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산술의 기본정리

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1. 본문

산술의 기본 정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)는 정수론의 중요한 정리 중 하나로, 다음과 같이 정의됩니다.
정의: 1보다 큰 모든 정수는 소수들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다 (곱하는 순서는 무시한다).
내용:


  • 존재성: 1보다 큰 모든 정수는 소수들의 곱으로 표현될 수 있습니다. 즉, 소인수분해가 가능합니다.
  • 유일성: 소인수분해는 곱하는 순서를 무시하면 유일합니다. 즉, 같은 수를 나타내는 서로 다른 소인수분해는 존재하지 않습니다.

예시:

  • 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
  • 30 = 2 × 3 × 5
  • 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

증명 방법:

  • 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm): 최대공약수와 최소공배수의 개념을 사용하여 증명합니다.
  • 귀류법(Proof by contradiction): 유일하게 표현되지 않는 가장 작은 정수가 존재한다고 가정한 후 모순을 이끌어내어 증명합니다.
  • 수학적 귀납법(Mathematical Induction): 1보다 큰 모든 정수에 대해 성립함을 귀납적으로 증명합니다.
  • 대수학적 증명: 정수환이 PID(주 아이디얼 정역)이고, 모든 PID는 UFD(유일 인수분해 정역)임을 보여 증명합니다.

다른 표현:

  • 소인수분해 정리 (Prime Factorization Theorem)라고도 불립니다.

응용:

  • 최대공약수와 최소공배수 계산
  • 정수의 성질 분석 및 이해
  • 암호학 등 다양한 분야에 응용



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