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에르미트 수반

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목차

1. 개요

에르미트 수반은 선형 변환의 개념을 일반화한 것으로, 주어진 선형 변환 A에 대해 정의되는 선형 변환 A*를 의미한다. 힐베르트 공간이나 바나흐 공간과 같은 다양한 공간에서 정의될 수 있으며, 정의와 성질이 공간의 종류에 따라 조금씩 달라진다. 에르미트 수반은 대합성, 켤레 선형성 등의 성질을 가지며, 특히 자기 수반 연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 한다.

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에르미트 수반
개요
이름수반 연산자
분야함수 해석학
정의힐베르트 공간 사이의 선형 연산자
밀착 작용소
표기법
일반적인 표기A†
다른 표기A*
A+
성질
반선형성(A + B)† = A† + B†
반선형성 (스칼라 곱)(λA)† = λ*A†
반전(A†)† = A
항등 연산자I† = I
곱셈(AB)† = B†A†
역함수(A⁻¹)† = (A†)⁻¹
노름||A†|| = ||A||
자기 수반A = A† (에르미트 연산자)
관련 개념
관련 개념켤레 전치
에르미트 연산자
밀착 작용소

2. 정의

에르미트 수반은 주어진 선형 연산자에 대해 특정 관계를 만족하는 또 다른 선형 연산자이다.

\mathbb K가 실수체 또는 복소수체라고 할 때, 두 \mathbb K-바나흐 공간 V와 W 사이의 선형 변환 A\colon V\to W가 주어지면, A의 에르미트 수반 A^*\colon W'\to V'는 다음과 같이 정의된다.

:A^*\phi\colon v\mapsto \phi(Av)\qquad(\forall \phi\in W',\;v\in V)

여기서 V'와 W'은 연속 쌍대 공간을 의미한다.

만약 V나 W가 \mathbb K-힐베르트 공간이라면, V'\cong\bar V, W'\cong\bar V와 같은 동형 사상이 존재하여 에르미트 수반은 \bar W\to\bar V가 된다.

V의 조밀 부분 공간 D\subseteq V에 선형 변환 A\colon D\to W가 주어졌을 때, A^*\colon W'\to D'을 얻을 수 있다. 하지만, 공역을 V'으로 만들기 위해 정의역을 E\subseteq W'로 제한해야 한다.

E는 \phi\circ A가 유계 작용소가 되도록 하는 \phi\in W'들의 공간으로 정의된다.

:\phi\in E\iff

\|\phi\circ A\|=\sup_{v\in D\setminus\{0\}}\frac

{\|v\|_V}<\infty

한-바나흐 정리에 따라, A^*\colon E\to V'가 존재하며, 이를 A의 에르미트 수반이라고 한다.

2. 1. 힐베르트 공간에서의 정의

힐베르트 공간 사이의 선형 사상 A\colon H_1 \to H_2의 에르미트 수반은 다음을 만족하는 (대부분의 경우 고유하게 정의되는) 선형 연산자 A^*\colon H_2 \to H_1이다.[14]

:\left\langle A h_1, h_2 \right\rangle_{H_2} = \left\langle h_1, A^* h_2 \right\rangle_{H_1},

여기서 \langle\cdot, \cdot \rangle_{H_i}는 힐베르트 공간 H_i의 내적이며, 첫 번째 좌표에 대해 선형이고 두 번째 좌표에 대해 켤레 선형이다.

두 힐베르트 공간이 동일하고 A가 해당 힐베르트 공간에 대한 연산자인 특수한 경우, 즉 H_1 = H_2 = H이고 A가 H 위의 연산자인 경우, 에르미트 수반은 A^*\colon H \to H가 된다.[2]

복소 힐베르트 공간에서 내적 \langle\cdot,\cdot\rangle을 갖는 연속 선형 연산자(선형 연산자의 경우, 연속성은 유계 연산자인 것과 동등하다)의 에르미트 수반은 다음을 만족한다.[7]

:\langle Ax , y \rangle = \left\langle x , A^* y\right\rangle \quad \mbox{모든 } x, y \in H.

이 연산자의 존재성과 유일성은 리스 표현 정리로부터 유도된다.

이는 표준 복소 내적과 관련된 유사한 속성을 가진 정사각 행렬의 ''수반'' 행렬의 일반화로 볼 수 있다. 유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 켤레 전치 행렬에 해당한다.

2. 2. 바나흐 공간에서의 정의

\mathbb K가 실수체 또는 복소수체일 때, 임의의 두 \mathbb K-바나흐 공간E, F 사이의 \mathbb K-선형 변환A\colon E\to F가 주어졌다고 하자. 그렇다면, A의 '''에르미트 수반'''은 다음과 같은 \mathbb K-선형 변환이다.

:A^*\colon F^*\to E^*

:A^*\phi\colon e\mapsto \phi(Ae)\qquad(\forall \phi\in F^*,\;e\in E)

여기서 E^*와 F^*은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 E 또는 F가 \mathbb K-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 E^*\cong\bar E, F^*\cong\bar F가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 \bar F\to\bar E가 된다.

