순수 스피너

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 클리포드 대수와 스피너
- 2.2. 순수 스피너의 정의
3. 성질
- 3.1. 카르탕 사상
- 3.2. 카르탕 관계
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

순수 스피너는 유한 짝수 차원 복소수 벡터 공간과 이차 형식이 주어졌을 때 정의되는 개념으로, 클리포드 대수의 왼쪽 가군 M의 원소 중 특정 조건을 만족하는 스피너를 의미한다. 순수 스피너는 스피너를 소멸시키는 벡터들의 공간의 차원이 최대일 때 정의되며, 사영화까지 고려한 순수 스피너는 사영 순수 스피너라고 한다. 사영 순수 스피너 공간은 균질 공간으로 표현되며, 카르탕 사상과 카르탕 관계를 통해 특성 지어진다. 순수 스피너는 초대칭 양-밀스 이론, 끈 이론, 일반화된 칼라비-야우 다양체, 그리고 가적분 계층과 같은 다양한 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

스피너 - 디랙 방정식
디랙 방정식은 폴 디랙이 도입한 스핀 1/2 입자의 운동을 기술하는 상대론적 양자역학의 선형 편미분 방정식으로, 상대론적 효과와 전자의 스핀을 결합하여 양전자의 존재를 예측하는 데 기여했으며 양자장론의 기본 방정식으로 널리 활용된다.
스피너 - 피어츠 항등식
피어츠 항등식은 디랙 스피너와 바일 스피너의 곱셈 결과를 나타내는 관계식으로, 디랙 스피너는 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라 간의 곱셈 결과를 표로 나타내며, 바일 스피너는 반가환성을 만족하는 특정 형태를 가진다.
표현론 - 매케이 화살집
매케이 화살집은 유한군 G의 기약 표현을 꼭짓점으로, 텐서곱 분해를 통해 변을 정의하여 군의 표현론적 구조를 시각적으로 나타내는 도구이다.
표현론 - 보렐-베유-보트 정리
보렐-베유-보트 정리는 복소수 반단순 리 군의 표현론에서 층 코호몰로지를 사용하여 리 군의 기약 표현을 설명하며, 보렐-베유 정리와 보트의 일반화를 포함한다.
끈 이론 - 중력자
중력자는 중력 상호작용을 매개하는 가상의 기본 입자로 여겨지지만, 양자화된 일반 상대성 이론의 문제로 인해 완전한 이론이 확립되지 않았으며, 중력파의 존재가 간접적으로 뒷받침하지만 직접적인 검출은 현재 불가능하고 질량에 대한 상한선이 제시되고 있으며 초대칭 파트너인 그라비티노의 존재가 예측된다.
끈 이론 - 잡종 끈 이론
잡종 끈 이론은 닫힌 끈의 왼쪽 진동 모드는 보손 끈, 오른쪽 진동 모드는 초끈으로 전개하며, 10차원 시공간에서 E₈×E₈ 또는 SO(32) 게이지 군을 갖는 끈 이론이다.

순수 스피너
순수 스피너
개요
유형	스피너
정의	클리포드 대수를 사용하여 구성된 스피너 종류
관련 개념	스피너 클리포드 대수 준 복소 다양체
상세 내용
성질	클리포드 대수와 밀접하게 연관됨 짝수 차원에서는 바일 스피너로, 홀수 차원에서는 디랙 스피너로 표현 가능
응용	끈 이론 초중력 이론 게이지 이론 솔리톤 방정식 일반화된 칼라비-야우 다양체
역사	엘리 카르탕에 의해 처음 연구됨 클로드 슈발리에 의해 대수적 이론으로 발전됨
참고 문헌	카르탕, "The theory of spinors" (1938) 슈발리, "The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras" (1954) 펜로즈, "Spinors and Space-Time" (1986) 위튼, "Twistor-like transform in ten dimensions" (1986) 하르나드, "Constraints and Field Equations for Ten Dimensional Super Yang-Mills Theory" (1986) 히친, "Generalized Calabi-Yau manifolds" (2003) 괄티에리, "Generalized complex geometry" (2011) 다테, "Transformation groups for soliton equations IV. A new hierarchy of soliton equations of KP type" (1982) 다테, "Transformation groups for soliton equations" (1983) 발로흐, "Isotropic Grassmannians, Plücker and Cartan maps" (2021)

2. 정의

순수 스피너는 복소수 벡터 공간과 그 위에 정의된 이차 형식을 통해 정의되는 클리포드 대수의 원소이다. 주어진 스피너를 소멸시키는 벡터들의 공간의 차원이 최대일 때, 해당 스피너를 순수 스피너라고 한다.

