맨위로가기

멱영 아이디얼

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

멱영 아이디얼은 유사환 R의 왼쪽 아이디얼 i에 대해 i^n=0을 만족하는 양의 정수 n이 존재할 경우를 의미하며, 멱영원 아이디얼은 i의 모든 원소가 멱영원일 경우를 뜻한다. 오른쪽 뇌터 환의 왼쪽 아이디얼에서는 멱영 왼쪽 아이디얼과 멱영원 왼쪽 아이디얼이 동치이며, 오른쪽 아르틴 환에서는 모든 영 아이디얼이 멱영이다. 쾨테 추측은 유사환 R에서 유일한 멱영원 양쪽 아이디얼이 0일 경우, 유일한 멱영원 왼쪽 아이디얼 역시 0 밖에 없다는 명제이며, 아직 일반적인 경우는 미해결 문제이다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 아이디얼 - 아이디얼 노름
    아이디얼 노름은 데데킨트 정역에서 정의되는 모노이드 준동형으로, 상대 아이디얼 노름, 절대 아이디얼 노름, 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름 등이 있으며, 장피에르 세르에 의해 정의되었다.
  • 아이디얼 - 극대 아이디얼
    극대 아이디얼은 환론에서 환 \(R\)의 아이디얼 중 '극대'인 것으로, 극대 왼쪽/오른쪽 아이디얼 및 가환환의 극대 아이디얼로 구체화되며 몫환을 통해 환의 구조 분석에 중요한 역할을 한다.
멱영 아이디얼
정의
설명가환환 R의 아이디얼 I가 주어졌을 때, I의 모든 원소 x에 대해 어떤 양의 정수 n이 존재하여 x^n = 0이 되는 경우, I를 멱영 아이디얼이라고 함
다른 정의R의 모든 멱영원들의 집합은 멱영 아이디얼을 형성함
성질
멱영원 이데알冪零元イデアル은 항상 멱영 이데알임
나눗셈환나눗셈환은 비자명한 멱영 이데알을 갖지 않음
가환환가환환에서 멱영 이데알은 멱영원 이데알임
레비츠키의 정리レヴィツキの定理에 따라, 아르틴 환에서 멱영 이데알은 멱영원 이데알임
관련 개념
멱영원멱영 아이디얼의 모든 원소는 멱영원임
멱영en

2. 정의

유사환 R 속의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak i\subseteq R가 주어졌다고 하자.

만약


  • \mathfrak i^n=0이 되는 양의 정수 n\in\mathbb Z^+이 존재한다면, \mathfrak i를 '''멱영 왼쪽 아이디얼'''(nilpotent left ideal영어)이라고 한다.
  • \mathfrak i의 모든 원소가 멱영원이라면 (즉, 임의의 r\in\mathfrak i에 대하여 r^{n_r}=0이 되는 양의 정수 n_r\in\mathbb Z^+이 존재한다면), \mathfrak i를 '''멱영원 왼쪽 아이디얼'''(nil left ideal영어)이라고 한다.


마찬가지로, '''멱영(원) 오른쪽 아이디얼'''(nil(potent) right ideal영어) 및 '''멱영(원) 양쪽 아이디얼'''(nil(potent) two-sided ideal영어)을 정의할 수 있다.

임의의 유사환에서, 모든 멱영 아이디얼은 멱영원 아이디얼이지만, 일반적으로 그 역은 (심지어 가환환에서도) 성립하지 않을 수 있다.

3. 성질

레비츠키 정리에 따르면, 오른쪽 뇌터 환의 왼쪽 아이디얼이나 오른쪽 아이디얼에 대해 멱영 아이디얼과 멱영원 아이디얼의 조건이 서로 동치이다.

유사환 R에서, R 속의 유일한 멱영원 양쪽 아이디얼이 0일 때, R 속의 유일한 멱영원 왼쪽 아이디얼 역시 0 밖에 없다는 명제를 '''쾨테 추측'''이라고 한다. 이는 일부 (유사)환에서 증명되었으나, 일반적인 경우에는 아직 해결되지 않았다.

