 우승 매직 39를 점등하고 있던 한신 타이거스가, 야쿠르트전에 승리하여 62승 23패 1무가 되었지만, 매직 대상 팀이었던 야쿠르트는 44승 41패가 되었고, 매직 대상 팀이 이날 요코하마전에 승리하여 44승 40패가 된 주니치 드래건스로 바뀌었기 때문에, 매직은 1개밖에 줄지 않아 38이 되었다.

둘째, A가 매직 대상 팀 B와 '''직접 대결'''하는 경우가 있다. 양자가 직접 대결했을 경우, "A의 승리에 의한 매직 넘버 감소"와 "B의 패배에 의한 (A의) 매직 넘버 감소"가 모두 일어나므로, 통상 매직 넘버가 2 감소한다.

특수한 경우로, 직접 대결에 의한 B의 패배의 결과, 『매직 대상 팀이 다른 팀 C로 바뀌면』 A의 매직 넘버 감소가 0인 경우도 1인 경우도 있다.
게다가 특수한 경우로, 무승부 수의 차이가 있거나 동률이었을 경우의 순위 결정 규칙에 따라, '''매직 넘버가 한 번에 3개 줄어들 수도 있다'''.
순위 결정의 규칙에 의해 매직 넘버가 한 번에 3개 줄어든 예는, 지금까지 3번 발생하고 있다.
* 2013년 9월 11일, 퍼시픽 리그에서 매직 18을 점등하고 있던 도호쿠 라쿠텐 골든이글스 (70승 49패 2무)가, 매직 대상 팀인 지바 롯데 마린스 (66승 55패 2무)에 승리하여 일어났다.
* 2020년 9월 16일, 센트럴 리그에서 매직 38을 점등하고 있던 요미우리 자이언츠 (46승 22패 4무)가, 매직 대상 팀인 한신 타이거스 (36승 33패 4무)와의 직접 대결에 승리하여 매직 넘버는 35로 줄었다.^[2]
* 2023년 9월 9일, 센트럴 리그에서 매직 10을 점등하고 있던 한신 타이거스(75승 44패 4무)가, 매직 대상 팀인 히로시마 도요 카프 (68승 55패 4무)와의 직접 대결에 승리하여 매직 넘버는 7이 되었다.^[3]^[4]
또한 과거에는, 매직 대상 팀과의 무승부 수의 차이에 의해, 한 번에 매직을 3 감소시킨 사례도 있었다.
* 1984년 9월 22일, 퍼시픽 리그에서 한큐 브레이브스의 매직이 4에서 1로 줄었다.
* 1993년 9월 29일, 마찬가지로 퍼시픽 리그의 세이부의 매직이 9에서 6으로 줄었다.

셋째, A가 경기에서 '''무승부'''한 경우이다. 일본 프로 야구에서는, 리그에서의 순위는 승수가 아니라 승률로 결정되며, 승률의 분모에 무승부를 넣지 않는다. 그 영향으로, 무승부가 일어나면, A와 B에서 승률 계산의 분모가 달라진다. 이것이 원인으로, A가 무승부했을 경우, 상황에 따라 A의 매직 넘버가 1 감소하는 경우도 감소하지 않는 경우도 있다.

NPB(일본 프로 야구)에서는 매직 넘버가 점등되려면 "(매직이 점등되는) A팀 외에 자력 우승의 가능성이 없어지는 것" 외에도 "A팀을 자력으로 승률에서 앞설 수 있는 팀이 없는 것"도 조건이기 때문에 A팀 외에 자력 우승의 가능성이 없어지더라도 A팀에 매직 넘버가 점등되지 않는 경우가 발생할 수 있다.

이러한 사례가 실제로 발생한 예로 2006년 9월 22일의 퍼시픽 리그가 있다.^[14]

9월 22일 종료 시점의 상위 3팀 순위
순위	팀	성적	승률	남은 경기
1위	홋카이도 닛폰햄 파이터스	80승 52패 0무	.606	4(소프트뱅크 2·롯데 2)
2위	세이부	78승 52패 2무	.600	4(롯데 2·라쿠텐 2)
3위	후쿠오카 소프트뱅크 호크스	75승 51패 5무	.595	5(닛폰햄 2·오릭스 2·라쿠텐 1)

남은 경기를 모두 이겼을 경우의 승률
팀	성적	승률
닛폰햄	84승 52패 0무	.618
세이부	82승 52패 2무	.612
소프트뱅크	80승 51패 5무	.611

3. 계산 방법

매직 넘버는 다양한 방법으로 계산할 수 있다.

