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바르비에의 정리

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목차

1. 개요

바르비에의 정리는 폭이 같은 모든 정폭 도형의 둘레가 동일하다는 기하학적 정리이다. 구체적으로, 폭이 w인 모든 정폭 도형의 둘레는 πw이다. 이 정리는 원, 뢸로 삼각형과 같은 도형의 둘레를 계산하는 데 사용될 수 있으며, 민코프스키 합, 크로프톤 공식, 뷔퐁의 국수 문제와 관련된 확률론적 증명을 통해 증명할 수 있다. 3차원 이상에서는 정폭 도형에 대한 바르비에의 정리의 유사성은 성립하지 않지만, 정광 도형으로 일반화할 수 있다.

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바르비에의 정리
개요
이름바르비에의 정리
분야기하학
설명일정한 너비를 갖는 모든 곡선은 동일한 둘레를 가짐.
관련 개념일정 너비 곡선
증명푸리에 급수 또는 코시-크로프턴 공식을 사용하여 증명 가능.
역사
이름 유래프랑스 수학자 에밀 바르비에
발표 년도1860년
관련 연구바르비에의 정리는 침 문제와 덮개 문제 연구에 활용됨.

2. 예시

가장 잘 알려진 정폭 곡선의 예시로는 원과 뢰로 삼각형이 있다. 폭이 ''w''인 원의 둘레는 지름(폭)에 원주율 π를 곱한 π''w''이다. 마찬가지로 폭이 ''w''인 뢰로 삼각형이나 다른 뢰로 다각형 역시 둘레가 π''w''가 되어 바르비에의 정리를 만족한다.

2. 1. 원

가장 잘 알려진 정폭 곡선의 예시 중 하나는 원이다. 원의 경우 폭은 지름과 같으며, 폭이 ''w''인 원은 둘레가 π''w''이다.

2. 2. 뢸로 삼각형

가장 잘 알려진 정폭 곡선의 예로는 원과 뢰로 삼각형이 있다. 폭이 ''w''인 뢰로 삼각형은 호 3개로 이루어져 있으며, 각 호는 반지름이 ''w''인 원의 일부이다. 이들 각 호는 중심각이 π/3이므로, 폭이 ''w''인 뢰로 삼각형의 둘레는 반지름이 ''w''인 원의 둘레의 절반과 같으며, 따라서 π''w''와 같다. 뢰로 다각형과 같은 다른 간단한 예에 대한 유사한 분석은 동일한 답을 제공한다.

2. 3. 기타 뢸로 다각형

뢰로 삼각형과 마찬가지로, 뢰로 다각형과 같은 다른 간단한 정폭 곡선에 대해서도 유사한 분석을 통해 둘레를 구할 수 있다. 폭이 ''w''인 뢰로 삼각형은 반지름 ''w''인 원의 호 3개로 구성되며, 각 호의 중심각은 π/3이다. 이를 통해 둘레가 π''w''임을 계산할 수 있는데, 다른 뢰로 다각형 역시 같은 방식으로 분석하면 폭 ''w''에 대해 둘레가 π''w''가 된다는 동일한 결과를 얻는다.

3. 증명

바르비에의 정리는 여러 방법으로 증명될 수 있다. 민코프스키 합의 성질을 이용하면, 너비가 ''w''로 일정한 도형 ''K''와 이를 180° 회전시킨 도형의 민코프스키 합이 반지름 ''w''인 원판이 됨을 통해 둘레가 π''w''임을 보일 수 있다.[3] 또한, 적분 기하학의 크로프톤 공식을 적용하면, 너비가 같은 두 곡선은 동일한 측도의 선들과 교차하므로 길이가 같다는 결론에 도달한다. 역사적으로 크로프톤 공식은 바르비에의 정리보다 나중에 독립적으로 유도되었다.[4] 기본적인 확률론적 증명은 뷔퐁의 국수 문제와 관련하여 찾아볼 수 있다.

