성 대결
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1. 개요
성 대결은 두 명의 플레이어가 각자 선호하는 활동(예: 권투 시합 또는 발레)을 선택하는 게임 이론의 한 유형이다. 이 게임은 두 개의 순수 전략 내쉬 균형(두 플레이어 모두 같은 활동 선택)과 하나의 혼합 전략 내쉬 균형을 갖는다. 이러한 균형들은 불공정하거나 비효율적인 문제점을 가지며, 이러한 문제에 대한 해결책으로 상관 균형이 제시된다. 상관 균형은 플레이어가 무작위 장치를 사용하여 전략을 상관시키는 것을 포함한다.
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| 성 대결 | |
|---|---|
| 게임 정보 | |
| 이름 | 성 대결 |
| 종류 | 조정 게임 |
| 플레이어 수 | 2명 |
| 핵심 내용 | 두 명의 플레이어가 서로 다른 선호도를 가지고 있지만, 함께 행동하는 것이 혼자 행동하는 것보다 나은 상황을 나타내는 게임 각 플레이어는 상대방이 무엇을 할지 모르는 상태에서 자신의 행동을 결정해야 함 이 게임은 조정의 어려움과 상호 의존적인 결정의 중요성을 보여줌 |
| 게임 이론적 분석 | |
| 내쉬 균형 | (권투, 권투) (발레, 발레) |
| 파레토 효율 | 두 내쉬 균형 모두 파레토 효율적임 |
| 전략적 함의 | 의사소통의 중요성: 두 플레이어가 서로의 선호도를 알고 있다면, 더 쉽게 조정하여 더 나은 결과를 얻을 수 있음 선점의 이점: 한 플레이어가 먼저 자신의 행동을 결정하면, 다른 플레이어는 그에 맞춰 행동할 가능성이 높아짐 공정한 결과의 어려움: 두 플레이어가 서로 다른 선호도를 가지고 있기 때문에, 모두에게 만족스러운 결과를 얻기가 어려울 수 있음 |
| 예시 1 | |
| 플레이어 | 플레이어 1 플레이어 2 |
| 전략 | 권투 관람 발레 관람 |
| 보수 행렬 | 플레이어 1, 권투, 권투: 3 플레이어 1, 권투, 발레: 0 플레이어 1, 발레, 권투: 0 플레이어 1, 발레, 발레: 2 플레이어 2, 권투, 권투: 2 플레이어 2, 권투, 발레: 0 플레이어 2, 발레, 권투: 0 플레이어 2, 발레, 발레: 3 |
| 설명 | 플레이어 1은 권투를 선호하고 플레이어 2는 발레를 선호함 두 플레이어가 같은 것을 보면 만족하지만, 서로 다른 것을 보면 만족하지 못함 |
| 예시 2 | |
| 플레이어 | 플레이어 1 플레이어 2 |
| 전략 | 권투 관람 발레 관람 |
| 보수 행렬 | 플레이어 1, 권투, 권투: 3 플레이어 1, 권투, 발레: 1 플레이어 1, 발레, 권투: 0 플레이어 1, 발레, 발레: 2 플레이어 2, 권투, 권투: 2 플레이어 2, 권투, 발레: 0 플레이어 2, 발레, 권투: 1 플레이어 2, 발레, 발레: 3 |
| 설명 | 플레이어 1은 권투를 선호하고 플레이어 2는 발레를 선호함 두 플레이어가 같은 것을 보면 만족하지만, 서로 다른 것을 보면 약간의 만족을 얻음 |
2. 균형 분석
성 대결 게임에는 두 가지 순수 전략 내쉬 균형과 한 가지 혼합 전략 내쉬 균형이 존재한다. 순수 전략 균형은 두 플레이어 모두 같은 활동을 선택하는 경우이고, 혼합 전략 균형은 각 플레이어가 특정 확률로 각 활동을 선택하는 경우이다.
