복사전달

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 스펙트럼 세기
3. 복사 전달 방정식
- 3.1. 미분 형태
- 3.2. 흡수, 방출, 산란 계수
4. 복사 전달 방정식의 해
5. 한국의 복사 전달 연구
참조

1. 개요

복사전달은 복사 에너지가 매질을 통과하며 이동하는 현상을 설명하는 물리학 분야이다. 핵심 개념은 스펙트럼 세기 또는 스펙트럼 복사 휘도이며, 복사전달 방정식은 복사선 빔이 흡수, 방출, 산란을 통해 에너지를 잃고 얻는 과정을 수학적으로 표현한다. 이 방정식은 흡수, 방출, 산란 계수를 포함하며, 해를 구하는 것은 복잡하지만, 국부 열역학적 평형(LTE)과 같은 특정 조건에서는 단순화될 수 있다. 에딩턴 근사는 복사 확산 방정식을 유도하는 데 사용되는 근사 방법 중 하나이다.

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복사전달
개요
분야	물리학
하위 분야	열전달, 전자기학
설명	에너지가 전자기 복사 형태로 전달되는 현상
관련 항목	복사, 복사 평형, 대기 복사 전달
상세 정보
정의	에너지가 전자기 복사의 형태로 전달되는 과정
관련 방정식	복사 전달 방정식
주요 변수	복사 강도 흡수 계수 산란 계수 소멸 계수 광학적 깊이 단일 산란 알베도
응용 분야	천체물리학 대기과학 원격 탐사 의료 영상 컴퓨터 그래픽스

2. 정의

복사의 영역을 설명하는 기본적인 양은 스펙트럼 세기(intensity)이다. 만약 복사영역에서 매우 작은 면적을 생각하면 그 면적을 지나는 복사 에너지 흐름이 있을 것이다. 이 흐름은 흐름의 방향과 파장 간격을 고려하면 (당분간은 편광을 무시한다) 단위 입체각 당 단위시간 당 에너지 흐름의 양이라고 할 수 있다.

스펙트럼 세기 $I_\nu$ 에 관하여 $\nu\,$ 에서 $\nu+d\nu\,$ 주파수 간격에서 방향 $\hat{\mathbf{n}}$ 에 대하여 입체각 $d\Omega$ ,

시간 $dt\,$ 에서 $\mathbf{r}$ 에 위치한 면적 $da\,$ 의 면적요소를 가로지르는 에너지 흐름은

: $dE_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos\theta ~ d\nu da d\Omega dt$

이다. $\theta$ 는 면적 요소에 대한 법선과 단위 방향 벡터 $\hat{\mathbf{n}}$ 이 만드는 각이다. 스펙트럼 세기의 단위는 에너지/시간/면적/입체각/주파수가 되도록 보인다. 이것은 MKS 단위에서 W·m^-2·sr^-1·Hz^-1가 된다 (와트/미터^2-스테라디안-헤르츠).

방사선장을 설명하는 기본적인 물리량은 방사 측정 용어로는 '''스펙트럼 복사 휘도'''라고 불리며 (다른 분야에서는 종종 '''비 강도'''라고 불린다). 방사선장의 매우 작은 면적 요소의 경우, 모든 공간적 방향으로 양방향으로 전자기 방사가 통과할 수 있다. 방사 측정 용어에서, 통과는 각 공간적 방향으로 방출되는 에너지의 양, 단위 시간당, 소스 통과 면적 단위당, 거리에서의 수신 입체각 단위당, 고려되는 단위 파장 간격당(잠시 동안 편광은 무시됩니다)으로 완전히 특성화될 수 있다.

스펙트럼 복사 휘도 $I_\nu$ 의 관점에서, 면적 요소 $da\,$ 를 통과하는 에너지 흐름은 $\mathbf{r}$ 에 위치하고 시간 $dt\,$ 에 방향 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 중심으로 하는 입체각 $d\Omega$ 내의 주파수 간격 $\nu\,$ 에서 $\nu+d\nu\,$ 까지 다음과 같습니다.

: $dE_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos\theta \ d\nu \, da \, d\Omega \, dt$

여기서 $\theta$ 는 단위 방향 벡터 $\hat{\mathbf{n}}$ 이 면적 요소의 법선과 이루는 각도입니다. 스펙트럼 복사 휘도의 단위는 에너지/시간/면적/입체각/주파수임을 알 수 있습니다. MKS 단위계에서는 W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹ (제곱미터-스테라디안-헤르츠 당 와트)가 됩니다.