유한 짝수 차원 복소수 벡터 공간 $V=\mathbb C^{2n}$ 과 이차 형식 $Q\colon V\to\mathbb C$ 가 주어졌을 때, 복소수 클리포드 대수 $\operatorname{Cliff}(V,Q)$ 를 정의할 수 있다. 클리포드 대수 $\operatorname{Cliff}(V,Q)$ 의 왼쪽 가군 $M$ 을 생각하자. $M$ 이 $2n$ 차원 시공간의 (왼손 또는 오른손) 바일 스피너들의 공간이라고 할 때, 임의의 원소 $\psi\in M$ 에 대하여, $\{v\in V\colon v\psi = 0\}\subseteq V$ 를 생각할 수 있다. 이는 $V$ 의 부분 벡터 공간이다.

이때,

: $\dim_{\mathbb C}\{v\in V\colon v\psi\} \in \{0, 1,\dotsc,n\}$

이다. 만약

: $\dim_{\mathbb C} \{v\in V\colon v\psi = 0\} = n$

이면, $\psi$ 를 순수 스피너라고 한다.

2. 1. 클리포드 대수와 스피너

짝수 또는 홀수 차원의 복소수 벡터 공간

V

와 그 위에 정의된 비퇴화 복소수 스칼라 곱

Q

를 이용하여 클리포드 대수

Cl(V, Q)

를 구성할 수 있다.

Cl(V, Q)

는

V

에 대한 전체 텐서 대수의 몫으로, 다음 관계식에 의해 생성된 아이디얼로 나눈 것이다.

::

u\otimes v + v \otimes u = 2 Q(u,v), \quad \forall \ u, v \in V.

^[1]

스피너는 클리포드 대수의 모듈이므로,

V

의 원소가 스피너 공간에 작용한다. 주어진 비영 스피너

\psi

를 소멸시키는 복소 부분 공간

V^0_\psi \subset V

는 차원

m \le n

을 갖는다. 만약

m=n

이면

\psi

를 '''순수 스피너'''라고 한다. 스핀 군

Spin(V,Q)

의 궤도에 의한 스피너 모듈의 층화를 통해 볼 때, 순수 스피너는 가장 작은 궤도에 해당하며, 이는 기약 스피너 (또는 반스피너) 모듈에서 스피너 표현의 궤도 유형에 의한 층화의 쉴로프 경계이다.^[1]

사영화까지 정의되는 순수 스피너를 '''사영 순수 스피너'''라고 한다. 짝수 차원

2n

의

V

에 대해, 사영 순수 스피너 공간은 균질 공간

SO(2n)/U(n)

이고, 홀수 차원

2n+1

의

V

에 대해,

SO(2n+1)/U(n)

이다.^[1]

카르탕^[1]과 슈발레에 따르면,

V

를 다음과 같은 직합으로 볼 수 있다.

::

V= V_n \oplus V_n^*\ \text{ 또는 }\  V= V_n \oplus V_n^*\oplus\mathbf{C},

여기서

V_n\subset V

는 차원이

n

인 완전 등방 부분 공간이고,

V^*_n

은 이중 공간이며, 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.

::

Q(v_1 + w_1,v_2 + w_2) := w_2(v_1) + w_1(v_2),\quad v_1, v_2 \in V_n, \  w_1, w_2 \in V^*_n,

또는

::

Q(v_1 + w_1 + a_1,v_2 + w_2+a_2) := w_2(v_1) + w_1(v_2) + a_1 a_2,\quad a_1, a_2 \in \mathbf{C},

기약 클리포드/스피너 모듈

\Lambda(V_n)

의 자기 사상으로서 클리포드 대수 표현

\Gamma_X \in \mathrm{End}(\Lambda(V_n))

는 선형 요소

X\in V

에 의해 생성되며, 이는 다음과 같이 작용한다.

::

\Gamma_v(\psi) = v \wedge \psi \ \text{ (쐐기 곱) } \ \text {for } v \in V_n \ \text{ and }   \Gamma_w(\psi) = \iota(w) \psi \ \text{ (내적) } \text{for}\ w \in V^*_n,

V= V_n \oplus V_n^*

또는

V= V_n \oplus V_n^*\oplus\mathbf{C}

에 대해, 그리고

::

\Gamma_a \psi = (-1)^p a\ \psi, \quad a \in \mathbf{C}, \  \psi \in \Lambda^p(V_n),

(

V= V_n \oplus V_n^*\oplus\mathbf{C}

에 대해,

\psi

의 차수가

p

일 때.)