어떤 균형이 실행될지에 대한 기대가 어떻게 형성될지는 불분명하다. 이러한 어려움에 대한 한 가지 가능한 해결책은 상관 균형을 사용하는 것이다. 예를 들어, 플레이어들이 전략을 선택하기 전에 동전을 던져서 그 결과에 따라 전략을 선택하기로 합의할 수 있다.
2. 1. 순수 전략 내쉬 균형
순수 전략 내쉬 균형은 두 플레이어가 모두 같은 활동(권투 또는 발레)을 선택하는 두 가지 경우에 해당한다. 이는 어느 한쪽도 다른 선택을 할 유인이 없는 안정적인 상태이다.2. 2. 혼합 전략 내쉬 균형
각 플레이어가 특정 확률로 각 활동을 선택하는 혼합 전략 내쉬 균형이 존재한다. 예를 들어, 남자는 3/5 확률로 권투, 여자는 3/5 확률로 발레를 선택하는 식이다. 성 대결(1)에 나열된 보상에 따르면, 혼합 전략 균형에서 남자는 3/5의 확률로 권투 시합에 가고 여자는 3/5의 확률로 발레에 간다. 따라서 두 사람은 6/25 = (3/5)(2/5)의 확률로 권투 시합에서 만나고, 6/25 = (2/5)(3/5)의 확률로 발레에서 만나게 된다. 이 경우, 두 플레이어가 서로 다른 활동을 선택하여 협조에 실패할 확률이 존재한다. 순수 전략은 혼합 전략의 퇴화된 경우이므로, 두 개의 순수 전략 내쉬 균형도 혼합 전략 내쉬 균형 집합의 일부이다. 결과적으로 성 대결에는 총 3개의 혼합 전략 내쉬 균형이 존재한다.이러한 내쉬 균형은 어떤 면에서 결함이 있기 때문에 게임 이론에서 흥미로운 사례로 제시된다. 두 개의 순수 전략 내쉬 균형은 불공정하며, 한 플레이어가 다른 플레이어보다 일관되게 더 나은 성과를 낸다. 혼합 전략 내쉬 균형은 비효율적이다. 플레이어는 13/25의 확률로 잘못된 협조를 하게 되며, 각 플레이어는 6/5의 기대 수익을 얻게 된다(각자의 덜 선호하는 순수 전략 균형에서 2의 보상보다 적다).
2. 3. 균형의 문제점
이 게임은 게임 이론에서 흥미로운 사례를 제시하는데, 각 내쉬 균형이 어떤 면에서 결함을 갖고 있기 때문이다. 두 개의 순수 전략 내쉬 균형은 한 플레이어가 다른 플레이어보다 일관되게 더 나은 성과를 내기 때문에 불공정하다. 혼합 전략 내쉬 균형은 비효율적인데, 플레이어들이 13/25의 확률로 서로 다른 선택을 하게 되어, 각 플레이어는 6/5의 기대 수익만을 얻게 된다. 이는 각자 덜 선호하는 순수 전략 균형에서 얻는 2의 보상보다 적은 값이다.이러한 문제에 대한 한 가지 해결책은 상관 균형을 사용하는 것이다. 예를 들어, 플레이어들이 전략을 선택하기 전에 동전을 던져서 앞면이 나오면 발레, 뒷면이 나오면 권투 시합을 선택하기로 합의할 수 있다. 동전 던지기 결과가 공개되면, 상대방이 자신의 행동을 바꾸지 않을 것이라고 믿는 한, 어느 플레이어도 제안된 행동을 변경할 유인이 없다. 결과적으로 항상 완벽한 협조가 달성된다. 그러나 상관 장치가 있더라도 플레이어가 이를 무시하는 내쉬 균형은 여전히 존재하며, 상관 균형은 상관 장치의 존재와 두 플레이어가 모두 이를 사용하여 결정을 내릴 것이라는 기대가 필요하다.