2. 1. 스펙트럼 세기

복사의 영역을 설명하는 기본적인 양은 스펙트럼 세기(intensity)이다. 만약 복사영역에서 매우 작은 면적을 생각하면 그 면적을 지나는 복사 에너지 흐름이 있을 것이다. 이 흐름은 흐름의 방향과 파장 간격을 고려하면 (당분간은 편광을 무시한다) 단위 입체각 당 단위시간 당 에너지 흐름의 양이라고 할 수 있다.

스펙트럼 세기

I_\nu

에 관하여

\nu\,

에서

\nu+d\nu\,

주파수 간격에서 방향

\hat{\mathbf{n}}

에 대하여 입체각

d\Omega

,

시간

dt\,

에서

\mathbf{r}

에 위치한 면적

da\,

의 면적요소를 가로지르는 에너지 흐름은

:

dE_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos\theta ~ d\nu da d\Omega dt

이다.

\theta

는 면적 요소에 대한 법선과 단위 방향 벡터

\hat{\mathbf{n}}

이 만드는 각이다. 스펙트럼 세기의 단위는 에너지/시간/면적/입체각/주파수가 되도록 보인다. 이것은 MKS 단위에서 W·m^-2·sr^-1·Hz^-1가 된다 (와트/미터^2-스테라디안-헤르츠).

방사선장을 설명하는 기본적인 물리량은 방사 측정 용어로는 '''스펙트럼 복사 휘도'''라고 불리며 (다른 분야에서는 종종 '''비 강도'''라고 불린다). 방사선장의 매우 작은 면적 요소의 경우, 모든 공간적 방향으로 양방향으로 전자기 방사가 통과할 수 있다.

3. 복사 전달 방정식

복사전달 방정식은 복사의 빛이 여행하는 동안 대기에 의한 흡수로 에너지를 잃고 대기 방출에 의해 에너지를 얻으며 산란에 의해 에너지가 재분배된다고 말한다. 복사전달에 대한 미분형태의 식은 다음과 같다.

: $\frac{dI_\nu}{ds}=\rho j_\nu - \alpha_\nu I_\nu + \iint \sigma_{\nu}(\Omega,{\nu'}) I_{\nu'} d\nu' d\Omega$

만약 $\alpha=\kappa \rho$ 이라면, $j_\nu$ 는 방출과 산란에 대한 스펙트럼의 방출 계수이고, $\alpha_\nu$ 는 스펙트럼의 흡수 계수, $\sigma_\nu$ 는 산란 계수이다. 방출 계수는 에너지/시간/부피/입체각/진동수의 단위를 가진다. 부피 요소 $dV$ 가 제공한 에너지의 양은 다음과 같다.

: $dE_\nu = j_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) ~ d\nu dV d\Omega dt$

산란이 일어난다면 방출 계수는 세기의 함수가 된다.

흡수 계수 $\alpha$ 는 빛이 미소 변위를 이동할 때 감소한 세기의 미소 변화이다. 단위는 1/길이 이고, 이동한 거리가 $ds$ 일 때 감소한 빛의 세기의 변화는 $\alpha(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)\,ds$ 이다.

복사 전달 방정식은 복사선 빔이 이동함에 따라 흡수로 에너지를 잃고, 방출 과정으로 에너지를 얻으며, 산란을 통해 에너지를 재분배한다는 것을 나타낸다. 복사 전달 방정식의 미분 형태는 다음과 같다.

: $\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}I_\nu + \hat{\Omega} \cdot \nabla I_\nu + (k_{\nu, s}+k_{\nu, a}) \rho I_\nu = j_\nu \rho + \frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \rho \int_\Omega I_\nu d\Omega$

여기서 $c$ 는 광속, $j_\nu$ 는 방출 계수, $k_{\nu, s}$ 는 산란 불투명도, $k_{\nu, a}$ 는 흡수 불투명도, $\rho$ 는 질량 밀도이며 $\frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \int_\Omega I_\nu d\Omega$ 항은 다른 방향에서 표면으로 산란된 복사를 나타낸다.

3. 1. 미분 형태

복사전달 방정식은 복사의 빛이 이동하는 동안 대기에 의한 흡수로 에너지를 잃고, 대기 방출에 의해 에너지를 얻으며, 산란에 의해 에너지가 재분배된다고 설명한다. 복사전달에 대한 미분 형태의 식은 다음과 같다.