오른쪽 아르틴 환에서 모든 영 아이디얼은 멱영이다.[2] 이는 영 아이디얼이 환의 자콥슨 근기에 포함되며, 아르틴 환의 자콥슨 근기는 멱영 아이디얼이기 때문이다. 이 결과는 오른쪽 뇌터 환으로 일반화할 수 있으며, 이를 레비츠키 정리라고 한다.

3. 1. 멱영 아이디얼과 멱영원 아이디얼의 관계

유사환에서 모든 멱영 아이디얼은 멱영원 아이디얼이지만, 일반적으로 그 역은 성립하지 않으며, 가환환에서도 마찬가지이다. 멱영원 아이디얼과 멱영 아이디얼은 깊은 관련이 있으며, 일부 환에서는 두 개념이 일치하기도 한다. 아이디얼이 멱영이면 멱영원 아이디얼이지만, 멱영원 아이디얼이 항상 멱영인 것은 아닌데, 그 이유는 다음과 같다.[2]

  • 멱영원 아이디얼의 원소들을 0으로 만드는 지수가 항상 일정하지 않을 수 있다.
  • 각 원소가 멱영원이라고 해서 서로 다른 원소들의 곱이 반드시 0이 되는 것은 아니다.[2]


오른쪽 아르틴 환에서 멱영원 아이디얼은 항상 멱영이다.[2] 이는 멱영원 아이디얼이 환의 자콥슨 근기에 포함되고, 아르틴 환의 자콥슨 근기는 멱영 아이디얼이기 때문이다. 이 결과는 오른쪽 노에터 환으로 일반화할 수 있으며, 이를 레비츠키의 정리라고 한다.

3. 2. 레비츠키 정리

Levitsky theorem|레비츠키 정리영어에 따르면, 오른쪽 뇌터 환의 왼쪽 아이디얼 \mathfrak i\subseteq R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 멱영 왼쪽 아이디얼이다.
  • 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.


마찬가지로, 오른쪽 뇌터 환의 오른쪽 아이디얼에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 멱영 오른쪽 아이디얼이다.
  • 멱영원 오른쪽 아이디얼이다.


오른쪽 아르틴 환에서 모든 영 아이디얼은 멱영이다.[2] 이는 모든 영 아이디얼이 링의 제이콥슨 근기에 포함되어 있음을 관찰함으로써 증명되며, 제이콥슨 근기는 멱영 아이디얼이므로 (아르틴 가설로 인해) 결과가 따른다. 실제로 이것은 오른쪽 노에터 링으로 일반화할 수 있으며, 이 결과는 레비츠키 정리로 알려져 있다.

3. 3. 쾨테 추측

유사환 ''R''에 대하여, 다음 성질을 생각할 수 있다.

:(가) 만약 ''R'' 속의 유일한 멱영원 양쪽 아이디얼이 0이라면, ''R'' 속의 유일한 멱영원 왼쪽 아이디얼 역시 0 밖에 없다.

모든 유사환이 이 조건을 만족시킨다는 명제를 '''쾨테 추측'''(Köthe conjecture영어)이라고 한다. 이는 일부 종류의 (유사)환들에 대하여 증명되었으나, 일반적인 경우는 현재 미해결 문제이다.

4. 예시


  • 잉여환 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}의 아이디얼 p^i\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} (i>0)는 모두 멱영이다.
  • 2차 전행렬환 M_2(R)의 아이디얼 N=\begin{bmatrix}0 & R\\ 0 & 0\end{bmatrix}는 멱영이다.

5. 역사

쾨테 추측은 1930년에 고트프리트 쾨테Gottfried Köthede가 제시하였다.[3]

레비츠키 정리는 1939년에 야코프 레비츠키Я́ков Леви́цкий|야키우 레비치키ruיַעֲקֹב לויצקי|야아코브 레비츠키he가 증명하였으나, 제2차 세계 대전으로 인해 그 증명은 1950년에 출판되었다.[4][5]

참조

[1] 서적 Theorem 14.38
[2] 서적 Corollary 14.3
[3] 저널 Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist
[4] 저널 On multiplicative systems http://www.numdam.or[...] 2017-06-07
[5] 저널 Solution of a problem of G. Koethe


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com