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언더샘플링

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목차

1. 개요

언더샘플링은 대역 통과 신호를 나이키스트 주파수보다 낮은 주파수로 샘플링하는 기술이다. 언더샘플링을 통해 신호를 복원할 수 있으며, 샘플링 주파수는 신호의 최저 및 최고 주파수, 그리고 정수 n에 따라 결정된다. 언더샘플링 시에는 안티-앨리어싱 필터로 대역 통과 필터를 사용해야 한다. 언더샘플링은 라디오 주파수 신호 처리, 필터 뱅크 등에 활용되며, FM 라디오 신호 처리의 예시를 통해 언더샘플링 조건을 구체적으로 설명한다.

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언더샘플링
신호 처리 샘플링 기법
다른 뜻과소 표집
영어Undersampling
설명신호 처리 샘플링 기법
관련 서적title: 혼합 신호 및 DSP 설계 기술
author: Walt Kester
publisher: Newnes
year: 2003
isbn: 978-0-7506-7611-3
page: 20
url: 혼합 신호 및 DSP 설계 기술 (구글 도서)

2. 샘플링 이론

샘플링은 연속 신호를 이산 신호로 변환하는 과정으로, 신호 처리의 핵심적인 단계이다. 실수 값을 갖는 함수의 푸리에 변환은 0 Hz 축을 중심으로 대칭이다. 샘플링 후에는 푸리에 변환의 주기적 합(이산 시간 푸리에 변환이라고 함)만 사용할 수 있다. 원래 변환의 개별 주파수 이동 복사본을 "별칭"이라고 하며, 인접한 별칭 간의 주파수 오프셋은 샘플링 속도 ''fs''로 표시된다.[2][3]

나이키스트-섀넌 샘플링 정리에서는 베이스밴드 신호에 대해 다루고, 언더샘플링에서는 대역 통과 신호에 대해 다룬다.

2. 1. 나이키스트-섀넌 샘플링 정리

나이키스트-섀넌 샘플링 정리에 따르면, 베이스밴드 신호는 신호에 포함된 가장 높은 주파수의 2배 이상으로 샘플링해야 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다.[2][3]

하지만, 라디오의 중간 주파수(IF), 무선 주파수(RF) 신호, 필터 뱅크의 개별 채널처럼 대역 통과 신호는 언더샘플링, 즉 나이키스트 속도(가장 높은 주파수의 2배)보다 낮은 샘플링 속도를 사용할 수 있다.

언더샘플링 조건은 다음과 같다.

:\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}, 여기서 1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor 를 만족하는 정수 ''n''

  • ''fL'': 신호의 가장 낮은 주파수
  • ''fH'': 신호의 가장 높은 주파수
  • ''fs'': 샘플링 속도


예를 들어, FM 라디오 신호(88 MHz ~ 108 MHz)를 언더샘플링하는 경우, ''n''은 1, 2, 3, 4, 5가 될 수 있다. ''n'' = 5일 때 가장 낮은 샘플링 주파수 간격(43.2 MHz < ''fs'' < 44 MHz)을 얻는다.

언더샘플링 시에는 안티-앨리어싱 필터로 로우패스 필터 대신 대역 통과 필터가 필요하다.

2. 2. 언더샘플링 (대역 통과 샘플링)

실수 값을 갖는 함수의 푸리에 변환은 0 Hz 축을 중심으로 대칭이다. 샘플링 후에는 푸리에 변환의 주기적 합(이산 시간 푸리에 변환이라고 함)만 사용할 수 있다. 원래 변환의 개별 주파수 이동 복사본을 "별칭"이라고 한다. 인접한 별칭 간의 주파수 오프셋은 샘플링 속도이며, ''fs''로 표시된다.[2][3]

대역 통과 함수의 주파수 프로파일은 밴드 (''A'', ''A''+''B'') (파란색 음영) 및 미러 이미지 (베이지색 음영)를 차지한다. 파괴적이지 않은 샘플 속도의 조건은 ''fs''의 모든 정수 배수로 이동했을 때 두 밴드의 별칭이 겹치지 않아야 한다는 것이다. 중첩을 피하는 모든 속도는 다음의 일반적인 기준에 의해 제공되며, 여기서 ''A'' 및 ''A''+''B''는 각각 ''fL'' 및 ''fH''로 대체된다.

