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메타수학

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목차

1. 개요

메타수학은 수학적 명제의 증명 가능성, 공리 체계의 일관성 등 수학 자체의 속성을 연구하는 분야이다. 19세기 수학의 기초에 대한 위기에서 시작되어 수학적 논리와 밀접하게 연결되었으며, 20세기 초 다비트 힐베르트에 의해 "메타수학"이라는 용어가 사용되었다. 주요 발전 과정으로는 쌍곡 기하학의 발견, 프레게의 '개념 표기법', 러셀과 화이트헤드의 '수학 원리', 괴델의 불완전성 정리, 타르스키의 진리 정의, 결정 문제의 해결 불가능성 등이 있다.

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메타수학
개요
분야수학, 논리학, 철학
연구 대상수학적 증명, 수학적 이론, 계산 가능성
관련 분야기초론, 모델 이론, 증명론, 계산 가능성 이론
역사
초기 연구힐베르트 프로그램
주요 결과괴델의 불완전성 정리, 처치의 람다 계산법, 튜링 기계
주요 개념
형식 언어수학적 이론을 표현하기 위한 언어
공리계수학적 이론의 기초가 되는 공리들의 집합
추론 규칙공리로부터 새로운 정리를 도출하는 규칙
증명공리로부터 추론 규칙을 적용하여 정리를 도출하는 과정
모델공리계를 만족하는 수학적 구조
완전성공리계로부터 모든 참인 명제를 증명할 수 있는 성질
무모순성공리계로부터 모순되는 명제를 증명할 수 없는 성질
결정 가능성주어진 명제가 공리계로부터 증명 가능한지 여부를 결정할 수 있는 성질
주요 연구 분야
증명론수학적 증명의 구조와 성질을 연구하는 분야
모델 이론형식 언어와 수학적 구조 사이의 관계를 연구하는 분야
재귀 이론계산 가능성과 관련된 문제를 연구하는 분야
집합론집합의 개념과 성질을 연구하는 분야
주요 인물
다비트 힐베르트20세기 초 수학의 기초를 확립하려 했던 수학자
쿠르트 괴델불완전성 정리를 증명한 논리학자
알론조 처치람다 계산법을 개발한 논리학자
앨런 튜링튜링 기계를 고안한 컴퓨터 과학자

2. 역사

수학 자체에 대한 메타수학적 메타정리는 19세기에 일반적인 수학적 정리와 구별되기 시작했으며, 당시 "수학의 기초 위기"라고 불리던 문제들에 초점을 맞추었다. 리처드의 역설(1905)이나 잘 알려진 러셀의 역설 등은 수학과 메타수학을 명확히 구분하지 않을 경우 발생할 수 있는 모순의 예시를 보여준다.

메타수학은 수학적 논리와 밀접하게 연관되어 발전해왔으며, 두 분야의 초기 역사는 19세기 말과 20세기 초에 상당 부분 겹친다. 현대에 와서 수학적 논리는 집합론, 범주론, 재귀 이론, 순수 모형 이론 등 새로운 수학 분야의 연구를 포괄하는 경우가 많다.

본격적인 메타수학적 고찰은 1879년 출판된 고틀로프 프레게의 ''개념 표기법'' 연구에서 시작되었다고 볼 수 있다. 이후 다비트 힐베르트는 20세기 초 "메타수학"이라는 용어를 자주 사용한 첫 인물로 알려져 있으며(힐베르트의 프로그램 참조), 그에게 메타수학은 오늘날의 증명 이론과 유사하게, 유한한 방법을 사용하여 다양한 공리화된 수학 이론들을 연구하는 것을 의미했다.

메타수학 분야의 다른 주요 인물로는 버트런드 러셀, 토럴프 스콜렘, 에밀 포스트, 앨런 처치, 앨런 튜링, 스티븐 클리니, 윌러드 콰인, 폴 베나세라프, 힐러리 퍼트넘, 그레고리 차이틴, 알프레트 타르스키, 폴 코언, 쿠르트 괴델 등이 있다.

오늘날 메타논리와 메타수학은 광범위하게 중첩되며, 학계에서는 두 분야 모두 수학적 논리의 일부로 다루어지는 경향이 있다.

