몰바이데 공식

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1. 개요
2. 몰바이데 공식
3. 증명
4. 다른 삼각 항등식과의 관계
5. 삼각형의 결정 조건
6. 구면 삼각법에서의 활용
7. 원내 사변형으로의 일반화
참조

1. 개요

몰바이데 공식은 평면 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타내는 삼각 함수 공식이다. 이 공식은 사인 법칙과 삼각 함수의 합과 곱을 변환하는 공식을 이용하여 증명할 수 있으며, 다른 삼각 항등식과의 관계를 통해 다양한 형태로 표현될 수 있다. 몰바이데 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증하는 데 활용되며, 구면 삼각법과 원내 사변형으로 일반화하여 적용할 수 있다.

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몰바이데 공식
공식 정보
몰바이데 공식에 사용되는 삼각형
유형
분야	삼각법
설명	삼각형의 변과 각도 사이의 관계
공식
공식 1	(a + b) / c = sin((α + β) / 2) / cos(γ / 2)
공식 2	(a - b) / c = sin((α - β) / 2) / sin(γ / 2)
관련 인물
관련 인물	카를 몰바이데
기타
다른 이름	몰바이데의 공식, 몰바이데의 정리, 몰바이데의 방정식
독일어	Mollweidesche Formeln

2. 몰바이데 공식

3. 증명

첫 번째 식만 증명한다. 사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식을 이용하면 다음과 같다.

: $\frac{A+B}{C}=\frac{\sin a + \sin b}{\sin c}=\frac{\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\sin\frac{\pi-c}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)}$

으로 원하는 결론을 얻는다.

4. 다른 삼각 항등식과의 관계

평면 삼각형에서 $\tfrac12\gamma = \tfrac12\pi - \tfrac12(\alpha + \beta)$ 이므로, 몰바이데 공식은 구면 삼각형에 대한 네이피어의 유사점의 극한 형태임을 더 명확하게 나타내는 형태로 번갈아 작성할 수 있다.

: $\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{\cos\tfrac12(\alpha - \beta)}{\cos\tfrac12(\alpha + \beta)}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\sin\tfrac12(\alpha - \beta)}{\sin\tfrac12(\alpha + \beta)}.\end{align}$

위 두 식을 나누어 $c$ 를 제거하면 탄젠트 법칙을 얻는다.

: $\begin{align}\frac{a + b}{a - b}= \frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\tan\tfrac12(\alpha - \beta)}.\end{align}$

몰바이데 공식은 반각 탄젠트만으로 표현할 수도 있다.

: $\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{1 + \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{\tan\tfrac12\alpha + \tan\tfrac12\beta},\end{align}$

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\begin{align}\tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta&= \frac{a + b - c}{a + b + c}, \\[10mu]\frac{\tan\tfrac12\alpha}{\tan\tfrac12\beta}&= \frac{\phantom{-}a - b + c}{-a + b + c}.\end{align}$

이 항등식의 각 변을 곱하면 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트를 얻을 수 있다.

: $\bigl({\tan\tfrac12\alpha}\bigr)^2= \frac{(a + b - c)(a - b + c)}{(a + b + c)(-a + b + c)}.$

이 식에 제곱근을 취하면 코탄젠트 법칙이 된다.

: $\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},$

여기서 $s = \tfrac12(a + b + c)$ 는 반둘레이다.

또한 이 항등식은 사인 법칙과 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

4. 1. 네이피어의 유사점

평면 삼각형에서

\tfrac12\gamma = \tfrac12\pi - \tfrac12(\alpha + \beta)

이므로, 이러한 항등식은 구면 삼각형에 대한 네이피어의 유사점의 극한 형태임을 더 명확하게 나타내는 형태로 번갈아 작성할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{\cos\tfrac12(\alpha - \beta)}{\cos\tfrac12(\alpha + \beta)}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\sin\tfrac12(\alpha - \beta)}{\sin\tfrac12(\alpha + \beta)}.\end{align}

하나를 다른 것으로 나누어

c

를 제거하면 탄젠트 법칙이 된다.