:\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}, 모든 정수 ''n''에 대해 다음을 만족한다: 1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor[2][3]

조건이 충족되는 가장 높은 ''n''은 가능한 가장 낮은 샘플링 속도를 초래한다. 이러한 종류의 중요한 신호에는 라디오의 중간 주파수 (IF), 무선 주파수 (RF) 신호 및 필터 뱅크의 개별 ''채널''이 포함된다.

만약 ''n'' > 1이면, 이러한 조건은 때때로 ''언더샘플링'', ''대역 통과 샘플링'' 또는 나이키스트 속도 (2''fH'')보다 작은 샘플링 속도 사용이라고 한다.





'''예시:''' FM 라디오를 이용하여 언더샘플링을 설명한다.

미국에서 FM 라디오는 ''fL'' = 88 MHz에서 ''fH'' = 108 MHz까지의 주파수 대역에서 작동한다. 대역폭은 다음과 같다.

: W = f_H - f_L = 108 \ \mathrm{MHz} - 88 \ \mathrm{MHz} = 20 \ \mathrm{MHz}

샘플링 조건은 다음에 대해 충족된다.

:1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

따라서 ''n''은 1, 2, 3, 4 또는 5가 될 수 있다.

''n'' = 5는 가장 낮은 샘플링 주파수 간격 43.2\ \mathrm{MHz}를 제공하며 이것은 언더샘플링 시나리오이다.

만약 대역이 ''n'' > 1로 샘플링되면, 안티-앨리어싱 필터에 대해 로우패스 필터 대신 대역 통과 필터가 필요하다.

3. 언더샘플링의 활용

언더샘플링은 RF 신호 처리, 필터 뱅크 등 다양한 분야에서 활용되어 시스템의 복잡성과 비용을 감소시킨다.[2][3]

3. 1. 라디오 주파수 (RF) 신호 처리

IF 및 RF 신호를 직접 디지털로 변환하여 시스템을 단순화한다.[2][3]

실수 값을 갖는 함수의 푸리에 변환은 0 Hz 축을 중심으로 대칭이며, 샘플링 후에는 푸리에 변환의 주기적 합(이산 시간 푸리에 변환)만 사용할 수 있다. 원래 변환에서 주파수가 이동된 복사본은 "별칭"이라고 불리며, 인접한 별칭 간의 주파수 오프셋은 샘플링 속도(''fs'')이다. 별칭이 스펙트럼적으로 서로 배타적일 때, 원래 변환 및 함수는 샘플에서 복구할 수 있다.

대역 통과 함수의 주파수 프로파일에서 파괴적이지 않은 샘플 속도의 조건은 ''fs''의 모든 정수 배수로 이동했을 때 두 밴드의 별칭이 겹치지 않아야 한다는 것이다. 이 속도는 ''A''의 정수 부분 배수이고 베이스밴드 나이키스트 기준을 만족하는 가장 낮은 속도를 찾아 선택되며, 결과적으로 대역 통과 함수는 효과적으로 베이스밴드로 변환된다. 중첩을 피하는 다른 모든 속도는 일반적인 기준에 의해 제공된다. 여기서 ''A'' 및 ''A''+''B''는 각각 ''fL'' 및 ''fH''로 대체된다.

:\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}, 모든 정수 ''n''에 대해 다음을 만족한다: 1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor

조건이 충족되는 가장 높은 ''n''은 가능한 가장 낮은 샘플링 속도를 초래한다. 이러한 종류의 중요한 신호에는 라디오의 중간 주파수 (IF), 무선 주파수 (RF) 신호 및 필터 뱅크의 개별 ''채널''이 포함된다. ''n'' > 1이면, 이러한 조건은 ''언더샘플링'', ''대역 통과 샘플링'' 또는 나이키스트 속도 (2''fH'')보다 작은 샘플링 속도 사용이라고 한다.