2. 1. 주요 발전 과정

메타수학은 여러 중요한 발견과 이론을 통해 발전해왔다. 쌍곡 기하학과 같은 비유클리드 기하학의 등장은 기존의 수학적 공리에 대한 절대적 믿음에 의문을 제기하며 수학의 기초를 탐구하는 계기를 마련했다. 이후 고틀로프 프레게는 ''개념 표기''(Begriffsschrift|베그리프슈리프트de)를 통해 현대 논리학의 기초가 되는 형식 체계를 제시하며 수학적 논증의 엄밀성을 높이는 데 기여했다.

버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드는 ''수학 원리''(Principia Mathematica)에서 모든 수학적 진리를 단일한 논리 체계 안에서 증명하고자 시도했으며, 이는 러셀의 역설과 같은 문제를 해결하기 위한 유형 이론의 발전으로 이어졌다. 그러나 쿠르트 괴델은 괴델의 불완전성 정리를 통해 어떠한 공리계도 산술을 포함한다면 완전하면서 동시에 무모순일 수 없음을 증명하여, 수학 전체를 포괄하는 완벽한 형식 체계를 구축하려는 힐베르트의 프로그램의 한계를 밝혔다.

한편, 알프레드 타르스키는 진리의 의미론적 이론과 T-스키마를 통해 형식 언어 내에서 '진리' 개념을 명확하게 정의하는 방법을 제시했다. 마지막으로, 앨런 튜링과 앨론조 처치는 결정 문제(Entscheidungsproblem)가 해결 불가능함을 증명함으로써, 어떤 형식 체계 내의 모든 명제가 참인지 거짓인지를 기계적으로 판별할 수 있는 일반적인 알고리즘은 존재하지 않음을 보여주었다. 이는 계산 가능성 이론의 중요한 토대가 되었다.

2. 1. 1. 쌍곡 기하학의 발견

쌍곡 기하학의 발견은 메타수학에 중요한 철학적 영향을 미쳤다. 비유클리드 기하학의 한 종류인 쌍곡 기하학이 등장하기 전까지, 수학자들은 오직 하나의 기하학만이 존재 가능하다고 생각했으며, 다른 형태의 기하학이 존재할 수 있다는 생각 자체를 받아들이기 어려워했다.

독일의 저명한 수학자 가우스는 쌍곡 기하학을 발견했지만, 당시 학계의 반발, 이른바 "보이오티아인들의 소동"을 우려하여 연구 결과를 즉시 발표하지 않았다고 전해진다. 그는 이러한 논란이 자신의 명성, 즉 '수학자들의 제왕'이라는 지위를 흔들 수 있다고 생각했을 것이다.[1]

그러나 결국 쌍곡 기하학의 존재는 알려지게 되었고, 이는 기존의 수학적 사고방식에 큰 충격을 주었다. 이 사건은 수학의 절대적 진리성에 대한 근본적인 질문을 던졌으며, 결과적으로 메타수학 연구에 강력한 동기를 부여했다. 또한, 수학적 엄밀성, 분석철학, 논리학과 같은 관련 분야에서도 중요한 발전이 이루어지는 계기가 되었다.

2. 1. 2. 프레게의 ''개념 표기법''

''개념 표기''(Begriffsschrift|베그리프슈리프트de)는 1879년에 출판된 고틀로프 프레게의 논리에 관한 책이자 그 책에서 제시된 형식 체계를 가리킨다. Begriffsschrift|베그리프슈리프트de는 보통 "개념 표기" 또는 "개념 기호"로 번역된다. 책의 전체 제목은 "순수한 사고의 산술을 모델로 한 공식 언어"이다.

프레게가 논리에 대한 형식적 접근 방식을 개발하게 된 동기는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 계산 추론을 개발한 동기와 유사했다고 알려져 있다. 하지만 프레게 자신은 책의 서문에서 라이프니츠와 같은 이상적인 언어를 구축하려는 목표에는 도달하지 못했다고 밝혔다. 프레게는 이 책에서 제시한 논리적 계산법을 이후 25년간 수학의 기초에 대한 연구를 수행하는 데 활용했다.