:

\begin{align}\frac{a + b}{a - b}= \frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\tan\tfrac12(\alpha - \beta)}.\end{align}

반각 탄젠트만으로 몰바이데 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{1 + \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{\tan\tfrac12\alpha + \tan\tfrac12\beta},\end{align}

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta&= \frac{a + b - c}{a + b + c}, \\[10mu]\frac{\tan\tfrac12\alpha}{\tan\tfrac12\beta}&= \frac{\phantom{-}a - b + c}{-a + b + c}.\end{align}

이 항등식의 각 변을 곱하면 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트가 제공된다.

:

\bigl({\tan\tfrac12\alpha}\bigr)^2= \frac{(a + b - c)(a - b + c)}{(a + b + c)(-a + b + c)}.

이것은 제곱근을 취한 후 코탄젠트 법칙이 된다.

:

\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},

여기서

s = \tfrac12(a + b + c)

는 반둘레이다.

또한 이 항등식은 사인 법칙과 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

4. 2. 탄젠트 법칙

평면 삼각형에서

\tfrac12\gamma = \tfrac12\pi - \tfrac12(\alpha + \beta)

이므로, 몰바이데 공식은 구면 삼각형에 대한 네이피어의 유사점의 극한 형태임을 보여주는 다음 형태로 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{\cos\tfrac12(\alpha - \beta)}{\cos\tfrac12(\alpha + \beta)}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\sin\tfrac12(\alpha - \beta)}{\sin\tfrac12(\alpha + \beta)}.\end{align}

위 두 식을 나누어

c

를 제거하면 탄젠트 법칙을 얻는다.

:

\begin{align}\frac{a + b}{a - b}= \frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\tan\tfrac12(\alpha - \beta)}.\end{align}

몰바이데 공식은 반각 탄젠트만으로 표현할 수도 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{1 + \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{\tan\tfrac12\alpha + \tan\tfrac12\beta},\end{align}

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta&= \frac{a + b - c}{a + b + c}, \\[10mu]\frac{\tan\tfrac12\alpha}{\tan\tfrac12\beta}&= \frac{\phantom{-}a - b + c}{-a + b + c}.\end{align}

이 항등식의 각 변을 곱하면 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트를 얻을 수 있다.

:

\bigl({\tan\tfrac12\alpha}\bigr)^2= \frac{(a + b - c)(a - b + c)}{(a + b + c)(-a + b + c)}.

이 식에 제곱근을 취하면 코탄젠트 법칙이 된다.

:

\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},

여기서

s = \tfrac12(a + b + c)

는 반둘레이다.

몰바이데 공식은 사인 법칙 및 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

4. 3. 반각 공식

몰바이데 공식은 반각 탄젠트를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{1 + \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{\tan\tfrac12\alpha + \tan\tfrac12\beta},\end{align}

또는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta&= \frac{a + b - c}{a + b + c}, \\[10mu]\frac{\tan\tfrac12\alpha}{\tan\tfrac12\beta}&= \frac{\phantom{-}a - b + c}{-a + b + c}.\end{align}

이 항등식의 각 변을 곱하면 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트가 제공된다.

:

\bigl({\tan\tfrac12\alpha}\bigr)^2= \frac{(a + b - c)(a - b + c)}{(a + b + c)(-a + b + c)}.

이것은 제곱근을 취한 후 코탄젠트 법칙이 된다.

:

\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},

여기서

s = \tfrac12(a + b + c)

는 반둘레이다.

또한 이 항등식은 사인 법칙과 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

4. 4. 코탄젠트 법칙

평면 삼각형에서

\tfrac12\gamma = \tfrac12\pi - \tfrac12(\alpha + \beta)

이므로, 몰바이데 공식은 구면 삼각형에 대한 네이피어의 유사점의 극한 형태임을 더 명확하게 나타내는 형태로 표현할 수 있다. 몰바이데 공식에서 하나를 다른 것으로 나누어

c

를 제거하면 탄젠트 법칙을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b}{a - b}= \frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\tan\tfrac12(\alpha - \beta)}.\end{align}

몰바이데 공식을 반각 탄젠트만으로 표현할 수 있으며, 이를 통해 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트를 제공하는 항등식을 얻을 수 있다. 이 식에서 제곱근을 취하면 코탄젠트 법칙이 된다.

:

\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},

여기서

s = \tfrac12(a + b + c)

는 반둘레이다.