:

\frac{dI_\nu}{ds}=\rho j_\nu - \alpha_\nu I_\nu + \iint \sigma_{\nu}(\Omega,{\nu'}) I_{\nu'} d\nu' d\Omega

만약

\alpha=\kappa \rho

라면,

j_\nu

는 방출과 산란에 대한 스펙트럼의 방출 계수이고,

\alpha_\nu

는 스펙트럼의 흡수 계수,

\sigma_\nu

는 산란 계수이다. 방출 계수는 에너지/시간/부피/입체각/진동수의 단위를 가진다. 부피 요소

dV

가 제공한 에너지의 양은 다음과 같다.

:

dE_\nu = j_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) ~ d\nu dV d\Omega dt

산란이 일어난다면 방출 계수는 세기의 함수가 된다.

흡수 계수

\alpha

는 빛이 미소 변위를 이동할 때 감소한 세기의 미소 변화이다. 단위는 1/길이 이고, 이동한 거리가

ds

일 때 감소한 빛의 세기의 변화는

\alpha(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)\,ds

이다.

복사 전달 방정식은 복사선 빔이 이동함에 따라 흡수로 에너지를 잃고, 방출 과정으로 에너지를 얻으며, 산란을 통해 에너지를 재분배한다는 것을 나타낸다. 복사 전달 방정식의 미분 형태는 다음과 같다.

:

\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}I_\nu + \hat{\Omega} \cdot \nabla I_\nu + (k_{\nu, s}+k_{\nu, a}) \rho I_\nu = j_\nu \rho + \frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \rho \int_\Omega I_\nu d\Omega

여기서

c

는 광속,

j_\nu

는 방출 계수,

k_{\nu, s}

는 산란 불투명도,

k_{\nu, a}

는 흡수 불투명도,

\rho

는 질량 밀도이며

\frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \int_\Omega I_\nu d\Omega

항은 다른 방향에서 표면으로 산란된 복사를 나타낸다.

3. 2. 흡수, 방출, 산란 계수

복사전달 방정식은 복사의 빛이 이동하는 동안 대기에 의한 흡수로 에너지를 잃고, 대기 방출에 의해 에너지를 얻으며, 산란에 의해 에너지가 재분배된다고 설명한다. 복사전달의 미분형태의 식은 다음과 같다.

:

\frac{dI_\nu}{ds}=\rho j_\nu - \alpha_\nu I_\nu + \iint \sigma_{\nu}(\Omega,{\nu'}) I_{\nu'} d\nu' d\Omega

만약

\alpha=\kappa \rho

이라면,

j_\nu

는 방출과 산란에 대한 스펙트럼의 방출 계수이고,

\alpha_\nu

는 스펙트럼의 흡수 계수,

\sigma_\nu

는 산란 계수이다. 방출 계수는 에너지/시간/부피/입체각/진동수의 단위를 가진다. 부피 요소

dV

가 제공한 에너지의 양은 다음과 같다.

:

dE_\nu = j_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) ~ d\nu dV d\Omega dt

산란이 일어난다면 방출 계수는 세기의 함수가 된다.

흡수 계수

\alpha

는 빛이 미소 변위를 이동할 때 감소한 세기의 미소 변화이다. 단위는 1/길이 이고 이동한 거리가

ds

일 때 감소한 빛의 세기의 변화는

\alpha(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)\,ds

이다. 복사 전달 방정식은 복사선 빔이 이동함에 따라 흡수로 에너지를 잃고 방출 과정으로 에너지를 얻으며 산란을 통해 에너지를 재분배한다고 설명하며, 다음과 같은 미분 방정식으로 표현된다.

:

\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}I_\nu + \hat{\Omega} \cdot \nabla I_\nu + (k_{\nu, s}+k_{\nu, a}) \rho I_\nu = j_\nu \rho + \frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \rho \int_\Omega I_\nu d\Omega

여기서

c

는 광속,

j_\nu

는 방출 계수,

k_{\nu, s}

는 산란 불투명도,

k_{\nu, a}

는 흡수 불투명도,

\rho

는 질량 밀도이며

\frac{1}{4\pi}k_{\nu, s} \int_\Omega I_\nu d\Omega

항은 다른 방향에서 표면으로 산란된 복사를 나타낸다.