팀 A가 시즌 중 특정 시점에 ''W''_''A''승, ''L''_''A''패를 기록하고, 이후 ''w''_''A''승과 ''l''_''A''패를 추가로 기록한다고 가정한다. 팀 B에 대해서도 ''W''_''B'', ''L''_''B'', ''w''_''B'', ''l''_''B''를 유사하게 정의한다. 팀 B가 따라잡아야 할 총 승수 차이는 (''W''_''A'' + ''w''_''A'') − (''W''_''B'' + ''w''_''B'')이다. 이 숫자가 팀 B의 남은 경기 수를 초과하면 팀 A는 우승을 확정짓는다. 시즌 전체 경기 수가 ''G''일 때, 팀 B의 남은 경기 수는 ''G'' − (''W''_''B'' + ''w''_''B'' + ''L''_''B'' + ''l''_''B'')로 주어진다. 따라서 팀 A가 우승을 확정짓기 위한 조건은 (''W''_''A'' + ''w''_''A'') − (''W''_''B'' + ''w''_''B'') = 1 + ''G'' − (''W''_''B'' + ''w''_''B'' + ''L''_''B'' + ''l''_''B'')이다. 이를 정리하면 ''w''_''A'' + ''l''_''B'' = ''G'' + 1 − ''W''_''A'' − ''L''_''B''가 되며, 이는 매직 넘버 공식을 나타낸다.

아래 예시에서 팀 A의 매직 넘버는 5이다. 2위 팀 B를 4경기에서 탈락시킬 수 있지만, 3위 팀 C를 확실히 탈락시키려면 5경기가 필요하다. 매직 넘버를 계산할 때는 다른 경쟁 팀 중 가장 적은 패배 수를 사용해야 한다. 즉, 162 + 1 − 88 − '''70''' = 5이다.

팀	승	패	승률	게임차	E#
A	88	56	.611	--	--
B	75	71	.514	14.0	4
C	73	70	.510	14.5	5

타이브레이커 상황은 매직 넘버가 수학적 계산과 다르게 나타나는 경우이다. 대부분의 스포츠는 시즌 종료 시 기록이 동률일 경우를 대비해 여러 타이브레이커 방식을 마련해두고 있다. 보통 첫 번째 타이브레이커 방식은 팀 간 상대 전적을 비교해 해당 시즌에 더 많은 승리를 거둔 팀에게 우선권을 주는 것이다.

아래 예시에서 팀 A와 팀 B는 모두 12경기가 남았고, 수학 공식에 따르면 팀 A의 매직 넘버는 6이다(162+1-83-74=6).

팀	승	패	승률	게임차
A	83	67	.553	--
B	76	74	.507	7.0

그러나 팀 A가 남은 경기 중 5경기만 이겨 88승 74패로 시즌을 마치고, 팀 B가 남은 모든 경기에서 이겨 동률로 시즌을 마감한다면, 팀 A가 시즌 중 팀 B에 대한 승리 기록이 있을 경우 지구 우승을 차지한다. 이는 아래 예시에서 팀 A의 실제 매직 넘버가 5임을 뜻한다.

때로는 팀이 이미 탈락했음에도 경기 일정 때문에 우승할 수학적 기회가 있는 것처럼 보일 수 있다. 다음 메이저 리그 베이스볼 시나리오에서는 시즌에 3경기가 남아 있다. 팀 A, B, C는 지구 챔피언십에만 출전 자격이 있다고 가정한다. 다른 지구에서 더 좋은 기록을 가진 팀들은 이미 3개의 "와일드 카드" 자리를 확보했다.

팀	승	패
A	87	72
B	87	72
C	85	74

만약 팀 C가 남은 3경기를 모두 이기면 88–74로 시즌을 마치고, 팀 A와 B가 남은 3경기를 모두 지면 87–75로 시즌을 마치게 되어 팀 C가 지구 우승팀이 된다. 하지만 팀 A와 B가 마지막 주말에 서로 3경기 시리즈를 치른다면, 두 팀 모두 남은 3경기를 질 수는 없다. 두 팀 중 한 팀은 최소 2경기를 이겨 90–72 또는 89–73의 기록으로 지구 우승을 확정한다. 따라서 팀 A와 B는 동점으로 시즌을 마칠 수 없으며, 팀 C는 지구 우승을 할 수 없다.

팀의 탈락 여부는 최대 흐름 문제 알고리즘을 사용해 확실하게 알 수 있다.^[1]

두 번째 와일드 카드 팀 추가는 야구에서 팀이 아직 탈락할 수 있는 것처럼 보이지만 실제로는 포스트 시즌 진출을 확정한 반대 시나리오를 가능하게 한다. 다음은 와일드 카드에 대한 시나리오이다.