'''예시:''' FM 라디오를 이용해 언더샘플링을 설명하면 다음과 같다.

미국에서 FM 라디오는 ''fL'' = 88 MHz에서 ''fH'' = 108 MHz까지의 주파수 대역에서 작동하며, 대역폭은 다음과 같다.

: W = f_H - f_L = 108 \ \mathrm{MHz} - 88 \ \mathrm{MHz} = 20 \ \mathrm{MHz}

샘플링 조건은 다음에 대해 충족된다.

:1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

따라서 ''n''은 1, 2, 3, 4 또는 5가 될 수 있다. ''n'' = 5는 가장 낮은 샘플링 주파수 간격 43.2\ \mathrm{MHz}를 제공하며, 이는 언더샘플링 시나리오이다. 이 경우, 신호 스펙트럼은 샘플링 속도의 2에서 2.5 배 사이에 맞는다. 더 낮은 값의 ''n''도 유용한 샘플링 속도를 초래한다. 예를 들어 ''n'' = 4를 사용하면 FM 밴드 스펙트럼이 샘플링 속도의 1.5에서 2.0 배 사이에서 쉽게 맞으며, 약 56 MHz의 샘플링 속도를 갖는다.

실제 신호를 언더샘플링할 때 샘플링 회로는 관심 있는 가장 높은 신호 주파수를 캡처할 수 있을 만큼 빨라야 한다. 이론적으로 각 샘플은 무한히 짧은 간격 동안 취해야 하지만 실제로는 불가능하다. 대신, 신호의 샘플링은 가장 높은 주파수를 갖는 신호의 순간적인 값을 나타낼 수 있을 만큼 짧은 간격으로 이루어져야 한다.

만약 샘플링 정리가 가장 높은 주파수의 두 배를 요구하는 것으로 해석된다면, 필요한 샘플링 속도는 216 MHz의 ''나이키스트 속도''보다 클 것으로 추정되지만, 과도하게 샘플링된다. 만약 대역이 ''n'' > 1로 샘플링되면, 안티-앨리어싱 필터에 대해 로우패스 필터 대신 대역 통과 필터가 필요하다.

가역 샘플링에 대한 정상적인 베이스밴드 조건은 다음과 같다: ''X''(''f'') = 간격 밖에서 0''':'''

  \scriptstyle \left(-\frac12f_\mathrm{s},\frac12f_\mathrm{s}\right),

언더샘플링을 수용하기 위해, 대역 통과 조건은 다음과 같다: ''X''(''f'') = 열린 양 및 음의 주파수 대역의 결합 밖에서 0

::

\left(-\frac{n}2f_\mathrm{s},-\frac{n-1}2f_\mathrm{s}\right)

\cup\left(\frac{n-1}2f_\mathrm{s},\frac{n}2f_\mathrm{s}\right)

양의 정수 n\,에 대해.

해당 보간 함수는 다음과 같은 로우패스 임펄스 응답의 차이에 의해 주어진 대역 통과 필터이다''':'''

::n\operatorname{sinc} \left(\frac{nt}T\right) - (n-1)\operatorname{sinc} \left( \frac{(n-1)t}T \right) .

샘플 시퀀스는 베이스밴드 근처로 주파수 이동된 신호의 일반적인 샘플로 취급될 수 있으며, 디지털 복조는 ''n''이 짝수일 때 스펙트럼 미러링을 인식하면서 해당 기준으로 진행될 수 있다.

