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멱평균

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목차

1. 개요

멱평균은 양의 실수에 대해 정의되는 평균의 한 종류로, 지수 p를 사용하여 계산된다. p가 0이 아닌 경우, M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^로 정의되며, p=0인 경우 기하 평균과 같도록 정의된다. 가중치를 적용한 가중 멱평균도 존재하며, p=0일 때는 가중 기하 평균과 같다. 멱평균은 최솟값과 최댓값 사이의 값을 가지며, 순열 불변성, 동차성, 분할 가능성 등의 성질을 갖는다. 멱평균은 p의 값에 따라 조화 평균, 기하 평균, 산술 평균, 제곱 평균, 최댓값, 최솟값 등 다양한 특수한 경우를 나타낸다. 또한, 일반화된 평균 부등식을 만족하며, 신호 처리 및 일반화 f-평균 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

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멱평균

2. 정의

횔더 평균( Hölder mean영어)은 0이 아닌 실수 $p$에 대하여, 양의 실수 $x_1, \dots , x_n$에 대해 지수 $p$를 가지며 다음과 같이 정의된다[9]:

:M_p(x_1,\dots,x_n) := \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}

$p=0$일 때는 기하 평균(지수가 0으로 향하는 극한)으로 정의한다.

:M_0(x_1, \dots, x_n) := \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}

가중치 (양수의 집합. 단, \sum w_i = 1)에 대한 가중 횔더 평균은 다음과 같다.

:\begin{align}

M_p(x_1,\dots,x_n) &:= \left(\sum_{i=1}^n w_i x_i^p \right)^{1/p} \\

M_0(x_1,\dots,x_n) &:= \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}

\end{align}

가중치를 고려하지 않은 평균은 모든 가중치를 $1/n$으로 한 것과 같다.

2. 1. 일반적인 경우

가 0이 아닌 실수이고, x_1, \dots, x_n이 양의 실수라면, 이러한 양의 실수들의 지수 를 갖는 '''일반화 평균''' 또는 '''멱평균'''은 다음과 같다.[6][1]

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^ .

(-노름 참조). 경우, 기하 평균과 같도록 설정한다(이는 아래에서 증명된 바와 같이 지수가 0에 가까워지는 평균의 극한이다).

M_0(x_1, \dots, x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} .

또한, 양의 가중치 의 수열에 대해, '''가중 멱평균'''을 다음과 같이 정의한다.[6]

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p}{\sum_{i=1}^n w_i} \right)^

그리고 일 때, 이는 가중 기하 평균과 같다.

M_0(x_1,\dots,x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} .

가중치가 없는 평균은 모든 를 로 설정하는 것에 해당한다.

2. 2. 가중 멱평균

양의 가중치 수열에 대해, '''가중 멱평균'''은 다음과 같이 정의된다.[6]

:M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p}{\sum_{i=1}^n w_i} \right)^

p=0일 때, 이는 가중 기하 평균과 같다.

:M_0(x_1,\dots,x_n) = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} .

가중치가 없는 평균은 모든 w_i = 1로 설정하는 것에 해당한다.

3. 특수한 경우

p영어값에 따라 멱평균은 다음과 같은 특수한 평균이 된다.[2]


  • 최솟값: M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}
  • 조화 평균: M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}
  • 기하 평균: M_0(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}
  • 산술 평균: M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}
  • 제곱 평균 제곱근: M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}
  • 세제곱 평균: M_3(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}
  • 최댓값: M_{+\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}



4. 멱평균의 성질

멱평균은 다음과 같은 성질을 갖는다.[7][10]


  • 최솟값과 최댓값 사이: 멱평균은 항상 입력값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 있다.
  • 순열 불변성: 멱평균은 인수의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는다.
  • 동차성: 모든 인수에 같은 양수를 곱하면 멱평균도 같은 양수 배가 된다.
  • 분할 가능성: 멱평균은 동일한 크기의 하위 블록으로 나누어 계산할 수 있다.

4. 1. 최솟값과 최댓값 사이

:x_1, \dots, x_n은 양의 실수 수열이다.[7]

:일반화 평균은 항상 x값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 위치한다.[7][10]

::\min(x_1, \dots, x_n) \le M_p(x_1, \dots, x_n) \le \max(x_1, \dots, x_n)

4. 2. 순열 불변성

x_1, \dots, x_n이 양의 실수 수열일 때, 멱평균은 치환 연산자 P에 대해 다음과 같은 성질을 가진다.[7][10]

:M_p(x_1, \dots, x_n) = M_p(P(x_1, \dots, x_n))

이는 일반화 평균이 인수에 대한 대칭 함수이며, 인수의 순서를 바꾸어도(치환) 값이 변하지 않는다는 것을 의미한다. 즉 멱평균은 인자들의 순열에 불변하는 성질을 갖는다.