이 항등식은 사인 법칙과 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

4. 5. 사인 법칙 및 코사인 법칙

사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식을 이용하면 첫 번째 식을 증명할 수 있다.

:

\frac{A+B}{C}=\frac{\sin a + \sin b}{\sin c}=\frac{\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\sin\frac{\pi-c}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)}

평면 삼각형에서

\tfrac12\gamma = \tfrac12\pi - \tfrac12(\alpha + \beta)

이므로, 이러한 항등식은 구면 삼각형에 대한 네이피어의 유사점의 극한 형태임을 더 명확하게 나타내는 형태로 번갈아 작성할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{\cos\tfrac12(\alpha - \beta)}{\cos\tfrac12(\alpha + \beta)}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\sin\tfrac12(\alpha - \beta)}{\sin\tfrac12(\alpha + \beta)}.\end{align}

하나를 다른 것으로 나누어

c

를 제거하면 탄젠트 법칙이 된다.

:

\begin{align}\frac{a + b}{a - b}= \frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\tan\tfrac12(\alpha - \beta)}.\end{align}

반각 탄젠트만으로 몰바이데 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a + b} c&= \frac{1 + \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta}, \\[10mu]\frac{a - b} c&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{\tan\tfrac12\alpha + \tan\tfrac12\beta},\end{align}

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\tan\tfrac12\alpha\,\tan\tfrac12\beta&= \frac{a + b - c}{a + b + c}, \\[10mu]\frac{\tan\tfrac12\alpha}{\tan\tfrac12\beta}&= \frac{\phantom{-}a - b + c}{-a + b + c}.\end{align}

이 항등식의 각 변을 곱하면 세 변에 대한 하나의 반각 탄젠트가 제공된다.

:

\bigl({\tan\tfrac12\alpha}\bigr)^2= \frac{(a + b - c)(a - b + c)}{(a + b + c)(-a + b + c)}.

이것은 제곱근을 취한 후 코탄젠트 법칙이 된다.

:

\frac{\cot\tfrac12\alpha}{s - a}= \frac{\cot\tfrac12\beta}{s - b}= \frac{\cot\tfrac12\gamma}{s - c}= \sqrt{\frac{s\vphantom{)}}{(s - c)(s - b)(s - a)}},

여기서

s = \tfrac12(a + b + c)

는 반둘레이다.

또한 이 항등식은 사인 법칙과 코사인 법칙과 동등함을 증명할 수 있다.

5. 삼각형의 결정 조건

몰바이데 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증할 때 자주 이용된다. 먼저 A + B > C를 몰바이데 공식에 의해 풀어 쓰면,

: $\cos{\frac{a - b}{2}} > \sin{\frac{c}{2}} = \cos{\frac{a + b}{2}}$

이고, 양 변을 전개하면,

: $2\sin{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0$

이 되는데, 이는 삼각형에서 사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다. 또 A - B < C를 몰바이데 공식에 의해 풀어 쓰면,

: $\sin{\frac{a - b}{2}} < \cos{\frac{c}{2}} = \sin{\frac{a + b}{2}}$

인데 양 변을 전개하면,

: $2\cos{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0$

이고, 이는 삼각형에서 사인과 코사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다.

6. 구면 삼각법에서의 활용

구면 삼각법에서, 코사인 법칙과 네이피어의 유사점과 같은 파생된 항등식은 변을 측정하는 중심각과 꼭짓점의 이면각을 교환하는 정확한 쌍대성을 갖는다. 무한소 극한에서 변에 대한 코사인 법칙은 평면 코사인 법칙으로 축소되고 네이피어의 유사점 중 두 개는 몰바이데 공식으로 축소된다. 그러나 각도에 대한 코사인 법칙은 0 = 0 으로 퇴화한다. 변 길이의 제곱을 구면 초과 ''E''로 나누면, 0이 아닌 비율, 즉 구면 삼각법 관계를 얻는다.

: $\begin{align}\frac{\tan^2\tfrac12c}{\tan\tfrac12E}= \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\,\sin\beta}.\end{align}$

무한소 극한에서, 구면 변의 반각 탄젠트가 평면 변의 길이로 축소됨에 따라, 구면 초과의 반각 탄젠트는 평면 삼각형의 넓이 ''A''의 두 배로 축소되므로, 평면에서는 다음과 같다.