3. 2. 필터 뱅크

필터 뱅크의 개별 채널은 중요한 신호에 해당하며, 이러한 채널들을 효율적으로 샘플링하여 처리할 수 있다.[2][3]

3. 3. FM 라디오 예시 (한국)

미국에서 FM 라디오는 frequency band|주파수 대역영어 ''fL'' = 88 MHz에서 ''fH'' = 108 MHz 사이에서 작동한다. 이 대역폭은 다음과 같이 계산된다.[2][3]

:W = f_H - f_L = 108\ \mathrm{MHz} - 88\ \mathrm{MHz} = 20\ \mathrm{MHz}

샘플링 조건은 다음과 같다.

:1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108\ \mathrm{MHz} \over 20\ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

따라서 ''n''은 1, 2, 3, 4, 5 중 하나가 될 수 있다.

''n'' = 5를 선택하면 가장 낮은 샘플링 주파수 간격인 43.2 MHz < ''fs'' < 44 MHz 를 얻을 수 있으며, 이는 언더샘플링에 해당한다. 이 경우 신호 스펙트럼은 샘플링 속도의 2배에서 2.5배 사이에 위치한다 (86.4–88 MHz보다 높고 108–110 MHz보다 낮음).

''n'' = 4를 선택하면 약 56 MHz의 샘플링 속도를 얻을 수 있으며, FM 밴드 스펙트럼은 샘플링 속도의 1.5배에서 2.0배 사이에 놓이게 된다.

실제 신호를 언더샘플링할 때는 샘플링 회로가 가장 높은 신호 주파수(이 경우 108 MHz)를 포착할 수 있을 만큼 빨라야 한다. 이론적으로 각 샘플은 매우 짧은 시간 동안 측정되어야 하지만, 실제로는 불가능하다. 따라서 신호 샘플링은 가장 높은 주파수를 가진 신호의 순간 값을 나타낼 수 있을 만큼 짧은 간격으로 이루어져야 한다. 즉, FM 라디오 예시에서 샘플링 회로는 43.2 MHz가 아닌 108 MHz 주파수의 신호를 포착할 수 있어야 한다.

결과적으로 샘플링 주파수는 43.2 MHz보다 약간 더 클 수 있지만, 시스템의 입력 대역폭은 최소 108 MHz를 확보해야 한다. 마찬가지로 샘플링 타이밍의 정확도(또는 샘플러의 애퍼처 불확실성, 주로 아날로그-디지털 변환기에서 발생)는 낮은 샘플 속도가 아닌, 샘플링되는 주파수(108 MHz)에 적합해야 한다.

만약 샘플링 정리가 가장 높은 주파수의 두 배를 요구하는 것으로 해석된다면, 필요한 샘플링 속도는 216MHz (나이키스트 속도)보다 커야 한다. 이는 샘플링 속도 조건을 만족하지만, 과도하게 샘플링하는 것이다.

4. 보간 함수

언더 샘플링된 신호를 복원할 때는 일반적인 sinc 함수가 아닌, 대역 통과 필터 형태의 보간 함수를 사용한다. 이 보간 함수는 다음과 같이 표현된다.[2][3]

:n\operatorname{sinc} \left(\frac{nt}T\right) - (n-1)\operatorname{sinc} \left( \frac{(n-1)t}T \right) .

5. 추가적인 고려 사항

주어진 원본 소스(`source`)가 비어있기 때문에 '추가적인 고려 사항' 섹션에 대한 내용을 작성할 수 없습니다. 원본 소스가 제공되면 해당 내용을 바탕으로 위키텍스트를 작성할 수 있습니다.

5. 1. 디지털 복조

언더 샘플링된 중간 주파수(IF) 또는 무선 주파수(RF) 신호는 주파수를 베이스밴드 근처로 이동시킨 후 디지털 복조를 통해 처리할 수 있다. 이 때, ''n''이 짝수일 경우에는 스펙트럼 미러링(주파수 반전)을 고려해야 한다.[2][3]

참조

[1] 서적 Mixed-signal and DSP design techniques https://books.google[...] Newnes
[2] 서적 Simulation and Software Radio for Mobile Communications https://books.google[...] Artech House
[3] 웹사이트 Undersampling SODAR Signals http://spazioscuola.[...]


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