4. 복사 전달 방정식의 해

복사전달 방정식의 해를 구하는 것은 대부분 매우 어려운 일이다. 그러나 방출과 흡수 계수에 따라 다양한 형태를 가지기 때문에 본질적인 차이가 있다. 산란이 무시된다면 방출과 산란 계수에 대한 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:{{수식|I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')

e^{-\tau(s',s)}\,ds'}}

여기서 는 과 사이에서 대기의 광학적 깊이이다. 복사 전달 방정식의 해는 방대한 양의 연구로 이루어져 있다. 하지만 차이점은 본질적으로 방출 및 흡수 계수의 다양한 형태에 기인한다. 산란을 무시한다면, 방출 및 흡수 계수 측면에서 일반적인 정상 상태 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:{{수식|I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau_\nu(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')

e^{-\tau_\nu(s',s)}\,ds'}}

여기서 는 위치 과 사이의 매질의 광학 깊이이다.

:{=}\ \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds}}

4. 1. 일반해 (산란 무시)

복사전달 방정식의 해를 구하는 것은 대부분 매우 어려운 일이다. 그러나 방출과 흡수 계수에 따라 다양한 형태를 가지기 때문에 본질적인 차이가 있다. 산란이 무시된다면 방출과 산란 계수에 대한 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')e^{-\tau(s',s)}\,ds'

여기서

\tau(s_1,s_2)

는

s_1

과

s_2

사이에서 대기의 광학적 깊이이다. 복사 전달 방정식의 해는 방대한 양의 연구로 이루어져 있다. 하지만 차이점은 본질적으로 방출 및 흡수 계수의 다양한 형태에 기인한다. 산란을 무시한다면, 방출 및 흡수 계수 측면에서 일반적인 정상 상태 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau_\nu(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')e^{-\tau_\nu(s',s)}\,ds'

여기서

\tau_\nu(s_1,s_2)

는 위치

s_1

과

s_2

사이의 매질의 광학 깊이이다.

:

\tau_\nu(s_1,s_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds

4. 2. 국부 열역학적 평형 (LTE)

국부 열역학적 평형(Local Thermodynamic Equilibrium, LTE) 상황에서 복사전달 방정식은 편리하게 단순화된다. LTE 상황에서 대기는 서로 평형 상태에 있는 무거운 입자들로 구성되고 한정된 온도를 가진다. 그러나 복사장은 평형 상태가 아니며, 무거운 입자들에 의해 발생한다. LTE 대기에서 방출과 흡수 계수는 온도와 밀도의 함수이며, 다음 관계를 갖는다.

:

\frac{j_\nu}{\alpha_\nu}=B_\nu(T)

여기서

B_\nu(T)

는 온도 ''T''에서 흑체의 세기이다. 따라서 복사전달 방정식의 해는 다음과 같다.

:

I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s B_\nu(T(s'))\alpha_\nu(s')e^{-\tau(s',s)}\,ds'

대기 성분의 온도와 밀도 특성을 알면 복사전달 방정식의 해를 계산할 수 있다. 국소 열역학적 평형 조건은 시스템 내 특정 입자 집합에만 적용될 수 있다. 예를 들어, LTE는 일반적으로 질량이 큰 입자에만 적용된다. 방사성 기체에서 기체에 의해 방출되고 흡수되는 광자는 LTE가 존재하기 위해 서로 또는 기체의 질량이 큰 입자와 열역학적 평형을 이룰 필요는 없다.

4. 3. 에딩턴 근사

에딩턴 근사는 이중 스트림 근사와 구별된다. 이중 스트림 근사는 강도가 상반구에서는 각도에 따라 일정하고, 하반구에서는 다른 상수 값을 갖는다고 가정한다. 반면 에딩턴 근사는 강도가

\mu=\cos\theta

의 선형 함수라고 가정한다. 즉,

:

I_\nu(\mu,z)=a(z)+\mu b(z)

여기서

z

는 슬래브형 매질에 대한 수직 방향이다. 각도 적분을

\mu

로 표현하면

d\mu=-\sin\theta d\theta

가 야코비안에 나타나므로 간단해진다. 에딩턴 근사는 등방성 주파수 독립 산란을 갖는 "평행 평판" 매질(특성이 수직 방향으로만 변하는 매질)에서 스펙트럼 복사율을 얻는 데 사용될 수 있다.

\mu

에 대한 스펙트럼 복사율의 처음 몇 순간을 추출하면 다음과 같다.

