베주 정역

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 베주 정역 위의 가군
참조

1. 개요

베주 정역은 환 R에 대해, 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼이 주 아이디얼이거나 두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼인 왼쪽 베주 환과, 그에 상응하는 오른쪽 베주 환의 개념을 가환환으로 확장한 것이다. 베주 정역은 최대공약수 정역이자 프뤼퍼 정역이며, 주 아이디얼 정역, 유일 인수 분해 정역, 뇌터 환 등의 조건을 만족하면 주 아이디얼 정역과 동치가 된다. 베주 정역은 평가 환, 주 아이디얼 정역 등이 있으며, 베주 정역 위의 유한 생성 가군이 평탄 가군일 필요충분조건은 꼬임 없는 가군인 것이다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

베주 정역
정의
설명	정역 R의 모든 유한 생성 아이디얼이 주 아이디얼인 경우, R을 베주 정역이라고 한다.
예시
예시	주 아이디얼 정역(PID) 대수적으로 닫힌 체 정수환 ℤ 다항식환 F[x] (F는 체) 폰 노이만 정칙환
성질
나눗셈환	베주 정역은 나눗셈환이 아니다.
같이 보기
관련 개념	GCD 정역 (GCD domain) 유일 인수 분해 정역 (Unique factorization domain, UFD) 정수적으로 닫힌 정역 (Integrally closed domain) 프뤼퍼 정역 (Prüfer domain) 준유전환 (Semihereditary ring)
참고 문헌
참고 문헌	(영어) T.W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73, Springer-Verlag, 1980, p. 171.
외부 링크
MathWorld	MathWorld - Bézout Domain

2. 정의

환 $R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''왼쪽 베주 환'''(left Bézout ring^영어)이라고 한다.

모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 주 아이디얼이다.
두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼이다. 즉, 임의의 두 원소 $r,s\in R$ 에 대하여, $Rr+Rs=Rt$ 가 되는 $t\in R$ 가 존재한다.

마찬가지로, '''오른쪽 베주 환'''(right Bézout ring^영어)을 정의할 수 있다. 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

정역

D

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 '''베주 정역'''이라고 한다.

왼쪽 베주 환이다.
오른쪽 베주 환이다.
(베주 항등식) 임의의 $a,b\in D$ 에 대하여, 최대공약수 $\gcd\{a,b\}\in D$ 가 존재하며, 또한 $\gcd\{a,b\}=ac+bd$ 인 $c,d\in D$ 가 존재한다.
모든 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak p}$ 가 값매김환이다.
모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak m}$ 이 값매김환이다.

3. 성질

베주 정역은 최대공약수 정역(GCD 정역)이자 프뤼퍼 정역이다.^[4]

두 원소가 그것들의 선형 결합인 최대공약원을 갖는 정역과 동치이다. 이는 두 원소로 생성된 아이디얼이 단 하나의 원소로도 생성할 수 있다는 것과 동치이며, 귀납법에 의해 모든 유한 생성 아이디얼은 단항 아이디얼임을 알 수 있다. 주 아이디얼 정역의 두 원소의 최대공약원의 선형 결합으로서의 표현은 종종 베주의 등식이라고 불린다.

임의의 2원소에 대해 최대공약수가 존재하는 정역은 GCD 정역이라고 불리며, 따라서 베주 정역은 GCD 정역이다. 베주 정역에서 기약원은 소원이다.

베주 정역 ''R''에 대해, 다음 조건은 모두 동치이다.

''R''는 주 아이디얼 정역이다.
''R''은 뇌터 환이다.
''R''은 유일 인수 분해 정역이다.
''R''은 주 아이디얼에 대한 오름차순 조건을 만족한다.
''R''의 모든 영이 아닌 비단위원은 기약 원소의 곱으로 인수 분해된다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

주 아이디얼 정역이다.
베주 정역이며 유일 인수 분해 정역이다.
베주 정역이며 뇌터 환이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

베주 정역이자 국소환이다.
값매김환이다.

오른쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 왼쪽 가군의 개념은 평탄 왼쪽 가군과 일치한다.^[4] 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 오른쪽 가군의 개념은 평탄 오른쪽 가군과 일치한다.

오른쪽 베주 정역은 오른쪽 오어 정역이다. 오른쪽 베주 정역은 또한 오른쪽 반상속 환이다.