3. 1. 민코프스키 합을 이용한 증명

바르비에의 정리의 한 가지 증명은 민코프스키 합의 성질을 이용한다. 폭이 ''w''로 일정한 도형 ''K''가 있다고 가정하자. 이때 ''K''와 ''K''를 180° 회전시킨 도형의 민코프스키 합은 반지름이 ''w''이고 둘레가 2π''w''인 원판이 된다. 민코프스키 합은 볼록 도형의 둘레 길이에 대해 선형적으로 작용하는 성질이 있다. 따라서 ''K''의 둘레 길이는 이 원판 둘레 길이의 절반인 π''w''가 된다.[3]

3. 2. 크로프톤 공식을 이용한 증명

이 정리는 적분 기하학의 크로프톤 공식을 이용해서 증명할 수도 있다. 크로프톤 공식에 따르면, 어떤 곡선의 길이는 그 곡선과 교차하는 직선들의 집합의 측도에 교차 횟수를 곱한 값과 같다. 너비가 같은 두 곡선은 동일한 측도를 가지는 직선들의 집합과 교차하게 되므로, 두 곡선의 길이는 같을 수밖에 없다. 역사적으로 크로프톤은 바르비에의 정리보다 나중에 독립적으로 자신의 공식을 유도했다.[4]

3. 3. 확률론적 증명

이 정리의 기본적인 확률론적 증명은 뷔퐁의 국수에서 찾아볼 수 있다.

4. 고차원 확장

바르비에의 정리는 3차원의 정폭도형에는 그대로 적용되지 않는다. 예를 들어, 같은 폭을 가진 구와 뢸로 삼각형의 회전체는 겉넓이가 다르다.[5] 그러나 이 정리는 특정 조건 하에서 더 높은 차원으로 확장될 수 있다. 3차원에서는 모든 방향에서 본 그림자의 넓이가 같은 정광도형으로 일반화되며, 더 높은 차원에서도 유사한 조건 하에 일반화가 가능하다.[6]

4. 1. 3차원에서의 한계

바르비에의 정리는 정폭도형에 대해 3차원으로 그대로 일반화되지 않는다. 예를 들어, 단위 구는 표면적이 4\pi\approx 12.566이지만, 같은 정폭을 가진 뢸로 삼각형의 회전 표면은 표면적이 8\pi-\tfrac{4}{3}\pi^2\approx 11.973으로 다르다.[5]

대신, 바르비에의 정리는 정광도형으로 일반화될 수 있다. 정광 도형은 모든 방향에서 바라본 2차원 그림자(투영)의 넓이가 같은 3차원 볼록한 입체도형을 말한다. 이러한 도형들은 모두 같은 넓이의 그림자를 만드는 구와 동일한 겉넓이(표면적)를 가진다.

더 일반적으로, S가 \R^{n} 공간의 볼록한 부분 집합이고, 모든 (''n''−1)차원 방향으로의 그림자(투영)가 \R^{n-1} 공간에서의 단위 공(단면)과 같은 넓이를 가질 경우, S의 겉넓이(표면적)는 \R^{n} 공간에서의 단위 구의 겉넓이와 같다. 이는 크로프톤 공식의 일반적인 형태로부터 알 수 있다.[6]

4. 2. 정광 도형으로의 일반화

바르비에의 정리는 모든 2차원 투영이 동일한 면적을 갖는 3차원 볼록 집합인 정광도형으로 일반화된다. 이들은 모두 동일한 투영 면적을 가진 구와 동일한 표면적을 갖는다.

그리고 일반적으로, S가 \mathbb{R}^{n}의 볼록 부분 집합이고, 모든 (''n''−1)차원 투영이 \mathbb{R}^{n-1}의 단위 공의 면적을 갖는 경우, S의 표면적은 \mathbb{R}^{n}의 단위 구의 표면적과 같다. 이는 크로프톤 공식의 일반적인 형태에서 따른다.[6]

4. 3. n차원에서의 일반화

바르비에의 정리는 모든 2차원 투영이 동일한 면적을 갖는 3차원 볼록 집합인 정광도형으로 일반화될 수 있다. 이러한 정광 도형들은 모두 동일한 투영 면적을 가진 구와 동일한 표면적을 갖는다.

더 나아가, S가 \R^{n}의 볼록 부분 집합이고, 모든 (''n''−1)차원 투영이 \R^{n-1}의 단위 공 면적과 같다면, S의 표면적은 \R^{n}의 단위 구 표면적과 같다. 이는 크로프톤 공식의 일반적인 형태로부터 유도될 수 있다.[6]

참조

[1] 서적 Convex Sets and Their Applications https://books.google[...] Dover
[2] 간행물 Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert http://portail.mathd[...]
[3] 웹사이트 The Theorem of Barbier (Java) http://www.cut-the-k[...]
[4] 논문 On a funicular solution of Buffon's "problem of the needle" in its most general form https://zenodo.org/r[...]
[5] 논문 Semidefinite programming for optimizing convex bodies under width constraints http://hal.archives-[...]
[6] 서적 Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications Birkhäuser


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