2. 2. 순수 스피너의 정의

주어진 비영 스피너

\psi

에 대하여,

\psi

를 소멸시키는 복소 부분 공간

V^0_\psi \subset V

의 차원이 최대일 때, 즉

m=n

일 때

\psi

를 순수 스피너라고 한다.^[1] 사영 순수 스피너는 사영화까지 고려한 순수 스피너를 의미한다.

좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다.

유한 짝수 차원 복소수 벡터 공간

V=\mathbb C^{2n}

과 이차 형식

Q\colon V\to\mathbb C

가 주어졌을 때, 복소수 클리퍼드 대수

\operatorname{Cliff}(V,Q)

를 정의할 수 있다.

M

이

2n

차원 시공간의 바일 스피너들의 공간이라고 하면, 임의의 원소

\psi\in M

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\dim_{\mathbb C}\{v\in V\colon v\psi\} \in \{0, 1,\dotsc,n\}

만약

:

\dim_{\mathbb C} \{v\in V\colon v\psi = 0\} = n

이면,

\psi

를 순수 스피너라고 한다.

스피너는 클리퍼드 대수의 모듈이므로,

V

의 원소가 스피너 공간에 작용한다. 주어진 비영 스피너

\psi

를 소멸시키는 복소 부분 공간

V^0_\psi \subset V

는 차원

m \le n

을 갖는다. 만약

m=n

이면

\psi

를 '''순수 스피너'''라고 한다.

짝수 차원

2n

의

V

에 대해, 사영 순수 스피너 공간은 균질 공간

SO(2n)/U(n)

이고, 홀수 차원

2n+1

의

V

에 대해,

SO(2n+1)/U(n)

이다.

3. 성질

스피너는 클리포드 대수의 모듈이므로, $V$ 의 원소가 스피너 공간에 작용한다. 주어진 비영 스피너 $\psi$ 를 소멸시키는 복소 부분 공간 $V^0_\psi \subset V$ 의 차원은 $m \le n$ 이다. 만약 $m=n$ 이면 $\psi$ 를 '''순수 스피너'''라고 한다. 스핀 군 $Spin(V,Q)$ 의 궤도에 의한 스피너 모듈의 층화를 통해 볼 때, 순수 스피너는 가장 작은 궤도에 해당하며, 이는 기약 스피너 (또는 반스피너) 모듈에서 스피너 표현의 궤도 유형에 의한 층화의 쉴로프 경계이다.

사영화까지 정의되는 순수 스피너를 '''사영 순수 스피너'''라고 한다. 짝수 차원 $2n$ 의 $V$ 에 대해, 사영 순수 스피너 공간은 균질 공간 $SO(2n)/U(n)$ 이고, 홀수 차원 $2n+1$ 의 $V$ 에 대해서는 $SO(2n+1)/U(n)$ 이다.

$V$ 의 $n$ 차원 부분 복소수 벡터 공간이 주어졌을 때, 그 작용이 0인 순수 스피너의 복소수 1차원 공간(즉, 사영 순수 스피너)이 유일하게 존재한다. 이는 사영 순수 스피너와 $V$ 의 $n$ 차원 부분 공간의 그라스만 다양체

: $\frac{\operatorname{SO}(2n;\mathbb R)}{\operatorname U(n)}$

사이의 동형을 정의한다. 사영 순수 스피너의 모듈러스 공간은 위와 같은 동차 공간이며, 순수 스피너의 복소수 벡터 공간은

: $\frac12\dim_{\mathbb R}\left(\frac{\operatorname{SO}(2n;\mathbb R)}{\operatorname U(n)}\right) + 1 = \frac{n(n-1)}2 + 1$

이다.

3. 1. 카르탕 사상

카르탕 사상^[2]^[11]^[12]은 최대 등방 부분 공간의 그라스만 다양체

\mathbf{Gr}^0_n(V, Q)

에서 사영 스피너 공간

\mathbf{P}(\Lambda (V_n))

으로의 사상이다.^[1] 이 사상은 기저

(X_1, \dots, X_n)

을 갖는 모든 원소

w\in  \mathbf{Gr}^0_n(V, Q)

에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{Ca}(w): = \mathrm{Im}(\Gamma_{X_1}\cdots \Gamma_{X_n});

즉, 클리포드 표현 자기사상의 곱을 취하여 형성된 자기사상에 따른

\Lambda (V_n)

의 이미지

\{\Gamma_{X_i} \in \mathrm{End}(\Lambda (V_n))\}_{i=1, \dots, n}

이며, 기저

(X_1, \cdots , X_n)

의 선택에 의존하지 않는다. 이는 등방 조건

:

Q(X_i, X_j) =0, \quad 1\le i, j \le n,

으로 인해

1

-차원 부분 공간이다. 위 식은 다음과 동치이다.