2. 1. 3. ''수학 원리''

''수학 원리''(Principia Mathematica, 흔히 "PM"으로 줄여 씀)는 모든 수학적 진리를 원칙적으로 증명할 수 있는 공리와 추론 규칙의 집합을 수학적 논리의 기호 논리를 사용하여 기술하려는 시도였다. 이 야심 찬 계획은 수학과 철학사에서 매우 중요한 의미를 지닌다.[2] 이는 그러한 목표 달성이 가능하다는 믿음 아래 이루어진 가장 대표적인 결과물 중 하나이다. 그러나 1931년 괴델의 불완전성 정리는 PM을 포함한 어떤 시도도 이 목표를 결코 달성할 수 없음을 결정적으로 증명했다. 즉, 수학 전체를 포괄하기 위해 제안된 어떤 공리와 추론 규칙 체계에서도 그로부터 증명할 수 없는 참인 수학적 명제가 반드시 존재한다는 것이다.

''PM''이 나오게 된 주요한 동기 중 하나는 고틀로프 프레게의 초기 논리 연구에서 러셀이 러셀의 역설을 일으키는 집합 구성을 발견한 것이었다. ''PM''은 이러한 문제를 피하기 위해 임의의 집합을 제한 없이 만드는 것을 막고자 했다. 이를 위해 일반적인 집합 개념 대신, 서로 다른 '유형'으로 이루어진 집합들의 계층 구조를 도입했다. 이 구조에서는 특정 유형의 집합은 자신보다 엄격하게 낮은 유형의 집합만을 포함할 수 있도록 제한했다. 하지만 현대 수학에서는 체르멜로-프렝켈 집합론과 같이 덜 복잡한 방식으로 러셀의 역설과 같은 문제들을 해결한다.

2. 1. 4. 괴델의 불완전성 정리

괴델의 불완전성 정리는 수학적 논리의 두 가지 정리이다. 이 정리는 산술을 포함하는 거의 모든 공리계가 가진 내재적 한계를 밝힌다. 1931년 쿠르트 괴델이 증명했으며, 수학적 논리와 수학 철학 분야에서 중요한 의미를 지닌다.

이 두 정리는 모든 수학을 설명할 수 있는 완전하고 모순 없는 공리 체계를 찾으려 했던 힐베르트의 프로그램이 불가능함을 보여주는 것으로 널리 받아들여진다. 이는 힐베르트의 두 번째 문제에 대한 부정적인 답변이기도 하다.

첫 번째 불완전성 정리에 따르면, 모순이 없는 공리 체계라 할지라도 자연수(산술)에 관한 모든 참인 명제를 증명할 수는 없다. 즉, 어떤 공리 체계든 그 안에서는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다. 두 번째 불완전성 정리는 첫 번째 정리에서 더 나아가, 해당 공리 체계 스스로가 자신의 무모순성(일관성)을 증명하는 것 또한 불가능하다는 것을 보여준다.

2. 1. 5. 타르스키의 진리 정의

알프레드 타르스키는 진리의 의미론적 이론을 통해 진리 개념을 명확히 정의하고자 했으며, 이 과정에서 핵심적인 역할을 하는 것이 T-스키마 또는 진리 스키마이다. 이는 T 규칙과는 다른 개념으로, 진리에 대한 귀납적 정의를 제공하는 데 사용된다. 일부 학자들은 마이클 덤멧이 처음 사용한 용어인 "동치 스키마"라고 부르기도 한다.[3]

T-스키마는 주로 자연 언어로 표현되지만, 다종 정형 논리나 양상 논리를 사용하여 형식적으로 나타낼 수도 있다. 이렇게 형식화된 체계를 T-이론이라고 부른다. T-이론은 분석 철학에서 다루어지는 여러 중요한 논쟁의 기초가 되는 철학적 논리 연구에서 중요한 위치를 차지한다.

T-스키마를 간단한 형태로 표현하면 다음과 같다. 여기서 'S'는 문장 S를 가리키는 이름이다.

'S'는 참이다 만약 그리고 오직 만약 S

예를 들어, '눈은 희다'라는 문장의 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

'눈은 희다'는 참이다 iff 눈은 희다.

