맨위로가기

순서쌍

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

순서쌍은 두 개의 대상 a와 b를 묶어 (a, b)로 나타낸 수학적 개념이다. 두 순서쌍 (a, b)와 (c, d)가 같다는 것은 a=c이고 b=d일 때만 성립하며, 곱집합과 이항 관계를 정의하는 데 사용된다. 순서쌍은 다양한 집합론적 정의를 가지며, 위너, 하우스도르프, 쿠라토프스키, 콰인-로서, 모스 등의 수학자들이 정의를 제시했다. 범주론에서는 범주론적 곱을 나타내는 데 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 2 - 이진법
    이진법은 0과 1 두 개의 숫자를 사용하는 밑이 2인 위치 기수법으로, 컴퓨터 과학의 기초가 되었으며 현대 컴퓨터에서 데이터를 저장하고 처리하는 데 사용된다.
  • 2 - 페어 스케이팅
    페어 스케이팅은 두 선수가 함께 스케이팅하며 고난도 기술을 구사하는 피겨 스케이팅 종목으로, 쇼트 프로그램과 프리스케이팅으로 구성되며, 1908년 하계 올림픽에서 정식 종목으로 채택되었다.
  • 유형 이론 - 형 변환
    형 변환은 프로그래밍에서 변수의 데이터 타입을 변경하는 것으로, 암시적 형 변환과 명시적 형 변환으로 나뉘며, 객체 지향 프로그래밍에서는 업캐스팅과 다운캐스팅이 발생하고, 각 언어는 고유한 규칙과 방법을 제공하며 잘못된 형 변환은 오류를 유발할 수 있다.
  • 유형 이론 - 대수적 자료형
    대수적 자료형은 합 타입과 곱 타입을 조합하여 새로운 자료형을 정의하는 방법으로, 단일 연결 리스트나 이진 트리와 같은 자료 구조를 표현하고 패턴 매칭을 통해 자료형의 구조를 분해 및 처리하는 데 유용하며, 함수형 프로그래밍 언어에서 널리 사용된다.
  • 집합론의 기본 개념 - 치역
    치역은 함수에서 정의역의 모든 원소에 대한 함숫값들의 집합으로, 공역의 부분집합이며, 함수의 상을 의미하거나 공역 전체를 의미하기도 한다.
  • 집합론의 기본 개념 - 항등 함수
    항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
순서쌍
수학적 개념
정의두 대상의 순서를 고려하여 묶어 놓은 것
영어Ordered pair
일본어順序対 (Junjo-tsui)
표기법
일반적인 표기(a, b)
a와 b가 같을 때a = b
순서쌍의 의미(a, b) ≠ (b, a)
일반화
2-튜플(a, b)
n-튜플n개의 요소로 이루어진 순서 있는 목록 (a, b, c, ...)
관련 개념
순서 없는 쌍{a, b} (집합의 개념, 순서가 중요하지 않음)
첫 번째/두 번째 항목 (영어)First/Second entry
첫 번째/두 번째 좌표 (영어)First/Second coordinate

2. 성질

순서쌍의 가장 기본적인 성질은 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 점이다. 즉, 다음과 같다.

:(a,b)=(c,d)\ \iff\ a=c \wedge b=d

이러한 성질은 순서쌍을 정의하는 데 사용될 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 A, 두 번째 성분을 집합 B에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라고 하고 A\times B로 표기한다. 집합 AB 사이의 이항 관계는 A\times B부분집합이다.

순서쌍의 통상적인 표기법은 (a,b) 꼴이지만, 개구간 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 \langle a,b\rangle로 나타내기도 한다.[1][2]

두 순서쌍 (a_1, b_1)(a_2, b_2)가 주어졌을 때, 순서쌍의 ''특성'' (또는 ''정의'') ''속성''은 다음과 같다.

:(a_1, b_1) = (a_2, b_2)가 성립하는 것은 a_1 = a_2이고 b_1 = b_2일 때, 그리고 그 때에만 성립한다.

3. 집합론적 정의

공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로 정의한다. 순서쌍 역시 집합론적으로 정의할 수 있는데, 여러 가지 방법이 있다.

순서쌍의 가장 기본적인 성질은 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같다는 것이다. 즉, 다음과 같다.

:(a,b)=(c,d)\ \iff\ a=c \wedge b=d

이러한 성질을 이용하여 순서쌍을 정의할 수 있다.

첫 번째 성분을 집합 A에서, 두 번째 성분을 집합 B에서 가져온 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라 하고, A\times B로 표기한다. 집합 AB 사이의 이항 관계는 A\times B부분집합이다.

순서쌍은 보통 (a,b)와 같이 표기하지만, 개구간 등 다른 표기법과 혼동될 수 있으므로 \langle a,b\rangle로 나타내기도 한다.

이러한 순서쌍의 성질은 순서쌍의 본질을 보여준다. 이 본질적인 성질을 공리로 삼아 순서쌍을 무정의 용어로 취급할 수도 있다. 이는 니콜라 부르바키 단체가 1954년에 출간한 《집합론》에서 사용한 방법이다. 1970년에 출간된 2판에서는 카지미에시 쿠라토프스키의 정의가 추가되었다.