:

\Gamma_{X_i} \Gamma_{X_j} + \Gamma_{X_j} \Gamma_{X_i}=0, \quad 1\le i, j \le n,

따라서

\mathbf{Ca}(w)

는 기약 클리포드 가군

\Lambda (V_n)

의 사영화

\mathbf{P}(\Lambda (V_n))

의 원소를 정의한다. 등방 조건에서, 스피너

\psi \in \Lambda(V_n)

의 사영 클래스

[\psi]

가

\mathbf{Ca}(w)

의 이미지에 있고

X\in w

이면,

:

\Gamma_X(\psi) =0.

이다. 따라서

[\psi]\in \mathbf{Ca}(w)

인 모든 스피너

\psi

는 클리포드 표현 하에서

w

의 모든 원소에 의해 소멸된다. 반대로, 모든

X \in w

에 대해

\Gamma_X

에 의해

\psi

가 소멸되면

[\psi]\in \mathbf{Ca}(w)

이다.

V = V_n \oplus V^*_n

이 짝수 차원인 경우, 등방 그래스만 다양체

\mathbf{Gr}^0_n(V, Q)

에는 두 개의 연결된 성분이 있으며, 이는

\mathbf{Ca}

에 따라 직접 합 분해에서 두 개의 반스피너 부분 공간

\Lambda^+(V_n) ,  \Lambda^-(V_n)

으로 매핑된다.

:

\Lambda(V_n) =  \Lambda^+(V_n) \oplus \Lambda^-(V_n),

여기서

\Lambda^+(V_n)

및

\Lambda^-(V_n)

는 각각

\Lambda^(V_n)

의 짝수 및 홀수 차수 원소로 구성된다.

3. 2. 카르탕 관계

순수 스피너

\psi

는 카르탕 관계라고 불리는 일련의 이차 방정식을 만족한다.^[2]^[11]^[12] 이 관계는 스피너 모듈

\Lambda(V_n)

에 대한 쌍선형 형식

\beta_m

의 소멸 조건으로 표현된다.

:

\beta_m(\psi, \psi) =0 \quad \forall\  m \equiv n \mod(4), \quad 0\le m <  n

카르탕 관계의 수는 독립적인 이차 제약 조건의 수를 결정한다.

\,V\,

가 짝수 차원

2n

일 때

\,V\,

의 최대 등방 부분 공간의 그래스만 다양체의 차원은

\,\tfrac{1}{2}\,n (n-1)\,

이고,

\,V\,

가 홀수 차원

2n +1

일 때

\,\tfrac{1}{2}\,n (n+1)\,

이다. 카르탕 사상은

\,V\,

가 짝수 차원일 때는 반 스피너 모듈의 사영화 내에서, 홀수 차원일 때는 기약 스피너 모듈 내에서 연결 성분의 포함이므로, 독립적인 이차 제약 조건의 수는 다음과 같다.

$\,2n\,$ 차원: $2^{n-1} - \tfrac{1}{2}\,n(n-1) - 1$
$\,2n + 1\,$ 차원: $2^n - \tfrac{1}{2}\,n(n+1) - 1$

예를 들어 10차원에서는 다음과 같은 10개의 제약 조건이 존재한다.

:

\psi \; \Gamma_\mu \, \psi = 0~, \quad \mu= 1, \dots, 10,

여기서

\,\Gamma_\mu\,

는 클리포드 대수를 생성하는

\,\mathbb{C}^{10}\,

의 벡터를 나타내는 감마 행렬이다. 그러나 이 중 5개만 독립적이다.

4. 예

낮은 차원에서는 다음과 같은 순수 스피너들이 존재한다.

차원	바일 스피너 성분 수	순수 스피너 조건
6차원 이하	모든 바일 스피너가 순수 스피너
8차원	8개의 복소수 성분	7차원 부분 공간
10차원	16개의 복소수 성분	11차원 부분 공간

5. 응용

순수 스피너는 여러 분야에서 응용되고 있다.