2. 1. 6. 결정 문제의 해결 불가능성

Entscheidungsproblem|엔트샤이둥스프로블렘deu(결정 문제)은 1928년 다비트 힐베르트가 제기한 문제이다.[4] 결정 문제는 일차 논리의 명제가 주어졌을 때, 그 명제가 '보편적으로 타당한지', 즉 주어진 공리들을 만족하는 모든 경우에 항상 참인지 아닌지를 답하는 알고리즘이 존재하는지에 대한 물음이다. 괴델의 완전성 정리에 따르면, 명제가 보편적으로 타당하다는 것은 그 명제가 공리로부터 논리 규칙을 사용하여 증명될 수 있다는 것과 같으므로, 결정 문제는 주어진 명제가 공리로부터 증명 가능한지를 결정하는 알고리즘을 찾는 문제로도 볼 수 있다.

1936년, 앨런 튜링과 앨론조 처치는 각각 독립적인 연구를 통해[5] 결정 문제에 대한 일반적인 해법이 존재하지 않음을 증명했다. 이들은 '효율적으로 계산 가능하다'는 직관적인 개념이 튜링 기계로 계산 가능한 함수(또는 이와 동등한 람다 대수로 표현 가능한 함수)와 같다는 가정, 즉 오늘날 처치-튜링 명제로 알려진 가정을 바탕으로 이러한 결론에 도달했다. 이는 어떤 알고리즘도 모든 일차 논리 명제에 대해 그것이 보편적으로 타당한지 여부를 항상 결정할 수는 없다는 것을 의미한다.

3. 주요 인물

메타수학 발전에 기여한 주요 인물들은 다음과 같다.

진지한 메타수학적 고찰을 시작한 고틀로프 프레게를 비롯하여, "메타수학"이라는 용어를 정립하고 증명 이론 연구를 이끈 다비트 힐베르트, 러셀의 역설로 유명한 버트런드 러셀 등이 있다.

그 외에도 토럴프 스콜렘, 에밀 포스트, 앨런 처치, 앨런 튜링, 스티븐 클리니, 윌러드 콰인, 폴 베나세라프, 힐러리 퍼트넘, 그레고리 차이틴, 알프레트 타르스키, 폴 코언, 쿠르트 괴델 등이 메타수학 분야의 발전에 중요한 기여를 한 인물로 꼽힌다.

3. 1. 고틀로프 프레게

진지한 메타수학적 고찰은 1879년에 출판된 고틀로프 프레게의 ''개념 표기법'' 연구에서 시작되었다.

''개념 표기법''(Begriffsschrift|베그리프슈리프트de)은 1879년에 출판된 고틀로프 프레게의 논리에 관한 책이자, 그 책에 제시된 형식 체계를 말한다. 이 책의 제목은 보통 "개념 표기" 또는 "개념 기호"로 번역되며, 전체 제목은 "순수한 사고의 산술을 모델로 한 공식 언어"이다. 프레게가 논리에 대한 형식적 접근 방식을 개발하게 된 동기는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 그의 계산 추론을 개발한 동기와 유사했다. 프레게는 이후 25년 동안 수행된 수학의 기초에 대한 연구에 자신의 논리적 계산법을 사용했다.

3. 2. 다비트 힐베르트

다비트 힐베르트는 20세기 초에 "메타수학"이라는 용어를 정기적으로 사용한 인물 중 한 명이다(힐베르트의 프로그램 참조). 그에게 메타수학은 현대의 증명 이론과 비슷한 의미를 가졌으며, 유한한 방법을 사용하여 다양한 공리화된 수학적 정리들을 연구하는 것을 목표로 삼았다.

3. 3. 버트런드 러셀

버트런드 러셀은 메타수학 분야의 주요 인물 중 한 명으로 꼽힌다. 그는 수학과 메타수학을 명확히 구분하지 않을 때 발생할 수 있는 모순의 예시로 잘 알려진 러셀의 역설(자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합은 자신을 포함하는가?)을 제시하며 집합론의 기초에 중요한 문제를 제기했다.

