셰페의 방법

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1. 개요
2. 방법
3. 튜키-크레이머 방법과의 비교
4. 표에서의 셰페 유의성 표시
참조

1. 개요

셰페의 방법은 여러 모집단의 평균을 비교하기 위한 통계적 방법이다. 이 방법은 임의의 대비를 정의하고, 대비의 추정치와 추정 분산을 계산하여 신뢰 구간을 설정한다. 셰페의 방법은 모든 가능한 대비를 고려하며, 튜키-크레이머 방법과 비교하여 다양한 상황에 적용될 수 있다. 분산 분석 결과표에서는 셰페 방법을 통해 유의미한 차이를 나타내기 위해 아래첨자 문자를 사용하여 결과를 표시한다.

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본페로니 교정은 여러 가설 검정 시 제1종 오류 증가를 막기 위해 각 가설 검정의 유의 수준을 조정하는 방법이다.

셰페의 방법
개요
이름	셰페 방법
종류	사후 검정
고안자	Henry Scheffé
상세
목적	분산 분석 후, 모든 가능한 평균 쌍 간의 차이에 대한 유의미성을 평가
특징	임의의 복잡한 대비에 적용 가능 보수적인 검정 방법 (다른 사후 검정 방법에 비해 검정력이 낮음)
장점	계획된 대비뿐만 아니라 사후적인 대비에도 적용 가능 분산 분석에서 얻은 정보를 최대한 활용
단점	다른 사후 검정 방법에 비해 검정력이 낮아, 효과가 존재함에도 불구하고 유의미한 차이를 발견하지 못할 가능성이 있음 모든 가능한 대비를 고려하기 때문에 불필요하게 보수적인 결과를 낼 수 있음
통계적 세부 사항
검정 통계량	F-분포를 기반으로 함
임계값	(k-1) * F(α; k-1, N-k) (k: 그룹 수, N: 전체 샘플 크기, α: 유의 수준)
가설	귀무 가설: 모든 그룹 평균은 동일하다. 대립 가설: 적어도 하나의 그룹 평균은 다르다.
관련 항목
관련 통계 검정	ANOVA Tukey's range test Bonferroni correction
주의 사항	셰페 방법은 특히 그룹 수가 많을 때 다른 사후 검정 방법에 비해 검정력이 떨어질 수 있으므로, 상황에 맞는 적절한 검정 방법을 선택해야 함.

2. 방법

셰페의 방법은 $r$ 개의 서로소인 모집단의 평균을 비교하는 데 사용되는 통계적 방법이다. 임의의 대비(contrast)는 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]

: $C = \sum_{i=1}^r c_i\mu_i$

(단, $\sum_{i=1}^r c_i = 0$ )

기술적으로 대비는 무한히 많다. 동시 신뢰 계수는 요인 수준의 표본 크기가 같든 다르든 정확히 $1- \alpha$ 이다. 일반적으로 유한한 수의 비교만 관심의 대상인 경우, 셰페의 방법은 매우 보수적이며, 가족별 오류율(실험 오류율)은 보통 $\alpha$ 보다 훨씬 작다.^[1]^[2]

신뢰구간은 동시에 정확하며, 여기서 $N$ 은 전체 모집단의 크기이다.^[3]

2. 1. 기본 정의

r

개의 서로소인 모집단에서 어떤 변수의 평균을

\mu_1, \ldots, \mu_r

라고 할 때, 임의의 대비(contrast)는 다음과 같이 정의된다.

:

C = \sum_{i=1}^r c_i\mu_i

여기서

\sum_{i=1}^r c_i = 0

를 만족해야 한다. 만약 모든

\mu_i

가 서로 같다면, 모든 대비는 0이 된다. 그렇지 않으면, 일부 대비는 0과 다르다.^[1]^[2]

''C''는 다음과 같이 추정할 수 있다.

:

\hat{C} = \sum_{i=1}^r c_i\bar{Y}_i

각 분산의 기댓값은 다음과 같다.

:

s_{\hat{C}}^2 = \hat{\sigma}_e^2\sum_{i=1}^r \frac{c_i^2}{n_i}.

\hat{C}\pm\sqrt{\left(r-1\right)F_{\alpha;r-1;N-r}}\,s_{\hat{C}}

의 모든 신뢰 한계를 동시에 만족시키는 확률은

1-\alpha

이다.^[3]

2. 2. 대비의 추정

대비

C

는 다음과 같이 추정한다.