내적을 쌍대 페어링으로 바꾸면, 연산자 A: E \to F의 수반 연산자, 즉 전치를 정의할 수 있다. 여기서 E, F는 해당 노름 \|\cdot\|_E, \|\cdot\|_F를 갖는 바나흐 공간이다. 여기서 (다시 기술적인 세부 사항을 고려하지 않고) 수반 연산자는 A^*: F^* \to E^*로 정의되며,

:A^*f = f \circ A : u \mapsto f(Au)

즉, \left(A^*f\right)(u) = f(Au) (f \in F^*, u \in E에 대해)이다.

2. 3. 조밀하게 정의된 연산자의 경우

힐베르트 공간(\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)의 조밀 부분공간 \operatorname{dom}A\subset\mathcal H에 정의된 선형변환 A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H의 '''수반'''(adjoint영어) A^*은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다.[14] 이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 \operatorname{dom}A가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.

  • \operatorname{dom}A^*=\{u\in\mathcal H|\forall v\in\operatorname{dom}A\exists\tilde u\in\mathcal H\colon\langle u|Av\rangle=\langle\tilde u|v\rangle\}
  • \forall v\in\operatorname{dom}A\colon \langle A^*u|v\rangle=\langle u|Av\rangle

3. 성질

에르미트 수반은 다음과 같은 성질을 갖는다.[2][7]

\mathbb K-힐베르트 공간 \mathcal H 전체에 정의된 유계 작용소 A 및 A'와 \lambda,\lambda'\in\mathbb K에 대해, 다음이 성립한다.


  • \operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*=\mathcal H
  • A^{**}=A
  • (\lambda A+\lambda A')^*=\bar\lambda A^*+\bar\lambda'A'^*
  • (AA')^*=A'^*A^*
  • \|A\|=\|A^*\| (\|\cdot\|는 작용소 노름)
  • \|A^*A\|=\|A\|^2


유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 (\mathbb K=\mathbb R인 경우) 대칭 행렬이거나 (\mathbb K=\mathbb C인 경우) 에르미트 행렬이다.

유계 작용소의 에르미트 수반은 다음과 같은 성질을 갖는다.

# 대합성: A^{**} = A

# 만약 A가 가역적이라면, A^*도 가역적이며, \left(A^*\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^*이다.

# 켤레 선형성:

#* (A + B)^* = A^* + B^*

#* (\lambda A)^* = \bar\lambda A^*, 여기서 \bar\lambda는 복소 켤레수 \lambda의 켤레 복소수를 나타낸다.

# "반분배성": (AB)^* = B^*A^*

만약 A의 작용소 노름을 다음과 같이 정의하면,

:\| A \|_\text{op} := \sup \left\{\|Ax\| : \|x\| \le 1\right\}

다음이 성립한다.

:\left\|A^* \right\|_\text{op} = \|A\|_\text{op}.

게다가,

:\left\|A^* A \right\|_\text{op} = \|A\|_\text{op}^2.

이 조건을 만족하는 노름은 자기 수반 작용소의 경우를 확장하여 "최댓값"처럼 동작한다고 말한다.

복소 힐베르트 공간 H상의 유계 선형 작용소 집합은 수반 연산 및 작용소 노름과 함께 C*-대수의 원형을 형성한다.

4. 에르미트 연산자

유계 작용소 A : H \rightarrow H가 A = A^* 인 경우, 다시 말해 모든 x, y \in H에 대해 \langle Ax, y \rangle = \langle x, A y \rangle를 만족하는 경우, A를 에르미트 연산자 또는 자기 수반이라고 한다.[6][13]

에르미트 연산자는 어떤 의미에서 실수와 같이 자신의 "복소 켤레"와 같으며, 실 벡터 공간을 형성한다. 에르미트 연산자는 양자역학에서 실수 값을 갖는 관측 가능량의 모델 역할을 한다.[6][13]

5. 응용

에르미트 작용소는 양자역학에서 관측 가능량의 모델을 제공한다.[13] 적절한 의미에서 에르미트 작용소는 자기 자신과 켤레 복소수가 같은 실수의 역할을 수행하며, 실벡터 공간을 이룬다. 에르미트 작용소에 관한 자세한 내용은 자기 수반 작용소 항목을 참조하라.

참조

[1] 서적 Quantum Mechanics for Scientists and Engineers Cambridge University Press 2008
[2] 간행물
[3] 문서 unbounded operator
[4] 간행물
[5] 간행물
[6] 간행물
[7] 간행물
[8] 문서 非有界作用素
[9] 간행물
[10] 간행물
[11] 간행물
[12] 문서 유계 작용소의 경우와 동일
[13] 간행물
[14] 서적 Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators http://www.mat.univi[...] American Mathematical Society 2009


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