: $\frac{c^2}{2A} = \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\,\sin\beta},$

마찬가지로 ''a''와 ''b''에 대해서도 적용된다.

결과로서 (위의 공식을 ''a''와 ''b''에 대해 곱하거나 나눔으로써) 몰바이데 공식에 대한 두 개의 쌍대 명제를 얻는다. 첫 번째는 두 변과 끼인 각도로 넓이를 표현하고, 다른 하나는 사인 법칙이다.

: $\frac{ab}{2A} = \frac{1}{\sin\gamma},$

: $\frac{a}{b} = \frac {\sin\alpha}{\sin\beta}.$

두 번째 공식을 몰바이데 공식 중 하나에 더 가까운 형태로 번갈아 표현할 수 있다 (다시 탄젠트 법칙).

: $\frac{\tan\tfrac12(\alpha + \beta)}{\cot\tfrac12\gamma} = \frac{a - b}{a + b}.$

7. 원내 사변형으로의 일반화

몰바이데 공식의 일반화는 원내 사변형

\square ABCD

에 대해 성립한다.^[5] 변의 길이를

|AB| = a,

|BC| = b,

|CD| = c,

및

|DA| = d

로 나타내고, 각의 크기를

\angle{DAB} = \alpha,

\angle{ABC} = \beta,

\angle{BCD} = \gamma,

및

\angle{CDA} = \delta

로 나타낸다. 만약

E

가 대각선의 교점이라면,

\angle{CED} = \theta

로 나타낸다. 그러면:

:

\begin{align}\frac{a+c}{b+d}&= \frac{\sin\tfrac12(\alpha+\beta)}{\cos\tfrac12(\gamma-\delta)}\tan\tfrac12\theta, \\[10mu]\frac{a-c}{b-d}&= \frac{\cos\tfrac12(\alpha+\beta)}{\sin\tfrac12(\delta-\gamma)}\cot\tfrac12\theta.\end{align}

원내 사변형의 항등식을 기반으로 대체하여 여러 변형 공식을 구성할 수 있다.

:

\begin{align}\sin\tfrac12(\alpha+\beta) = \phantom-\cos\tfrac12(\beta-\gamma)= \phantom-\sin\tfrac12(\gamma+\delta) = \cos\tfrac12(\delta-\alpha), \\[3mu]\cos\tfrac12(\alpha+\beta) = -\sin\tfrac12(\beta-\gamma)= -\cos\tfrac12(\gamma+\delta) = \sin\tfrac12(\delta-\alpha).\end{align}

두 인접한 각도의 반각 탄젠트 측면에서 유리식 관계로서, 이 공식들은 다음과 같이 작성할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{a+c}{b+d}&= \frac{\tan\tfrac12\alpha +  \tan\tfrac12\beta}{1 + \tan\tfrac12\alpha\, \tan\tfrac12\beta}\tan\tfrac12\theta, \\[10mu]\frac{b-d}{a-c}&= \frac{\tan\tfrac12\alpha - \tan\tfrac12\beta}{1 - \tan\tfrac12\alpha\, \tan\tfrac12\beta}\tan\tfrac12\theta.\end{align}

삼각형은 길이가 0인 한 변을 가진 사변형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서

d

가 0에 가까워짐에 따라, 원내 사변형은 삼각형

\triangle A'B'C'

로 수렴하고, 위의 공식은 유사한 삼각형 공식으로 단순화된다. 삼각형에 대한 규칙에 맞게 다시 레이블을 지정하면, 극한에서

a' = b,

b' = c,

c' = a,

\alpha' = \alpha + \delta - \pi = \pi - \theta,

\beta' = \beta,

및

\gamma' = \gamma

가 된다.

참조

_[1] 서적 Plane Trigonometry and Applications Allyn and Bacon
_[2] 서적 Trigonometry Dellen
_[3] 간행물 Discussions: Geometric Proofs of the Law of Tangents
_[4] 서적 Plane Trigonometry and Applications Allyn and Bacon
_[5] 간행물 A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's) http://matinf.upit.r[...] 2023-12-29

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