:

\hat{C} = \sum_{i=1}^r c_i\bar{Y}_i

여기서

\bar{Y}_i

는

i

번째 모집단의 표본 평균이다.^[1]

추정 분산은 다음과 같다.

:

s_{\hat{C}}^2 = \hat{\sigma}_e^2\sum_{i=1}^r \frac{c_i^2}{n_i}

여기서

$n_i$ 는 $i$ 번째 모집단에서 추출된 표본의 크기이고,
$\hat{\sigma}_e^2$ 는 오차의 추정 분산이다.

다음 형식의 모든 신뢰 한계 확률은

1-\alpha

이다.

:

\hat{C}\pm\,s_\hat{C}\sqrt{\left(r-1\right)F_{\alpha;r-1;N-r}}

^[3]

2. 3. 추정 분산

대비의 추정 분산은 다음과 같이 계산된다.^[1]^[2]

:

s_{\hat{C}}^2 = \hat{\sigma}_e^2\sum_{i=1}^r \frac{c_i^2}{n_i},

여기서

`n`_`i`는 `i`번째 모집단(평균이 μ_i 인 모집단)에서 추출된 표본의 크기이고,
$\hat{\sigma}_e^2$ 는 오차의 추정 분산이다.^[3]

2. 4. 신뢰 구간

\mu_1, \ldots , \mu_r

를

r

개의 서로소인 모집단에서 어떤 변수의 평균이라고 하자.

임의의 대비는 다음 식으로 정의된다.

:

C = \sum_{i=1}^r c_i\mu_i

여기서

:

\sum_{i=1}^r c_i = 0.

C

는 다음 식으로 추정한다.

:

\hat{C} = \sum_{i=1}^r c_i\bar{Y}_i

이에 대한 추정 분산은 다음과 같다.

:

s_{\hat{C}}^2 = \hat{\sigma}_e^2\sum_{i=1}^r \frac{c_i^2}{n_i},

여기서

$n_i$ 는 ''i''번째 모집단(평균이 $\mu_i$ 인 모집단)에서 추출된 표본의 크기이고,
$\hat{\sigma}_e^2$ 는 오차의 추정 분산이다.

다음과 같은 형식의 모든 신뢰 한계의 확률이

1-\alpha

임을 보일 수 있다.

:

\hat{C}\pm\,s_\hat{C}\sqrt{\left(r-1\right)F_{\alpha;r-1;N-r}}

이들은 동시에 정확하며, 여기서

N

은 전체 모집단의 크기이다.

3. 튜키-크레이머 방법과의 비교

튜키-크레이머 방법은 고정된 수의 쌍별 비교만 수행할 때 더 정확한 신뢰 구간을 제공한다. 그러나 다수의 비교나 모든 대비에 관심이 있는 경우에는 셰페의 방법이 더 적절하며, 더 좁은 신뢰 구간을 제공할 수 있다.

일대일 비교만 수행하는 경우에는 튜키-크레이머 방법이 더 좁은 신뢰 한계를 제공하여 선호된다. 반면, 많거나 모든 대비에 관심이 있는 경우에는 셰페의 방법이 더 좁은 신뢰 한계를 제공하는 경향이 있어 선호된다.

4. 표에서의 셰페 유의성 표시

일반적으로 분산 분석(ANOVA) 결과표에서 셰페의 방법을 사용하여 어떤 평균값들이 유의미하게 다른지를 나타낼 때는 아래첨자 문자를 사용한다. 셰페 대비를 기준으로 유의미하게 다르지 않은 평균값은 동일한 아래첨자를 가지며, 유의미하게 다른 평균값은 서로 다른 아래첨자를 갖는다. 예를 들어 15_a, 17_a, 34_b와 같이 표시하면, 첫 번째와 두 번째 값은 세 번째 값과 유의미하게 다르지만, 첫 번째와 두 번째 값끼리는 서로 유의미하게 다르지 않다는 것을 의미한다.

참조

_[1] 서적 Designing Experiments and Analyzing Data: A Model Comparison Lawrence Erlbaum Associates
_[2] 서적 Analysis of Messy Data CRC Press
_[3] 서적 Applied Regression Analysis https://archive.org/[...] John Wiley and Sons, Inc.
_[4] 서적 Designing Experiments and Analyzing Data: A Model Comparison Lawrence Erlbaum Associates
_[5] 서적 Analysis of Messy Data CRC Press

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