팀	승	패
A	89	70
B	87	72
C	87	72

만약 팀 B와 C가 마지막 3경기를 서로 치르고, 다른 모든 팀이 지구 우승을 확정하거나 팀 A를 따라잡는 것이 수학적으로 불가능하다면, 팀 A는 적어도 두 번째 와일드 카드 자리를 확정했을 것이다. 팀 B와 C가 팀 A를 따라잡을 만큼 충분한 경기를 모두 이길 수 없기 때문이다.

반대 시나리오는 포스트 시즌 자리가 더 많은 스포츠에서 더 흔하며, 마지막 플레이오프 자리에 있는 팀이 서로 경기해야 하는 팀에게 쫓기는 상황에서 유리하다. 때로는 두 시나리오가 동시에 발생할 수 있다. 다음은 전미 농구 협회 컨퍼런스 순위에서 7위부터 10위까지 팀에 대한 시나리오이다.

팀	승	패
A	42	38
B	41	39
C	41	39
D	40	40

만약 팀 B와 C가 마지막 두 경기 중 한 경기를 서로 치러야 하고, 팀 A가 팀 B, C, D에 대한 타이 브레이커를 가지고 있다면, 팀 A는 플레이오프 진출을 확정했을 것이다. 팀 B와 C 모두에게 따라잡힐 수 없기 때문이다. 또한 팀 D가 팀 A, B, C 중 어느 팀에도 타이 브레이커를 가지고 있지 않다면, 팀 B와 C 모두에게 따라잡힐 수 없으므로 플레이오프 경쟁에서 제외된다.

승강제를 사용하는 유럽 축구 리그에서도 이와 비슷한 상황이 가끔 발생한다. 더블 라운드 로빈 방식으로 경기를 하고, 승리 시 3점, 무승부 시 1점을 부여하며, 18위, 19위, 20위 팀을 강등시키는 20개 팀 축구 리그에 대한 시나리오는 다음과 같다.

순위	팀	경기	승점
16	A	36	38
17	B	36	34
18	C	36	32
19	D	36	28

만약 팀 A가 마지막 두 경기를 모두 지면 38점으로 시즌을 마치고, 팀 D가 마지막 두 경기를 모두 이기면 34점으로 시즌을 마친다. 그러나 골득실 등 다른 타이 브레이커와 관계없이, 팀 B와 C가 아직 서로 경기를 해야 한다면, 팀 A는 팀 B와 C가 모두 38점에 도달할 수 없으므로 강등에서 안전하며, 팀 D는 팀 B와 C가 모두 35점 미만으로 시즌을 마칠 수 없으므로 강등될 것이다.

다른 방법으로는 남은 경기 수( $GR_L, GR_T$ )와 선두 팀과의 승차(GBL) 통계만을 사용해 제거 번호를 결정할 수 있다. 공식은 $E= \frac{GR_L+GR_T}{2}-GBL+1$ 이다. 여기서 $GR_L$ 는 선두 팀의 남은 경기 수, $GR_T$ 는 추격 팀의 남은 경기 수를 뜻한다.

위 예시를 다시 보면, 팀 B의 제거 번호는 "5"이다( $E= \frac{8+7}{2}-3.5+1$ ). 취소 또는 재경기가 없는 무승부로 인해 팀들이 정규 시즌에 서로 다른 수의 경기를 치르는 경우 이 방법을 사용해야 한다.

3. 1. 무승부가 없는 경우

Magic Number^영어는 야구에서 특정 팀이 우승을 확정짓기 위해 필요한 승수 또는 상대 팀의 패배 수를 나타내는 용어이다. 무승부가 없는 리그에서는 매직 넘버를 다음과 같이 계산한다.

리그의 총 경기 수가 ''G''이고, A팀의 현재 승수가 ''W''_''A'', 패수가 ''L''_''A''이며, B팀의 현재 승수가 ''W''_''B'', 패수가 ''L''_''B''라고 가정하자. A팀의 매직 넘버는 다음 공식으로 계산된다.

:

M = G + 1 - W_A - L_B

이는 A팀이 남은 경기에서 모두 패배하고, B팀이 남은 경기에서 모두 승리하는 최악의 경우를 가정한 것이다. 이 경우에도 A팀이 우승을 확정짓는 최소한의 승리 횟수가 매직 넘버가 된다.

예를 들어, 다음과 같은 순위표를 보자.

