맨위로가기

야코비-앙거 전개

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

야코비-앙거 전개는 베셀 함수를 사용하여 삼각 함수를 표현하는 방법이다. 실수 값을 갖는 변수에 대한 여러 표현식이 존재하며, 코사인 함수와 사인 함수를 베셀 함수의 합으로 나타낸다. 또한, Sung Series라고 불리는, 베셀 함수의 합으로 표현되는 여러 공식들이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 항등식 - 오일러 공식
    오일러 공식은 임의의 실수 x에 대해 e^{ix} = \cos x + i\sin x가 성립함을 나타내는 수학 공식으로, 지수 함수와 삼각 함수 사이의 관계를 보여주며 복소 평면에서의 회전 기술, 복소수 극형식 표현 등에 활용된다.
  • 항등식 - 피어츠 항등식
    피어츠 항등식은 디랙 스피너와 바일 스피너의 곱셈 결과를 나타내는 관계식으로, 디랙 스피너는 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라 간의 곱셈 결과를 표로 나타내며, 바일 스피너는 반가환성을 만족하는 특정 형태를 가진다.
  • 특수 함수 - 람베르트 W 함수
    람베르트 W 함수는 we^w = z를 만족하는 w를 찾는 람베르트 이름을 딴 역함수 관계를 가지며, 여러 분야에서 지수 함수 방정식을 푸는 데 응용되는 무한히 많은 가지를 가진 함수이다.
  • 특수 함수 - 감마 함수
    감마 함수는 양의 실수부를 갖는 복소수 z에 대해 오일러 적분으로 정의되고 해석적 연속을 통해 복소평면 전체로 확장된 팩토리얼 함수의 일반화로서, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되며 여러 표현과 성질을 가진다.
야코비-앙거 전개
야코비-앙거 전개
유형수학
분야삼각 함수, 베셀 함수
발견자카를 구스타프 야코프 야코비, 카를 테오도어 앙거
공식
전개식e^(iz cos(θ)) = Σ_(n=-∞)^∞ i^n J_n(z) e^(inθ)
또 다른 전개식e^(iz sin(θ)) = Σ_(n=-∞)^∞ J_n(z) e^(inθ)
관련 공식
관련 공식J_n(z) = (1/π) ∫_0^π cos(nτ - z sin(τ)) dτ

2. 실수 값 표현

베셀 함수는 복소수 변수에 대해 정의되지만, 실수 값을 갖는 변수에 대한 표현도 자주 사용된다.

다음과 같은 실수 값의 변형도 자주 사용된다.

:

\begin{align}

\cos(z \cos \theta) &\equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

\\

\sin(z \cos \theta) &\equiv -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],

\\

\cos(z \sin \theta) &\equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

\\

\sin(z \sin \theta) &\equiv 2 \sum_{ n=1 }^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].

\end{align}



마찬가지로 유용한 Sung Series의 표현식은 다음과 같다.

:

\begin{align}

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_\nu(x) &= 1,

\\

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{2 \nu}(x) &= 1,

\\

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{3 \nu}(x) &= \frac{1}{3} \left[1+2\cos{\frac{x\sqrt{3}}{2}}\right],

\\

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{4 \nu}(x) &= \cos^2\left(\frac{x}{2}\right).

\end{align}


2. 1. 삼각함수를 이용한 표현

다음과 같은 실수 값의 변형도 자주 사용된다.

:\cos(z \cos \theta) \equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

:\sin(z \cos \theta) \equiv -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],

:\cos(z \sin \theta) \equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

:\sin(z \sin \theta) \equiv 2 \sum_{ n=1 }^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].

마찬가지로 유용한 Sung Series의 표현식은 다음과 같다.

:\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_\nu(x) = 1,

:\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{2 \nu}(x) = 1,

:\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{3 \nu}(x) = \frac{1}{3} \left[1+2\cos{\frac{x\sqrt{3}}{2}}\right],

:\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{4 \nu}(x) = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right).

2. 1. 1. 코사인 함수의 베셀 함수 표현

wikitext

다음과 같은 실수 값의 변형도 자주 사용된다.

:\cos(z \cos \theta) \equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

:\cos(z \sin \theta) \equiv J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),

2. 1. 2. 사인 함수의 베셀 함수 표현

wikitext

다음과 같은 실수 값의 변형도 자주 사용된다.

:\sin(z \cos \theta) \equiv -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right]

:\sin(z \sin \theta) \equiv 2 \sum_{ n=1 }^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right]

2. 2. Sung Series

2. 2. 1. 일반적인 Sung Series

(일반적인 Sung Series에 대한 내용은 원본 소스에 제공되지 않았습니다.)

2. 2. 2. 짝수 차수 Sung Series

Sung Series영어 공식은 다음과 같다.

:\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{2 \nu}(x) = 1

여기서, J_{2\nu}(x)는 짝수 차수 베셀 함수이다.

2. 2. 3. 3차 Sung Series

주어진 원본 소스(source)가 비어있으므로, 요약(summary)에 제시된 정보만을 사용하여 야코비-앙거 전개(title)의 3차 Sung Series(sectionTitle) 섹션 내용을 작성하겠습니다.

```text

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{3 \nu}(x)에 대한 Sung Series 공식은 다음과 같다.

2. 2. 4. 4차 Sung Series

주어진 원본 소스(source)가 비어있으므로, 요약(summary)에 있는 정보만을 사용하여 위키텍스트를 작성합니다.

```text

\sum_{\nu=-\infty}^\infty J_{4 \nu}(x)에 대한 Sung Series 공식이 있다.

참조

[1] 서적 1998
[2] 서적 2008
[3] 서적 http://www.math.sfu.[...] 1965
[4] 논문 On Infinite Series of Bessel functions of the First Kind
[5] 간행물 A treatise on the theory of bessel functions
[6] 서적 Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory Applied Mathematical Sciences (Book 93) 1998
[7] 서적 Handbook of continued fractions for special functions Springer 2008
[8] 서적 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables http://www.math.sfu.[...] Dover, New York 1965


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com