변형 수축

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 약한 변형 수축
- 2.2. 강한 변형 수축
3. 성질
- 3.1. 호모토피 동치와의 관계
- 3.2. 축약 가능 공간과의 관계
4. 예
- 4.1. 유클리드 공간에서의 변형 수축
5. 역사
참조

1. 개요

변형 수축은 위상 공간 X의 부분 공간 A에 대해 정의되는 개념으로, X에서 A로의 연속 함수가 특정 조건을 만족시키는 경우를 말한다. 약한 변형 수축과 강한 변형 수축으로 구분되며, 약한 변형 수축은 A가 X와 호모토피 동치임을 의미한다. 변형 수축은 호모토피 동치, 축약 가능 공간 등과 관련이 있으며, 유클리드 공간 등에서 예시를 찾을 수 있다. 이 개념은 1930년 카롤 보르수크에 의해 처음 도입되었다.

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변형 수축
개요
분야	수학의 위상수학
하위 분야	호모토피 이론
관련 개념	호모토피, 변형, 수축
정의
변형 수축	위상 공간 X의 부분 공간 A로의 변형 수축은 연속 함수 H : X × [0,1] → X로서 다음 조건을 만족한다.
조건 1	모든 x ∈ X에 대해 H(x,0) = x (H는 항등 함수와 호모토픽하다).
조건 2	모든 a ∈ A와 t ∈ [0,1]에 대해 H(a,t) = a (H는 A의 각 점을 고정한다).
조건 3	모든 x ∈ X에 대해 H(x,1) ∈ A (H는 X를 A로 수축시킨다).
특징
존재	부분 공간 A가 X의 변형 수축이면, A에서 X로의 포함 사상은 호모토피 동치이다. 즉, X와 A는 호모토피 동치이다. 변형 수축은 항상 존재하는 것은 아니다.
예시	원환면에서 점을 제거한 공간은 원들의 꽃다발로 변형 수축 가능하다. 뫼비우스의 띠는 중앙 원으로 변형 수축 가능하다. n차원 구에서 점을 제거한 공간은 (n-1)차원 구로 변형 수축 가능하다.
용도	위상 공간의 호모토피 유형을 결정하는 데 유용하다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 공간 $i\colon A\hookrightarrow X$ 에 대하여, 연속 함수 $r\colon X\to A$ 가 다음 두 조건을 만족시키면, $r$ 를 $X$ 에서 $A$ 로의 '''변형 수축'''이라고 한다.

$r\circ i=\operatorname{id}_A$
$i\circ r\simeq\operatorname{id}_X$

변형 수축에는 약한 변형 수축과 강한 변형 수축이 있다.

2. 1. 약한 변형 수축

위상 공간

X

의 부분 공간

i\colon A\hookrightarrow X

에 대하여, 연속 함수

r\colon X\to A

가 다음 두 조건을 만족시키면,

r

를

X

에서

A

로의 '''약한 변형 수축'''이라고 한다.

$r\circ i=\operatorname{id}_A$
$i\circ r\simeq\operatorname{id}_X$

이는 그림으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{matrix}A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\A&\xleftarrow[r]{}&X\end{matrix}\qquad\begin{matrix}A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\A&\xleftarrow[r]{}&X\end{matrix}

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피

h\colon X\times[0,1]\to A

가 존재해야 한다.

:

h(x,0)=x\qquad\forall x\in X

:

h(x,1)\in A\qquad\forall x\in X

:

h(x,1)=r(x)\qquad\forall x\in X

:

r(a)=a\qquad\forall a\in A

2. 2. 강한 변형 수축

위상 공간

X

의 부분 공간

i\colon A\hookrightarrow X

에 대하여, 연속 함수

r\colon X\to A

가 다음 두 조건을 만족시키면,

r

를

X

에서

A

로의 '''강한 변형 수축'''(strong deformation retract^영어)이라고 한다.^[1]^[2]

$r\circ i=\operatorname{id}_A$
$i\circ r\simeq\operatorname{id}_X\quad(\operatorname{rel}A)$

즉, 아래 그림과 같다.

:

\begin{matrix}A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\A&\xleftarrow[r]{}&X\end{matrix}\qquad\begin{matrix}A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq\operatorname{rel}A&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\A&\xleftarrow[r]{}&X\end{matrix}

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피

h\colon X\times[0,1]\to A

가 존재해야 한다.

:

h(x,0)=x\qquad\forall x\in X

:

h(x,1)\in A\qquad\forall x\in X

:

h(x,1)=r(x)\qquad\forall x\in X

:

h(a,t)=a\qquad\forall a\in A,\;t\in[0,1]

3. 성질

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[1]

$X$ 는 축약 가능 공간이다.
$\{x\}$ 가 $X$ 의 약한 변형 수축을 이루는 $x\in X$ 가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^[1]

3. 1. 호모토피 동치와의 관계

위상 공간

X

의 약한 변형 수축

A\subseteq X

가 주어졌을 때,

A

는

X

와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간

X

및

Y

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[1]

$X$ 와 $Y$ 가 (강하게) 호모토피 동치이다.
어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$ 에 의하여, $X$ 와 $Y$ 는 둘 다 $Z$ 의 약한 변형 수축이다.
어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$ 에 의하여, $X$ 와 $Y$ 는 둘 다 $Z$ 의 강한 변형 수축이다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 축약 가능 공간이다.
$\{x\}$ 가 $X$ 의 약한 변형 수축을 이루는 $x\in X$ 가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^[1]

3. 2. 축약 가능 공간과의 관계

위상 공간

X

의 약한 변형 수축

A\subseteq X

가 주어졌을 때,

A

는

X

와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간

X

및

Y

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.^[1]

$X$ 와 $Y$ 가 (강하게) 호모토피 동치이다.
어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$ 에 의하여, $X$ 와 $Y$ 는 둘 다 $Z$ 의 약한 변형 수축이다.
어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$ 에 의하여, $X$ 와 $Y$ 는 둘 다 $Z$ 의 강한 변형 수축이다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$X$ 는 축약 가능 공간이다.
$\{x\}$ 가 $X$ 의 약한 변형 수축을 이루는 $x\in X$ 가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^[1]

4. 예

유클리드 공간에서 변형 수축의 예를 들 수 있다.

4. 1. 유클리드 공간에서의 변형 수축

Euclidean space^영어 유클리드 공간

\mathbb R^n\setminus\{0\}

의 부분 공간인

n-1

차원 초구

:

S^{n-1}=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\setminus\{0\}\colon\|\mathbf x\|=1\}

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

:

h\colon\left(\mathbb R^n\setminus\{0\}\right)\times[0,1]\to\mathbb R^n\setminus\{0\}

:

h\colon(\mathbf x,t)\mapsto\|\mathbf x\|^{-t}\mathbf x

5. 역사

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.^[3]

참조

_[1] 서적 Algebraic topology http://www.math.corn[...] Cambridge University Press 2002
_[2] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall 2000
_[3] 논문 Sur les rétractes http://pldml.icm.edu[...] 1931

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