팀	승	패	승률	게임차	E#
A	88	56	.611	--	--
B	75	71	.514	14.0	4
C	73	70	.510	14.5	5

A팀의 매직 넘버는 C팀을 기준으로 계산해야 한다. (B팀은 이미 A팀보다 4패를 더 많이 했기 때문에, A팀이 남은 경기에서 4승만 추가하면 B팀을 제칠 수 있다.)

: $M = 162 + 1 - 88 - 70 = 5$

따라서 A팀은 남은 경기에서 5승을 추가하거나, C팀이 5패를 추가하면 우승을 확정짓게 된다.

만약 타이브레이커 상황이 발생하면 매직 넘버는 수학적 계산과 다르게 나타날 수 있다. 예를 들어 A팀과 B팀이 동률로 시즌을 마감했지만, A팀이 B팀과의 상대 전적에서 앞선다면 A팀이 우승하게 된다. 이러한 경우에는 실제 매직 넘버가 더 작아질 수 있다.

때로는 팀이 이미 탈락했음에도 불구하고, 경기 일정 때문에 우승할 수학적 기회가 있는 것처럼 보일 수 있다. 예를 들어 A팀과 B팀이 마지막 주말에 서로 경기를 한다면, 두 팀 모두 남은 경기를 모두 질 수 없다. 즉, 한 팀은 반드시 승리하게 되므로, 실제로는 이미 탈락한 팀이 있는 경우도 있다.

3. 2. 무승부가 있는 경우

무승부가 있는 경우, 승률 계산 방식의 차이로 인해 더 복잡한 계산이 필요하다.

팀 A, B에 대해,

(A가 앞으로 ''n'' 승을 거두고 리그가 종료되었을 때의 A의 승률) > (B가 남은 모든 경기에 승리하여 리그가 종료되었을 때의 B의 승률)

을 만족하는 최소의 ''n''을

M_{A,B}

라고 하면, A의 매직 넘버는

$\max_{X\neq A}M_{A,B}$

에 의해 표시되므로, 이하

M_{A,B}

의 계산 방법을 설명한다.

리그의 총 경기 수가

T

, 팀 B의 현 시점에서의 성적이, 승수

W_B

, 패수

L_B

, 승리 횟수

D_B (=W_B-L_B )

, 무승부 수

E_B

, 남은 경기 수

R_B (=T-(W_B+L_B+E_B) )

일 때, 팀 A가 앞으로

n

경기를 이기고 리그가 종료되었을 경우의 A의 승률

r_A

는

:

r_A = \frac{W_A+n}{T-E_A}

이다. 팀 B를 매직 대상 팀으로 할 때, 팀 B가 모든 남은 경기에 승리했을 경우의 B의 승률

r_B

는

:

r_B = \frac{W_B+R_B}{T-E_B}

이다.

A의 승률이 B의 승률을 넘어서려면

r_A > r_B

일 필요가 있다. 여기에 상기 식을 대입하여 정리하면,

:

n > \frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)-W_A

M_{A,B}

는 위의 식을 만족하는 최소의 정수 n이므로, 팀 A의 B에 대한 매직 넘버

M_{AB}

는

:

M_{A,B}=\left\lfloor\frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)\right\rfloor-W_A+1

이 된다. 여기서

\lfloor \cdot \rfloor

는 바닥 함수이다.

무승부 수가 같거나 무승부가 없는 경우, 즉, '''

E_A=E_B(=0)

'''의 경우,

(T-E_A)/(T-E_B)=1

이고 게다가

W_B+R_B

는 정수이므로,

M_{A,B}

는 앞서 언급한 식

:

M_{A,B}=W_B+R_B-W_A+1

…(1)식

과 일치한다.

무승부의 유무에 관계없이,

M_{A,B}

는 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있음을 간단한 계산으로 확인할 수 있다.

:

M_{A,B}=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(W_B-L_B+R_B)\frac{T-E_A}{T-E_B}-(W_A-L_A-R_A)\}\right\rfloor+1

:

=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(D_B+R_B)(1-\frac{E_A-E_B}{T-E_B})-(D_A-R_A)\}\right\rfloor+1

:

=\left\lfloor\frac{D_B+R_B-D_A+R_A}{2}-\frac{D_B+R_B}{2} \cdot \frac{E_A-E_B}{T-E_B}\right\rfloor+1

또한, 상술한 (1)식을 변형하여 유도할 수도 있다.

:

M_{A,B}=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +T-(W_A+E_A)-L_B+1=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +L_A+R_A-L_B+1

…(2)식

의 식을 사용하여도

M_{A,B}

를 계산할 수 있다.

3. 3. 다른 계산 방법

잔여 경기 수(GR)와 선두 팀과의 승차(GBL) 통계를 사용하여 제거 번호를 결정하는 방법도 있다.