수학기초론의 일원인 공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로 정의한다.[20][21] 만약 집합론이 수학의 기초가 될 수 있다는 점에 동의한다면, 모든 수학적 대상은 일종의 집합으로 정의되어야 한다.[5] 따라서 순서쌍을 원시적인 것으로 여기지 않는다면, 순서쌍 또한 집합으로 정의해야 한다.[6]

3. 1. 위너의 정의

노버트 위너는 1914년에 순서쌍의 최초 집합론적 정의를 제안했다.[22]

:(a,\,b):=\{\{\{a\},\,\emptyset\},\,\{\{b\}\}\}

이 정의는 《수학 원리》의 모든 유형을 집합으로 정의할 수 있게 한다. 위너는 정의와 유형 이론이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), \{b\}가 아닌 \{\{b\}\}를 사용하였다. 이렇게 하면 \{\{b\}\}\{\{a\},\,\emptyset\}와 같은 유형이 된다.[7]

3. 2. 하우스도르프의 정의

펠릭스 하우스도르프노버트 위너와 거의 같은 시기에 다음과 같은 정의를 제안했다.[8]

: (a, b) := { {a, 1}, {b, 2} }

여기서 1과 2는 a와 b와 다른 두 개의 서로 다른 대상이다.[8]

3. 3. 쿠라토프스키의 정의

카지미에시 쿠라토프스키가 1921년에 제시한 순서쌍 (''a'', ''b'')의 정의는 오늘날 가장 널리 쓰인다.[9][10]

:(a, \ b)_K \; := \ \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}.

이 정의는 첫 번째 성분과 두 번째 성분이 같은 경우에도 사용할 수 있다.

:(x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}

임의의 순서쌍 ''p''의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 동치성에 의해 추출할 수 있다.

  • ''x''는 ''p''의 첫 번째 성분이다.
  • \forall Y\in p:x\in Y.
  • x=\bigcup\bigcap p


비슷한 방법으로, ''p''의 두 번째 성분 ''x''는 다음 조건을 통해 추출할 수 있다.

:(\exist Y\in p:x\in Y) \land(\forall Y_1,Y_2\in p:Y_1\ne Y_2\rarr (x\notin Y_1\lor x \notin Y_2)).

p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}이면 다음과 같다.

: \bigcap p = \bigcap \bigg\{\{x\}, \{x, y\}\bigg\} = \{x\} \cap \{x, y\} = \{x\},

: \bigcup p = \bigcup \bigg\{\{x\}, \{x, y\}\bigg\} = \{x\} \cup \{x, y\} = \{x, y\}.

순서쌍의 첫 번째 좌표는 반복 연산 표기법을 사용하여 다음과 같이 추출할 수 있다.

:\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p = \bigcup \{x\} = x.

두 번째 좌표는 다음과 같이 추출한다.

:\pi_2(p) = \bigcup\left\{\left. a \in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p \ne \bigcap p \rarr a \notin \bigcap p \right\} = \bigcup\left\{\left. a \in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\} \neq \{x\} \rarr a \notin \{x\} \right\} = \bigcup \{y\} = y.

3. 3. 1. 쿠라토프스키 정의의 변형

쿠라토프스키 정의는 순서쌍의 기본 성질을 만족하는 여러 변형이 존재한다. 다음은 그 예시들이다.

  • (a, b)_\text{reverse} := \{\{b\}, \{a, b\}\}
  • (a, b)_\text{short} := \{a, \{a, b\}\}
  • (a, b)_{01} := \{\{0, a\}, \{1, b\}\}[24]


`reverse` 정의는 쿠라토프스키 정의와 거의 동일하며, `short` 정의는 중괄호를 두 쌍만 사용한다는 특징이 있다. 하지만 `short` 정의는 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 필요로 하고, 자연수의 폰 노이만 정의를 따를 때 2 = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\} = (0, 0)_\text{short}와 같이 부자연스러운 결과를 낳는다는 단점이 있다.[12]

3. 4. 콰인-로서 정의

1953년 존 버클리 로서윌러드 밴 오먼 콰인의 정의를 확장하였다. 이 정의는 자연수의 선결적 정의를 필요로 한다.[14]

자연수의 집합을 \N이라 하고, 다음과 같이 함수 \sigma를 정의한다.

\sigma(x) := \begin{cases}

x, & \text{if }x \notin \N, \\

x+1, & \text{if }x \in \N.

\end{cases}

이 함수는 인수가 자연수이면 그 값을 1 증가시키고, 그렇지 않으면 그대로 둔다. 숫자 0은 \sigma의 치역에 나타나지 않는다.

x \setminus \N\N에 없는 x의 원소의 집합일 때, 다음과 같이 함수 \varphi를 정의한다.

\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \setminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.

이는 \sigma 아래에서의 집합 x의 집합상이다. 집합 ''x''에 함수 \varphi를 적용하면, 집합 내의 모든 자연수를 단순히 증가시킨다. \varphi(x)는 숫자 0을 포함하지 않으므로, 모든 집합 ''x''와 ''y''에 대해,

\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).

가 성립한다.