러셀은 알프레드 노스 화이트헤드와 함께 ''수학 원리''(Principia Mathematica, 흔히 "PM"으로 줄여 씀)를 저술했다. 이 책은 모든 수학적 진리를 소수의 공리와 추론 규칙으로부터 기호 논리를 사용하여 증명하려는 시도였다.[2] 이는 수학과 철학사에서 중요한 의미를 가지며, 수학의 모든 것을 논리적으로 환원할 수 있다는 믿음 아래 이루어진 가장 대표적인 결과물 중 하나로 평가받는다. ''수학 원리''를 저술하게 된 주요 동기 중 하나는 고틀로프 프레게의 초기 논리 연구에서 러셀 자신이 발견한 러셀의 역설이었다.

''수학 원리''는 이러한 역설을 피하기 위해 집합의 개념을 '유형'(type)이라는 계층 구조로 대체하는 방법을 제안했다. 이 이론에 따르면, 특정 유형의 집합은 자신보다 엄격하게 낮은 유형의 집합만을 원소로 가질 수 있도록 하여 무분별한 집합 생성을 제한하고자 했다. 하지만 1931년 쿠르트 괴델이 발표한 괴델의 불완전성 정리는 ''수학 원리''를 포함한 어떤 충분히 강력한 공리계에서도 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재하며, 그 공리계 자체의 무모순성을 그 안에서 증명할 수 없음을 결정적으로 보여주었다. 이는 ''수학 원리''가 추구했던 목표, 즉 모든 수학적 진리를 증명하는 것이 원리적으로 달성 불가능함을 의미했다. 현대 수학에서는 러셀의 역설과 같은 문제를 해결하기 위해 ''수학 원리''의 유형 이론보다는 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 다른 공리적 집합론 체계를 주로 사용한다.

3. 4. 쿠르트 괴델

메타수학 분야의 주요 인물 중 한 명으로 쿠르트 괴델이 있다.

괴델의 불완전성 정리는 수학적 논리 분야의 중요한 두 가지 정리로, 산술을 다룰 수 있는 기본적인 공리계조차도 그 안에 내재적인 한계를 가지고 있음을 보여준다. 1931년 쿠르트 괴델에 의해 증명된 이 정리는 수학적 논리와 수학 철학 모두에 있어 중요한 의미를 지닌다. 두 결과는 힐베르트의 프로그램이 목표했던 모든 수학에 대한 완전하고 일관된 공리 집합을 찾는 것이 불가능함을 보여주는 것으로 널리 해석되며, 힐베르트의 두 번째 문제에 대한 부정적인 답을 제시하는 것으로 여겨진다.

첫 번째 불완전성 정리는, 어떤 공리 체계가 일관되고 유효 절차(예: 컴퓨터 프로그램이나 특정 알고리즘)를 통해 그 체계 내의 모든 정리를 나열할 수 있다 하더라도, 그 체계가 자연수(산술)에 관한 모든 참인 명제를 증명할 수는 없다는 것을 내용으로 한다. 즉, 이러한 체계 내에는 참임에도 불구하고 그 체계 안에서는 증명될 수 없는 명제가 항상 존재한다는 것이다. 첫 번째 정리에서 더 나아간 두 번째 불완전성 정리는, 그러한 체계는 자기 자신의 일관성을 스스로 증명할 수 없다는 것을 보여준다.

3. 5. 알프레드 타르스키

알프레드 타르스키는 메타수학 분야의 주요 인물 중 한 명으로 꼽힌다. 그는 특히 진리의 의미론적 이론을 발전시키는 데 중요한 기여를 했다.

타르스키의 이론에서 핵심적인 역할을 하는 것은 T-스키마(T-schema) 또는 진리 스키마(truth schema)이다. 이는 진리에 대한 귀납적 정의를 제공하며, 타르스키의 진리의 의미론적 이론을 구체화하는 데 사용된다. 일부 학자들은 마이클 덤멧이 사용한 용어를 따라 이를 "동치 스키마"(equivalence schema)라고 부르기도 한다.[3]

T-스키마는 주로 자연 언어를 통해 표현되지만, 다종 정형 논리나 양상 논리와 같은 형식 체계 안에서 엄밀하게 형식화될 수도 있다. 이렇게 형식화된 이론을 T-이론(T-theory)이라고 부른다. T-이론은 분석 철학 내 여러 중요한 논쟁에서 활용되는 철학적 논리 연구의 기초를 이룬다.