:

J_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}I_\nu d\mu = a

:

H_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}\mu I_\nu d\mu = \frac{b}{3}

:

K_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}\mu^2 I_\nu d\mu = \frac{a}{3}

따라서 에딩턴 근사는

K_\nu=1/3J_\nu

로 설정하는 것과 같다. 에딩턴 근사의 고차 버전도 있으며, 강도 모멘트의 더 복잡한 선형 관계로 구성된다. 이 추가 방정식은 잘린 모멘트 시스템에 대한 닫힘 관계로 사용될 수 있다.

처음 두 순간은 간단한 물리적 의미를 갖는다.

J_\nu

는 한 지점에서의 등방성 강도이고,

H_\nu

는 그 지점을 통과하는

z

방향의 플럭스이다.

국소 열역학적 평형 상태에서 산란 계수가

\sigma_\nu

인 등방성 산란 매질을 통한 복사 전달은 다음과 같다.

:

\mu \frac{dI_\nu}{dz}=- \alpha_\nu (I_\nu-B_\nu) + \sigma_{\nu}(J_\nu -I_\nu)

모든 각도에 대해 적분하면 다음을 얻는다.

:

\frac{dH_\nu}{dz}=\alpha_\nu (B_\nu-J_\nu)

\mu

를 곱한 다음 모든 각도에 대해 적분하면 다음을 얻는다.

:

\frac{dK_\nu}{dz}=-(\alpha_\nu+\sigma_\nu)H_\nu

닫힘 관계를 대입하고

z

에 대해 미분하면 위의 두 방정식을 결합하여 복사 확산 방정식을 형성할 수 있다.

:

\frac{d^2J_\nu}{dz^2}=3\alpha_\nu(\alpha_\nu+\sigma_\nu)(J_\nu-B_\nu)

이 방정식은 흡수 불투명도가 작을 경우 산란 지배 시스템에서 유효 광학 깊이가 산란 불투명도에 의해 주어진 것과 어떻게 크게 다를 수 있는지를 보여준다.

4. 3. 1. 복사 확산 방정식

에딩턴 근사는 이중 스트림 근사의 특별한 예시로, 등방성 주파수 독립 산란을 갖는 평행 평판 매질에서 스펙트럼 복사율을 구하는 데 사용될 수 있다. 이는 세기가

\mu=\cos\theta

의 선형함수라고 가정한다. 즉,

:

I_\nu(\mu,z)=a(z)+\mu b(z)

여기서

z

는 슬래브형 매질에 대한 수직 방향이다.

\mu

에 대한 스펙트럼 복사율의 처음 몇 순간은 다음과 같다.

:

J_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}I_\nu d\mu = a

:

H_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}\mu I_\nu d\mu = \frac{b}{3}

:

K_\nu=\frac{1}{2}\int^1_{-1}\mu^2 I_\nu d\mu = \frac{a}{3}

따라서 에딩턴 근사는

K_\nu=1/3J_\nu

로 설정하는 것과 같다.

처음 두 순간

J_\nu

는 한 지점에서의 등방성 강도이고,

H_\nu

는 그 지점을 통과하는

z

방향의 플럭스이다.

국소 열역학적 평형 상태에서 산란 계수가

\sigma_\nu

인 등방성 산란 매질을 통한 복사 전달은 다음과 같다.

:

\mu \frac{dI_\nu}{dz}=- \alpha_\nu (I_\nu-B_\nu) + \sigma_{\nu}(J_\nu -I_\nu)

모든 각도에 대해 적분하고,

\mu

를 곱한 뒤 다시 모든 각도에 대해 적분하여 다음 두 식을 얻는다.

:

\frac{dH_\nu}{dz}=\alpha_\nu (B_\nu-J_\nu)

:

\frac{dK_\nu}{dz}=-(\alpha_\nu+\sigma_\nu)H_\nu

위의 두 방정식을 결합하고 닫힘 관계를 대입하여

z

에 대해 미분하면 복사 확산 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{d^2J_\nu}{dz^2}=3\alpha_\nu(\alpha_\nu+\sigma_\nu)(J_\nu-B_\nu)

이 방정식은 흡수 불투명도가 작을 경우 산란 지배 시스템에서 유효 광학 깊이가 어떻게 달라지는지 보여준다. 각도 적분은

d\mu=-\sin\theta d\theta

가 야코비안에 나타나므로 간단해진다. 에딩턴 근사의 고차 버전도 존재하며, 강도 모멘트의 더 복잡한 선형 관계로 구성된다.

5. 한국의 복사 전달 연구

참조

_[1] 서적 Radiative Transfer https://archive.org/[...] Dover Publications Inc. 1960
_[2] 서적 Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures A. Deepak Publishing 1985

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