변분법의 기본 보조정리

3. 두 함수에 대한 버전

(a, b) 구간에서 연속 함수 쌍 f, g가 다음 등식을 만족하면,

:$\backslash int\_a^b\; (\; f(x)\; \backslash ,\; h(x)\; +\; g(x)\; \backslash ,\; h\text{'}(x)\; )\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; 0$

(a, b)에서 모든 콤팩트 지지된 매끄러운 함수 h에 대해 g는 미분 가능하고, 모든 곳에서 g' = f이다.^[1]

g = 0인 특수한 경우는 기본 버전과 같다.^[1]

f = 0인 특수한 경우는 다음과 같다(종종 충분함).^[1]

(a, b) 구간에서 연속 함수 g가 다음 등식을 만족하면

:$\backslash int\_a^b\; g(x)\; \backslash ,\; h\text{'}(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; 0$

$h(a)=h(b)=0$인 (a, b)의 모든 매끄러운 함수 h에 대해, g는 상수이다.^[1]

만약 g의 연속 미분 가능성이 추가적으로 가정된다면, 부분 적분법을 통해 두 명제가 모두 기본 버전으로 축소된다. 이 경우는 조제프루이 라그랑주의 것으로 여겨지며, g의 미분 가능성에 대한 증명은 파울 뒤 부아-레몽의 것이다.^[1]

4. 불연속 함수에 대한 버전

함수 ''f'', ''g''가 국소 가적분이면 (주어진 구간에서) 불연속일 수 있다. 이 경우, 르베그 적분을 의미하며, 결론은 거의 어디서나 성립하고 (따라서 모든 연속점에서 성립), ''g''의 미분 가능성은 연속 미분 가능성이 아닌 국소 절대 연속성으로 해석된다.^[8][9] 때로는 주어진 함수가 구간별 연속으로 가정되기도 하는데, 이 경우 리만 적분으로 충분하며, 결론은 불연속점의 유한 집합을 제외한 모든 곳에서 성립한다.^[5]

5. 고계 도함수를 포함하는 버전

구간 (''a'',''b'')에서 연속 함수 튜플 $f\_0,\; f\_1,\; \backslash dots,\; f\_n$이 다음 등식을 만족한다고 하자.

::$\backslash int\_a^b\; (\; f\_0(x)\; \backslash ,\; h(x)\; +\; f\_1(x)\; \backslash ,\; h\text{'}(x)\; +\; \backslash dots\; +\; f\_n(x)\; \backslash ,\; h^\{(n)\}(x)\; )\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; 0$

이때, 구간 (''a'',''b'')에서 모든 컴팩트하게 지지된 매끄러운 함수 ''h''에 대해, (''a'',''b'')에서 다음을 만족하는 연속 미분 가능한 함수 $u\_0,\; u\_1,\; \backslash dots,\; u\_\{n-1\}$이 존재한다.

::$$

\begin{align}

f_0 &= u'_0, \\

f_1 &= u_0 + u'_1, \\

f_2 &= u_1 + u'_2 \\

\vdots \\

f_{n-1} &= u_{n-2} + u'_{n-1}, \\

f_n &= u_{n-1}

\end{align}

^[10]

이 조건은 충분 조건이기도 한데, 피적분 함수가 $(u\_0\; h)\text{'}\; +\; (u\_1\; h\text{'})\text{'}\; +\; \backslash dots\; +\; (u\_\{n-1\}\; h^\{(n-1)\})\text{'}$이 되기 때문이다.

''n'' = 1인 경우는 주어진 두 함수에 대한 버전일 뿐인데, $f=f\_0=u\text{'}\_0$이고 $f\_1=u\_0,$이므로, $f\_0-f\text{'}\_1\; =\; 0.$이다.

반면에 ''n''=2인 경우에는 함수 $f\_2\; =\; u\_1$이 두 번 미분 가능할 필요가 없으므로 $f\_0\; -\; f\text{'}\_1\; +\; f\text{'}\text{'}\_2\; =\; 0,$ 관계가 성립하지 않는다. 충분 조건 $f\_0\; -\; f\text{'}\_1\; +\; f\text{'}\text{'}\_2\; =\; 0$은 필요 조건이 아니다. 오히려, 필요충분 조건은 ''n''=2일 때 $f\_0\; -\; (f\_1\; -\; f\text{'}\_2)\text{'}\; =\; 0$로, ''n''=3일 때 $f\_0\; -\; (f\_1\; -\; (f\_2-f\text{'}\_3)\text{'})\text{'}\; =\; 0$ 등으로 쓸 수 있다. 일반적으로, 괄호 안의 함수가 미분 가능하지 않기 때문에 괄호를 풀 수 없다.

6. 벡터-값 함수에 대한 버전

벡터 함수 $(a,b)\backslash to\backslash mathbb\{R\}^d$로의 일반화는 간단하다. 스칼라 함수에 대한 결과를 각 좌표에 개별적으로 적용하거나,^[11] 처음부터 벡터 함수 경우를 다루면 된다.^[12]

7. 다변수 함수에 대한 버전

$\backslash Omega\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^d$를 열린 집합이라고 하고, 다변수 함수 ''f''가 다음 등식을 만족한다고 하자.

::$\backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\; \backslash ,\; h(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; 0$

여기서 Ω 상의 모든 콤팩트 지지 매끄러운 함수 ''h''에 대해, ''f''는 항등적으로 0이다.

기본 버전과 유사하게, ''h''가 Ω의 경계에서 사라진다고 가정하고(콤팩트 지지가 아니라) Ω의 폐포 상의 연속 함수 ''f''를 고려할 수도 있다.^[13]

7. 1. L2 공간에서의 확장

8. 응용

변분법의 기본 보조정리는 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된다. 오일러-라그랑주 방정식은 다음 범함수의 극값을 구하는 데 사용되는 방정식이다.

:$J[y]\; =\; \backslash int\_\{x\_0\}^\{x\_1\}\; L(t,y(t),\backslash dot\; y(t))\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}t$

여기서 약한 해 $y:[x\_0,x\_1]\backslash to\; V$는 적절한 벡터 공간 $V$에 대한 함수이다.

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$\{\backslash partial\; L(t,y(t),\backslash dot\; y(t))\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; =\; \{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash over\; \backslash mathrm\{d\}t\}\; \{\backslash partial\; L(t,y(t),\backslash dot\; y(t))\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash dot\; y\}\; .$

이 방정식은 고전역학과 미분기하학에서 중요한 역할을 한다.^[15][16]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 웹사이트 Lemma 2.1 The Lemma of DuBois-Reymond https://liberzon.csl[...]
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 웹사이트 Lemma 2.2 (modification of Lemma 2.1) https://liberzon.csl[...]
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적
_[16] 서적