T-스키마는 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다. 여기서 'S'는 문장 S를 가리키는 이름이다:

'S'는 참이다 만약 그리고 오직 만약 S

예를 들어, "눈은 희다"라는 문장을 생각해 보면 다음과 같이 표현할 수 있다:

'눈은 희다'는 참이다 만약 그리고 오직 만약 눈은 희다.

3. 6. 앨런 튜링

앨런 튜링은 메타수학 분야의 주요 인물 중 한 명으로 꼽힌다. 그는 특히 다비트 힐베르트가 1928년에 제기한 결정 문제(Entscheidungsproblem)를 해결하는 데 중요한 기여를 했다.[4] 결정 문제는 주어진 일차 논리의 명제가 보편적으로 타당한지, 즉 그 명제가 공리를 만족하는 모든 구조에서 항상 참인지 아닌지를 결정하는 알고리즘이 존재하는지에 대한 질문이다. 이는 또한 주어진 명제가 논리 규칙을 사용하여 공리로부터 증명될 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘을 찾는 문제와 같다.

1936년, 앨런 튜링은 앨론조 처치와는 별개로 독자적인 연구를 통해[5] 결정 문제에 대한 일반적인 해법이 존재하지 않는다는 것을 증명하는 논문을 발표했다. 이 증명은 "효율적으로 계산 가능"하다는 직관적인 개념이 튜링 기계에 의해 계산될 수 있는 함수(또는 이와 동등하게 람다 대수로 표현 가능한 함수)와 동일하다는 가정에 기반한다. 이 가정은 오늘날 처치-튜링 명제로 알려져 있으며, 튜링의 연구는 계산 가능성 이론의 발전에 핵심적인 토대를 마련했다.

3. 7. 알론조 처치

앨론조 처치는 메타수학 분야의 주요 인물 중 한 명으로 꼽힌다. 그는 미국의 수학자이자 논리학자로서, 특히 계산 가능성 이론의 발전에 중요한 기여를 했다.

처치는 1936년 앨런 튜링과 함께 독자적인 연구를 통해 다비트 힐베르트가 제기한 결정 문제 (Entscheidungsproblem)에 대한 일반적인 해법이 존재하지 않음을 증명했다.[5] 이 과정에서 그는 '효율적으로 계산 가능'하다는 직관적인 개념이 람다 대수로 표현 가능한 함수에 의해 포착될 수 있다는 아이디어를 제시했다. 이러한 생각은 오늘날 처치-튜링 명제로 알려져 있으며, 계산 이론의 기본적인 원리로 받아들여지고 있다. 처치가 개발한 람다 대수는 함수형 프로그래밍 언어의 이론적 기반을 마련하는 등 후대에 큰 영향을 미쳤다.

4. 현대적 의의

메타수학은 수학적 논리와 밀접하게 연결되어 있으며, 두 분야의 초기 역사는 19세기 말과 20세기 초에 상당 부분 겹친다. 최근에는 수학적 논리가 집합론, 범주론, 재귀 이론 및 순수 모형 이론과 같은 새로운 순수 수학 분야의 연구를 포함하는 경우가 많다.

오늘날 메타논리와 메타수학은 서로 광범위하게 겹치며, 학계에서는 두 분야 모두 수학적 논리에 상당히 흡수되었다.

참조

[1] 서적 Philosophy of Geometry from Riemann to Poincare Reidel 1978
[2] 웹사이트 Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy) http://plato.stanfor[...] Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University 2003-05-01
[3] 서적 Conceptions of truth https://archive.org/[...] Clarendon Press
[4] 문서 Hilbert and Ackermann
[5] 간행물 Church's paper was presented to the American Mathematical Society on 19 April 1935 and published on 15 April 1936. Turing, who had made substantial progress in writing up his own results, was disappointed to learn of Church's proof upon its publication (see correspondence between [[Max Newman]] and Church in [http://diglib.princeton.edu/ead/getEad?eadid=C0948&kw= Alonzo Church papers] https://web.archive.[...] 2010-06-07
[6] 서적 学術用語集 論理学編 大日本図書


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