4. 예

모든 주 아이디얼 정역(PID)은 베주 정역이다.^[2]
주 아이디얼 정역이 아닌 베주 정역의 예시로는 정함수(전 복소 평면에서 정칙인 함수)의 환과 모든 대수적 정수의 환이 있다.^[2] 정함수의 경우, 기약원은 차수 1의 다항식에 동반하는 함수뿐이므로, 원소의 분해는 유한 개의 영점을 가질 경우로 제한된다. 대수적 정수의 경우, 기약원이 전혀 존재하지 않는데, 이는 임의의 대수적 정수에 대해 그 제곱근이 또 다른 대수적 정수이기 때문이다. 따라서 두 경우 모두 환이 유일 인수 분해 정역(UFD)가 아니므로 PID가 아님을 보여준다.^[2]
평가 환은 베주 정역이다. 모든 비-뇌터 평가 환은 비-뇌터 베주 정역의 예시이다.^[2]
필드가 아닌 임의의 베주 정역 ''R''로부터 UFD가 아닌 베주 정역 ''S''를 만드는 일반적인 구성은 다음과 같다. (예: PID). ''R'' = '''Z''' 인 경우가 기본적인 예시이다. ''F''를 ''R''의 분수체로 하고, ''S'' = ''R'' + ''XF''[''X''] 로 둔다. 이는 상수항이 ''R''에 속하는 ''F''[''X''] 다항식의 부분환이다. 이 환은 뇌터 환이 아닌데, 상수항이 0인 ''X''와 같은 원소는 ''R''의 비가역원(이는 ''S''에서도 비가역원이다)에 의해 계속해서 나뉠 수 있기 때문이다. 이러한 몫들로 생성된 아이디얼은 유한 생성되지 않으므로 ''X''는 ''S''에서 분해를 갖지 않는다. 다음은 ''S''가 베주 정역임을 증명하는 과정이다.

# ''S''의 임의의 원소 쌍 ''a'', ''b''에 대해, ''as'' + ''bt'' 가 ''a''와 ''b''를 모두 나누는 ''S''의 원소 ''s'', ''t''가 존재함을 증명하면 충분하다.

# ''a''와 ''b''가 공통 약원 ''d''를 가지면, 동일한 ''s'', ''t''가 ''a''/''d''와 ''b''/''d'' 에도 적용되므로, ''a''/''d''와 ''b''/''d''에 대해 증명하면 충분하다.

# 다항식 ''a''와 ''b''는 0이 아니라고 가정할 수 있다. 둘 다 상수항이 0이면, 적어도 하나가 0이 아닌 ''X''^''n'' 계수를 갖는 최소 지수 ''n''을 찾는다. 그러면 ''f'' ∈ ''F'' 이고 ''fX''^''n'' 가 ''a''와 ''b''의 공통 약수임을 확인하고, 이로 나눌 수 있다.

# 따라서 ''a''와 ''b'' 중 적어도 하나는 0이 아닌 상수항을 가진다고 가정할 수 있다. ''F''[''X'']의 원소로서 ''a''와 ''b''가 서로 소가 아니라면, 이 UFD에서 상수항이 1이고 ''S''에 속하는 ''a''와 ''b''의 최대 공약원이 존재한다. 이 인수로 나눌 수 있다.

# 따라서 ''a''와 ''b''는 ''F''[''X'']에서 서로 소라고 가정할 수 있다. 그러면 1은 ''aF''[''X''] + ''bF''[''X''] 에 속하고, ''R''의 어떤 상수 다항식 ''r''은 ''aS'' + ''bS'' 에 속한다. 또한, ''R''이 베주 정역이므로, 상수항 ''a''₀ 과 ''b''₀ 의 ''R'' 에서의 최대공약수 ''d''는 ''a''₀''R'' + ''b''₀''R'' 에 속한다. ''a'' - ''a''₀ 또는 ''b'' - ''b''₀ 와 같이 상수항이 없는 원소는 임의의 0이 아닌 상수로 나누어 떨어지므로, 상수 ''d''는 ''S''에서 ''a''와 ''b''의 공통 인수이다. ''d''가 ''aS'' + ''bS'' 에 속한다는 것을 보임으로써 ''d''가 실제로 최대 공약원임을 증명할 수 있다. ''a''와 ''b''를 각각 ''a''₀ 과 ''b''₀ 에 대한 ''d''의 베주 계수로 곱하면 상수항이 ''d''인 ''aS'' + ''bS'' 의 다항식 ''p''를 얻는다. 그러면 ''p'' - ''d'' 는 상수항이 0이므로 ''S''에서 상수 다항식 ''r''의 배수이고, 따라서 ''aS'' + ''bS'' 에 속한다. 그러면 ''d'' 또한 ''aS'' + ''bS''에 속하므로 증명이 완료된다.^[2]

5. 베주 정역 위의 가군

베주 정역 R과 R 위의 유한 생성 가군 M에 대해, M이 평탄 가군일 필요충분조건은 비틀림이 없는 가군인 것이다.^[1]

참조

_[1] 서적
_[2] 문서 Cohn
_[3] 서적
_[4] 저널 A foundation of torsion theory for modules over general rings http://projecteuclid[...] 1960
_[5] 서적 Lectures on modules and rings Springer

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