또한, 다음과 같이 \psi 함수를 정의한다.

\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.

\psi(x)는 항상 숫자 0을 포함한다.

순서쌍 (''A'', ''B'')는 다음과 같은 서로소 합집합으로 정의한다.

(A, B) := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.

0을 포함하지 않는 순서쌍의 모든 원소를 추출하고 \varphi를 되돌리면 ''A''가 얻어진다. 마찬가지로, 0을 포함하는 순서쌍의 원소로부터 ''B''를 복구할 수 있다.[15]

NF에서 이 정의를 사용하면 무한 공리를 유추할 수 있다.[16]

3. 5. 모스의 정의

모스-켈리 집합론에서는 고유 모임을 자유로이 사용할 수 있다.[19] 앤서니 모스는 순서쌍의 사영이 집합뿐만 아니라 고유 모임이 될 수 있도록 순서쌍을 정의하였다. (쿠라토프스키 정의는 이를 허용하지 않는다.) 그는 먼저 쿠라토프스키의 방식으로 사영이 집합인 순서쌍을 정의했다. 그런 다음 쌍을 다음과 같이 "재정의"했다.

(x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))

여기서 구성 요소 카테시안 곱은 집합의 쿠라토프스키 쌍이고,

s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} \mid t \in x\}

이다.

이것은 사영이 고유 모임인 쌍을 가능하게 한다.

4. 범주론

범주론에서 범주론적 ''A'' × ''B''는 첫 번째 원소가 ''A''에서, 두 번째 원소가 ''B''에서 오는 순서쌍의 집합을 나타낸다. 이 맥락에서 위의 특징은 곱의 보편 성질과 집합 ''X''의 원소를 1 (한 개의 원소 집합)에서 ''X''로의 사상으로 식별할 수 있다는 사실의 결과이다. 서로 다른 대상이 보편 성질을 가질 수 있지만, 그들은 모두 자연 동형이다.

집합 곱 ''X''1×''X''2에 대한 가환도표

참조

[1] 서적 Analysis / With an Introduction to Proof Pearson / Prentice Hall
[2] 서적 Sets, Functions and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics Chapman & Hall / CRC
[3] 서적 Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox W. H. Freeman and Co.
[4] 서적 Foundations of Higher Mathematics PWS-Kent
[5] 문서 '[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "[[Word and Object]]", section 53). The general notion of such definitions or implementations are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".'
[6] 웹사이트 Set-Theoretical Representations of Ordered Pairs and Their Adequacy for the Logic of Relations. https://www.academia[...]
[7] 문서 Wiener's paper "A Simplification of the logic of relations" is reprinted, together with a valuable commentary on pages 224ff in van Heijenoort, Jean (1967), ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979–1931'', Harvard University Press, Cambridge MA, {{isbn|0-674-32449-8}} (pbk.). van Heijenoort states the simplification this way: "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes".
[8] 문서 cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224
[9] 문서 cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observes that the resulting set that represents the ordered pair "has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)"; he offers references that show how, under certain circumstances, the type can be reduced to 1 or 0.
[10] 저널 Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles
[11] 문서 This differs from Hausdorff's definition in not requiring the two elements 0 and 1 to be distinct from ''a'' and ''b''.
[12] 문서 Tourlakis, George (2003) ''Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory''. Cambridge Univ. Press. Proposition III.10.1.
[13] 문서 For a formal [[Metamath]] proof of the adequacy of '''short''', see [http://us.metamath.org/mpegif/opthreg.html here (opthreg).] Also see Tourlakis (2003), Proposition III.10.1.
[14] 문서 '[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.'
[15] 웹사이트 Holmes, M. Randall: ''[https://web.archive.org/web/20180416202817/http://math.boisestate.edu/~best/best18/Talks/holmes_best18.pdf On Ordered Pairs]'', on: Boise State, March 29, 2009. The author uses \sigma_1 for \varphi and \sigma_2 for \psi. https://randall-holm[...]
[16] 웹사이트 Holmes, M. Randall (1998) ''[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf Elementary Set Theory with a Universal Set] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110411041046/http://math.boisestate.edu/%7Eholmes/holmes/head.pdf |date=2011-04-11 }}''. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web.
[17] 서적 Grundgesetze der Arithmetik https://korpora.zim.[...] Verlag Hermann Pohle
[18] 서적 Set Theory From Cantor to Cohen http://math.bu.edu/p[...] Elsevier BV
[19] 서적 A Theory of Sets https://archive.org/[...] Academic Press
[20] 서적 Word and Object https://archive.org/[...]
[21] 서적 Reasoning about theoretical entities https://archive.org/[...]
[22] 학위논문 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic
[23] 저널 Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles http://matwbn.icm.ed[...] 2015-08-10
[24] 문서 이는 0, 1(0 ≠ 1)이 ''a'', ''b''와 다를 것을 요구하지 않는다는 점에서 하우스도르프의 정의와 다른 정의이다.
[25] 문서 첫 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 c\in a,\,a\in c인 두 집합 a,c는 존재하지 않는다. 두 번째 별표에서, 정칙성 공리에 의해 b,d 모두 a에 속하지 않는다.



본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com