4. 3. 동차성

양의 실수 b에 대해, 다음 식이 성립한다.[7][10]

:M_p(b x_1, \dots, b x_n) = b \cdot M_p(x_1, \dots, x_n)

이는 멱평균이 동차 함수임을 의미한다. 즉, 모든 인수에 같은 양의 실수 b를 곱하면, 멱평균 값도 b배가 된다.

4. 4. 분할 가능성

준산술 평균과 마찬가지로, 평균 계산을 동일 크기의 서브 블록 계산으로 분할할 수 있다. 이렇게 하면 필요할 때 분할 정복 알고리즘을 사용하여 평균을 계산할 수 있다.[7]

:M_p(x_1, \dots, x_{n \cdot k}) = M_p\left[M_p(x_1, \dots, x_{k}), M_p(x_{k + 1}, \dots, x_{2 \cdot k}), \dots, M_p(x_{(n - 1) \cdot k + 1}, \dots, x_{n \cdot k})\right]

5. 일반화된 평균 부등식

p영어 < q영어이면,

:M_p(x_1, \dots, x_n) \le M_q(x_1, \dots, x_n)

가 성립한다. 두 평균은 일 때에만 같다.

이 부등식은 실수 p영어와 q영어의 값뿐만 아니라 양의 무한대 및 음의 무한대 값에 대해서도 참이다.

이는 모든 실수 p영어에 대해 다음이 성립한다는 사실에서 따른다.

:\frac{\partial}{\partial p}M_p(x_1, \dots, x_n) \geq 0

이는 젠센 부등식을 사용하여 증명할 수 있다.

특히 }의 p영어에 대해, 일반화된 평균 부등식은 피타고라스 평균 부등식과 산술-기하 평균 부등식을 함의한다.

6. 응용

멱평균은 신호 처리, 일반화 f-평균 등 다양한 분야에 응용된다.

=== 신호 처리 ===

멱평균은 작은 값에서는 작은 신호 값을, 큰 값에서는 큰 신호 값을 강조하는 비선형 이동 평균을 제공한다.

=== 일반화 f-평균 ===

멱평균은 일반화된 f-평균으로 일반화될 수 있다.

6. 1. 신호 처리

멱평균은 작은 값에서는 작은 신호 값 쪽으로 이동하고 큰 값에서는 큰 신호 값을 강조하는 비선형 이동 평균을 제공한다. `smooth`라는 이동 산술 평균의 효율적인 구현이 주어지면, 다음 하스켈 코드를 사용하여 이동 멱평균을 구현할 수 있다.

```haskell

powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]

powerSmooth smooth p = map ( recip p) . smooth . map (p)

```

  • 큰 값의 경우, 이는 정류된 신호에 대한 엔벨로프 검출기 역할을 할 수 있다.
  • 작은 값의 경우, 이는 질량 분석법의 베이스라인에 대한 베이스라인 검출기 역할을 할 수 있다.

6. 2. 일반화 f-평균

멱평균은 일반화된 f-평균으로 더욱 일반화될 수 있다.

: M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)

f영어(x) = log(x)로 두면 극한을 사용하지 않고 기하 평균을 나타낼 수 있으며, f영어(x) = xp로 두면 멱평균을 얻을 수 있다.[1]

참조

[1] 논문 Mean, what do you Mean? https://zenodo.org/r[...]
[2] 웹사이트 Power Mean 2019-08-17
[3] 서적 Calculus Made Easy https://books.google[...] Macmillan International Higher Education 2020-07-05
[4] 서적 Probability, Statistics and Other Frightening Stuff https://books.google[...] Routledge 2020-07-05
[5] 서적 Handbook of Means and Their Inequalities (Mathematics and Its Applications)
[6] 서적 Handbook of Means and Their Inequalities Kluwer
[7] 논문 Mathematical means and averages: basic properties
[8] 웹사이트 Power Mean 2019-08-17
[9] 서적 Handbook of Means and Their Inequalities Kluwer
[10] 서적 Mathematical means and averages: basic properties Stan’s Library: Castano Primo, Italy


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