:

E= \frac{GR_L+GR_T}{2}-GBL+1

여기서

GR_L

는 선두 팀의 남은 경기 수,

GR_T

는 추격 팀의 남은 경기 수를 의미한다.

예를 들어, 팀 B의 제거 번호는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

E= \frac{8+7}{2}-3.5+1 = 5

취소 또는 재경기가 없는 무승부로 인해 팀들이 정규 시즌에 서로 다른 수의 경기를 치르는 경우, 이 방법을 사용할 필요가 있다.

팀 A, B에 대해,

(A가 앞으로 ''n'' 승을 거두고 리그가 종료되었을 때의 A의 승률) > (B가 남은 모든 경기에 승리하여 리그가 종료되었을 때의 B의 승률)

을 만족하는 최소의 ''n''을

M_{A,B}

라고 하면, A의 매직 넘버는

$\max_{X\neq A}M_{A,B}$

로 나타낼 수 있다.

M_{A,B}

는 다음과 같이 계산한다.

리그의 총 경기 수가

T

, 팀 B의 현재 성적이 승수

W_B

, 패수

L_B

, 승리 횟수

D_B (=W_B-L_B )

, 무승부 수

E_B

, 남은 경기 수

R_B (=T-(W_B+L_B+E_B) )

일 때, 팀 A가 앞으로

n

경기를 이기고 리그가 종료되었을 경우의 A의 승률

r_A

는

:

r_A = \frac{W_A+n}{T-E_A}

이다. 팀 B를 매직 대상 팀으로 할 때, 팀 B가 모든 남은 경기에 승리했을 경우의 B의 승률

r_B

는

:

r_B = \frac{W_B+R_B}{T-E_B}

이다.

A의 승률이 B의 승률을 넘어서려면

r_A > r_B

일 필요가 있다. 이를 정리하면,

:

n > \frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)-W_A

M_{A,B}

는 위의 식을 만족하는 최소의 정수 n이므로, 팀 A의 B에 대한 매직 넘버

M_{AB}

는

:

M_{A,B}=\left\lfloor\frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)\right\rfloor-W_A+1

이 된다. 여기서

\lfloor \cdot \rfloor

는 바닥 함수이다.

무승부 수가 같거나 무승부가 없는 경우, 즉, '''

E_A=E_B(=0)

'''의 경우,

M_{A,B}

는

:

M_{A,B}=W_B+R_B-W_A+1

과 같다.

무승부 유무에 관계없이,

M_{A,B}

는 다음과 같이 구할 수도 있다.

:

M_{A,B}=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(W_B-L_B+R_B)\frac{T-E_A}{T-E_B}-(W_A-L_A-R_A)\}\right\rfloor+1

:

=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(D_B+R_B)(1-\frac{E_A-E_B}{T-E_B})-(D_A-R_A)\}\right\rfloor+1

:

=\left\lfloor\frac{D_B+R_B-D_A+R_A}{2}-\frac{D_B+R_B}{2} \cdot \frac{E_A-E_B}{T-E_B}\right\rfloor+1

또는,

:

M_{A,B}=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +T-(W_A+E_A)-L_B+1=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +L_A+R_A-L_B+1

을 사용할 수도 있다.

4. 매직 넘버의 변화

$M_{AB}$ 의 변화B의 승패경기 없음승리패배무승부A의 승패경기 없음 $0$ $0$ $-1-N_M+N_{LB}$ $N_{EB}-N_{M}$ 승리 $-1$ $-1$ $-2-N_M+N_{LB}$ $-1+N_{EB}-N_{M}$ 패배 $0$ $0$ $-1-N_M+N_{LB}$ $N_{EB}-N_{M}$ 무승부 $-1-N_M+N_{EA}$ $-1-N_M+N_{EA}$ $-2-2N_M+N_{EA}+N_{LB}$ $-1-2N_M+N_{EA}+N_{EB}$

매직 넘버

1. 개요

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2. 정의 및 성질

2. 1. 기본 정의

2. 2. 매직 넘버의 성질

2. 3. 예외적인 경우

3. 계산 방법

3. 1. 무승부가 없는 경우

3. 2. 무승부가 있는 경우

3. 3. 다른 계산 방법

4. 매직 넘버의 변화

5. 점등 및 소멸

5. 1. 점등 조건

5. 2. 소멸 조건

5. 3. 숨겨진 매직

6. 한계점 및 특이 사례

6. 1. 점등 개념의 한계

6. 2. 특이 사례

7. 한국 프로야구에서의 활용

8. 기타

8. 1. 역 매직

8. 2. 파생 용어

참조