초대칭 양-밀스 이론: d^영어=10차원, N^영어=1 초대칭 양-밀스 이론에서 슈퍼-앰비트위스터 대응은 초대칭 장 방정식과 슈퍼 널 라인을 따라 슈퍼곡률이 소멸하는 것 사이의 동치 관계로 구성된다.^[2] 이때 슈퍼 널 라인은 (1 | 16)^영어 차원을 가지며, 16개의 그래스만 차원은 순수 스피너에 해당한다.
끈 이론: 네이선 버코비츠는 끈 양자화에 순수 스피너를 도입했다.^[13] 나이젤 히친은 순수 스피너로 정의되는 일반화된 복소 구조를 갖는 일반화된 칼라비-야우 다양체를 도입했다.^[14] 이 공간은 끈 이론에서 플럭스 콤팩트화의 기하학을 설명한다.
가적분계: 미키오 사토 연구진이 개발한 가적분 계층 접근 방식에서, 계층 방정식은 무한 차원 그라스만 다양체에서 교환 흐름에 대한 적합 조건으로 간주된다.^[15]^[16]^[17] 카르탄 사상에서, 사영 순수 스피너는 힐베르트 공간의 최대 등방 부분 공간으로 구성된 무한 차원 그라스만 다양체의 요소와 같다. 이들은 BKP 가적분 계층의 해를 위한 모듈 역할을 하며,^[8]^[9]^[10] 관련된 BKP 타우 함수를 매개변수화한다. 또한 카르탄 사상 대응에서 무한 차원 프레드홀름 파프로 표현될 수 있다.^[10]

5. 1. 초대칭 양-밀스 이론

d^영어=10차원, N^영어=1 초대칭 양-밀스 이론에서, '''슈퍼-앰비트위스터''' 대응^[2]은 초대칭 장 방정식과 '''슈퍼 널 라인'''을 따라 슈퍼곡률이 소멸하는 것 사이의 동치 관계로 구성되며, 이 라인은 (1 | 16)^영어 차원을 갖는다. 여기서 16개의 그래스만 차원은 순수 스피너에 해당한다. 차원 축소를 통해 d^영어=6, N^영어=2 및 d^영어=4, N^영어=3 또는 N^영어=4에 대한 해당 결과를 얻을 수 있다.

5. 2. 끈 이론과 일반화된 칼라비-야우 다양체

순수 스피너는 네이선 버코비츠(Nathan Berkovits)에 의해 끈 양자화에 도입되었다.^[13] 나이젤 히친^[14]은 일반화된 칼라비-야우 다양체를 도입했는데, 여기서 일반화된 복소 구조는 순수 스피너에 의해 정의된다. 이러한 공간은 끈 이론의 플럭스 콤팩트화의 기하학을 설명한다.

5. 3. 가적분계

미키오 사토와 그의 제자들이 개발한 가적분 계층 접근 방식에서, 계층의 방정식은 무한 차원 그라스만 다양체에서 교환 흐름에 대한 적합 조건으로 간주된다.^[15]^[16]^[17] (무한 차원) '''카르탄 사상''' 하에서, 사영 순수 스피너는 적절하게 정의된 복소 내적 하에서 힐베르트 공간의 최대 등방 부분 공간으로 구성된 무한 차원 그라스만 다양체의 요소와 동등하다. 따라서 이들은 BKP 가적분 계층의 해를 위한 모듈 역할을 하며,^[8]^[9]^[10] 흐름에 대한 생성 함수인 관련된 BKP 타우 함수를 매개변수화한다. '''카르탄 사상''' 대응 하에서, 이들은 무한 차원 프레드홀름 파프로 표현될 수 있다.^[10]

참조

_[1] 서적 The theory of spinors https://books.google[...] Dover Publications
_[2] 서적 The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras Columbia University Press (1954); Springer (1996)
_[3] 서적 Spinors and Space-Time Cambridge University Press
_[4] 논문 Twistor-like transform in ten dimensions
_[5] 논문 Constraints and Field Equations for Ten Dimensional Super Yang-Mills Theory http://projecteuclid[...]
_[6] 논문 Generalized Calabi-Yau manifolds
_[7] 논문 Generalized complex geometry
_[8] 논문 Transformation groups for soliton equations IV. A new hierarchy of soliton equations of KP type
_[9] 논문 Transformation groups for soliton equations World Scientific (Singapore)
_[10] 논문 Isotropic Grassmannians, Plücker and Cartan maps
_[11] 논문 Isotropic geometry and twistors in higher dimensions. I. The generalized Klein correspondence and spinor flags in even dimensions
_[12] 논문 Isotropic geometry and twistors in higher dimensions. II. Odd dimensions, reality conditions, and twistor superspaces
_[13] 논문 Super-Poincare Covariant Quantization of the Superstring
_[14] 논문 Generalized Calabi-Yau manifolds
_[15] 논문 Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds
_[16] 논문 Operator Approach to the Kadomtsev-Petviashvili Equation–Transformation Groups for Soliton Equations III– Physical Society of Japan
_[17] 논문 Solitons and infinite-dimensional Lie algebras European Mathematical Society Publishing House

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com