모즐리의 법칙

3. 실험 장치

원소에서 방출되는 X선 스펙트럼은, 특히 가벼운 원소의 경우 연 X선 영역에 있어 공기에 쉽게 흡수된다.^[2] 무거운 원소의 스펙트럼 또한 연 X선 영역(공기에 흡수됨)이므로,^[10] 모즐리의 실험에서는 분광 장치를 진공 안에 설치해야 했다.^[2][10] 실험 장치에 대한 자세한 내용은 학술 논문 "원소의 고주파 스펙트럼"(The High-Frequency Spectra of the Elements^eng) 파트 I^[3][11]과 파트 II^[4][12]에 기록되어 있다.

4. 모즐리의 법칙

모즐리는 시그반 표기법에서 $K\_\backslash alpha$ 선이 원자 번호 ''Z''와 관련이 있음을 발견했다.^[4][12] 보어의 지도 아래, 모즐리는 스펙트럼 선에 대한 이 관계가 나중에 모즐리의 법칙이라고 불리는 간단한 공식으로 근사될 수 있음을 발견했다.^[4][12]

$$\backslash nu\; =\; A\; \backslash cdot\; \backslash left(Z\; -\; b\backslash right)^2$$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

• $\backslash nu$: 관찰된 X선 방출선의 주파수
• $A$와 $b$: 선의 유형(즉, X선 표기법에서 '''K''', '''L''' 등)에 따라 달라지는 상수이다.
• * $K\_\backslash alpha$ 선의 경우: $A\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot$ 리드베리 주파수이고, $b\; =\; 1$이다.^[4][12]
• * $L\_\backslash alpha$ 선의 경우: $A\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot$ 리드베리 주파수이고, $b\; =\; 7.4$이다.^[4][12]

5. 모즐리 법칙의 유도

모즐리는 원자 번호를 가로축으로, 방출되는 X선의 주파수 제곱근을 세로축으로 하여 데이터를 맞춤으로써 경험적으로 자신의 법칙을 발견했다.^[4][12] 이 경험적 법칙은 원자의 보어 모형을 통해 이론적으로 설명될 수 있다.

보어 모형에 따르면, 원자 내 전자가 높은 에너지 준위($E\_\backslash text\{i\}$, 양자수 $n\_\backslash text\{i\}$)에서 낮은 에너지 준위($E\_\backslash text\{f\}$, 양자수 $n\_\backslash text\{f\}$)로 전이할 때, 두 에너지 준위의 차이($E\_\backslash text\{i\}-E\_\backslash text\{f\}$)에 해당하는 에너지를 가진 광자(X선)가 방출된다. 이 에너지($E$)와 방출되는 X선의 주파수($\backslash nu$) 사이의 관계는 플랑크 상수($h$)를 사용하여 $E\; =\; h\backslash nu$로 표현된다. 보어 모형을 이용해 이 에너지 차이를 계산하는 식은 다음과 같다.^[4]

$$E\; =\; h\backslash nu\; =\; E\_\backslash text\{i\}-E\_\backslash text\{f\}=\backslash frac\{m\_\backslash text\{e\}\; q\_\backslash text\{e\}^2\; q\_Z^2\}\{8\; h^2\; \backslash varepsilon\_\{0\}^2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{n\_\backslash text\{f\}^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\_\backslash text\{i\}^2\}\; \backslash right)$$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

• $\backslash varepsilon\_\{0\}$: 진공의 유전율 (또는 자유 공간의 유전율)
• $m\_\backslash text\{e\}$: 전자의 질량
• $q\_\backslash text\{e\}$: 전자의 전하량
• $q\_Z$: 핵의 유효 전하. 이는 핵의 실제 전하가 아니라 다른 전자들에 의해 가려진(screened) 후 전자가 느끼는 전하를 의미하며, $(Z-b)q\_e$ 형태로 표현될 수 있다. 여기서 $Z$는 원자 번호이고, $b$는 가림 상수(screening constant)이다.
• $n\_\backslash text\{f\}$: 전자가 최종적으로 도달하는 낮은 에너지 준위의 주 양자수
• $n\_\backslash text\{i\}$: 전자가 처음에 있던 높은 에너지 준위의 주 양자수 ($n\_\backslash text\{i\}\; >\; n\_\backslash text\{f\}$여야 함)
• $h$: 플랑크 상수

5. 1. 스크리닝 효과

• $\backslash varepsilon\_\{0\}$: 진공의 유전율
• $m\_e\backslash ,$: 전자의 질량
• $q\_e\backslash ,$: 전자의 전하량
• $q\_Z\backslash ,$: 핵의 유효 전하량 (스크리닝 효과 고려)
• $n\_f\backslash ,$: 최종 에너지 준위의 주 양자수
• $n\_i\backslash ,$: 초기 에너지 준위의 주 양자수 ($n\_i\; >\; n\_f$)

6. 현대적 의의 및 응용

모즐리의 법칙에서 핵의 유효 전하가 실제 전하보다 1만큼 작게 나타나는 현상은 K-껍질 내 전자의 가리움 효과로 설명되기도 한다.^{[5][6][13][14]} 다만, 이러한 스크리닝 해석에 대한 비판적인 논의도 존재하며, 휘태커(Whitaker)의 논문^[7][15] 등 여러 현대 문헌에서 다루어지고 있다.

실험적으로 측정된 X선 전이 에너지 목록은 미국 국립표준기술연구소(NIST)에서 제공하고 있다.^[8][16] 현대에는 상대론적 효과를 고려한 하트리-포크 방법의 일종인 디랙-포크 방법(Dirac-Fock method)과 같은 정교한 계산 모델을 사용하여^[17] 모즐리의 법칙보다 훨씬 높은 정확도로 이론적인 X선 전이 에너지를 계산한다.

참조

_[1] 서적 The historical development of quantum theory Springer-Verlag
_[2] 서적 X Rays and Crystal Structure https://archive.org/[...] G. Bell and Sons, Ltd.
_[3] 학술지 The High-Frequency Spectra of the Elements https://archive.org/[...] London : Taylor & Francis
_[4] 학술지 The High-Frequency Spectra of the Elements. Part II. https://archive.org/[...]
_[5] 학술지 The physical (in)significance of Moseley's screening parameter
_[6] 학술지 Reinterpretation of Moseley's experiments relating K alpha line frequencies and atomic number
_[7] 학술지 The Bohr–Moseley synthesis and a simple model for atomic X-ray energies
_[8] 웹사이트 NIST X-ray Transition Energies Database https://www.nist.gov[...]
_[9] 서적 The historical development of quantum theory Springer-Verlag
_[10] 서적 X Rays and Crystal Structure https://archive.org/[...] G. Bell and Sons, Ltd.
_[11] 학술지 The High-Frequency Spectra of the Elements https://archive.org/[...] London : Taylor & Francis
_[12] 학술지 The High-Frequency Spectra of the Elements. Part II. https://archive.org/[...]
_[13] 학술지 The physical (in)significance of Moseley's screening parameter
_[14] 학술지 Reinterpretation of Moseley's experiments relating K alpha line frequencies and atomic number
_[15] 학술지 The Bohr–Moseley synthesis and a simple model for atomic x-ray energies
_[16] 웹사이트 X-ray Transition Energies Database https://physics.nist[...] 2020-03
_[17] 웹사이트 Theoretical Transition Energies https://physics.nist[...] 2020-03
_[18] 서적 The historical development of quantum theory