3. 상관 균형
이 게임은 순수 전략 내쉬 균형 (두 플레이어 모두 권투 시합, 혹은 모두 발레)과 특정 확률로 무작위 선택을 하는 혼합 전략 내쉬 균형을 포함하여 총 3개의 내쉬 균형을 갖는다.
이러한 내쉬 균형은 각각 결함이 있어 게임 이론의 흥미로운 사례를 제시한다. 순수 전략 균형은 한 플레이어가 더 나은 성과를 내므로 불공평하고, 혼합 전략 균형은 13/25 확률로 잘못된 협조를 하게 되어 비효율적이다. 어떤 균형이 실행될지에 대한 기대 형성도 불분명하다.
이에 대한 해결책으로 상관 균형이 제시된다. 이는 플레이어들이 외부 무작위 장치(예: 동전 던지기)에 접근하여, 그 결과에 따라 전략을 상관시키기로 결정하는 방식이다.
3. 1. 작동 방식
이 게임은 여러 내쉬 균형이 존재하여 흥미로운 사례이다. 크게 두 가지 순수 전략 내쉬 균형과 하나의 혼합 전략 내쉬 균형이 있다. 순수 전략 균형은 두 플레이어 모두 같은 선택(둘 다 권투 시합, 또는 둘 다 발레)을 하는 경우이다. 혼합 전략 균형은 각 플레이어가 특정 확률로 무작위 선택을 하는 경우이다.예를 들어, 남자는 3/5의 확률로 권투 시합을, 여자는 3/5의 확률로 발레를 선택하는 혼합 전략을 사용하면, 두 사람이 권투 시합에서 만날 확률과 발레에서 만날 확률은 각각 6/25가 된다.
하지만 이러한 내쉬 균형들은 각각 단점을 가지고 있다. 순수 전략 균형은 한쪽 플레이어에게 유리하여 불공평하고, 혼합 전략 균형은 비효율적이다. 플레이어들이 서로 다른 선택을 할 확률(13/25)이 존재하기 때문이다.
이러한 문제에 대한 해결책 중 하나는 상관 균형을 이용하는 것이다. 이는 플레이어들이 외부 장치(예: 동전 던지기)의 결과에 따라 자신의 행동을 결정하는 방식이다. 예를 들어, 동전 앞면이 나오면 발레, 뒷면이 나오면 권투 시합을 선택하는 식이다. 이렇게 하면 항상 완벽한 협조가 가능해진다. 하지만, 상관 장치가 존재하더라도 플레이어들이 이를 무시하는 내쉬 균형은 여전히 존재하며, 상관 균형은 장치의 존재와 플레이어들의 기대라는 두 가지 조건이 모두 필요하다.
3. 2. 장점과 한계
상관 균형은 완벽한 협조를 가능하게 하고, 플레이어 간 기대 보상을 동일하게 만들 수 있다는 장점이 있다. 예를 들어, 플레이어들이 전략을 선택하기 전에 동전을 던져서 앞면이 나오면 발레를, 뒷면이 나오면 권투 시합을 선택하는 식으로 전략을 상관시키기로 합의할 수 있다. 동전 던지기 결과가 공개되면, 상대방이 전략을 바꾸지 않을 것이라고 믿는 한, 누구도 전략을 변경할 유인이 없어진다.하지만 이러한 상관 균형에는 몇 가지 한계점이 존재한다. 우선, 동전 던지기와 같은 외부 장치가 존재해야 하고, 플레이어들이 이 장치를 신뢰하고 따라야 한다는 전제가 필요하다. 또한, 상관 장치가 있더라도 플레이어가 이를 무시하는 내쉬 균형은 여전히 존재한다.
참조
[1]
서적
Games and Decisions: An Introduction and Critical Survey
Wiley & Sons
1957
[2]
서적
A Course in Game Theory
The MIT Press
1994
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