여과 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. κ-여과 범주
- 2.2. κ-쌍대 여과 범주
3. 성질
- 3.1. 극한과의 관계
- 3.2. 극한과 쌍대 극한의 교환 법칙
4. Ind-객체와 Pro-객체
참조

1. 개요

여과 범주는 정칙 기수 κ에 따라 정의되는 범주로, 특정 조건을 만족하는 범주를 의미한다. κ-여과 범주는 작은 범주와 함자에 대해 쌍대뿔을 가지며, $\aleph_0$ -여과 범주는 단순히 여과 범주라고 불린다. κ-쌍대 여과 범주는 κ-여과 범주의 반대 범주이며, 쌍대 여과 극한은 쌍대 여과 범주에서 정의된 함자의 극한이다. 여과 범주는 대상과 사상의 상계를 가지며, 극한과 쌍대 극한의 교환 법칙과 관련된 성질을 갖는다. 또한, 여과 범주는 Ind-객체와 Pro-객체 개념과 연관된다.

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범주론 - 작은 범주
그로텐디크 전체 $\mathcal{U}$ 가 주어졌을 때, $\mathcal{U}$ -작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 $\mathcal{U}$ 의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
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여과 범주
개요
일반적인 정의	어떤 종류의 입자나 물질을 분리하는 데 사용되는 장치
여과의 주 목적	액체나 기체에서 원치 않는 불순물을 제거하는 것
적용 분야	가정 산업 의학 환경 공학
여과 방법
물리적 여과	크기 또는 다른 물리적 특성을 기반으로 입자를 분리
생물학적 여과	생물학적 프로세스를 사용하여 물질을 제거
기계적 여과	여과 매체를 사용하여 입자를 가둠
여과 장치
필터	여과를 수행하는 데 사용되는 장치
여과 매체	필터 내에서 입자를 걸러내는 데 사용되는 재료
여과 공정
여과 속도	액체나 기체가 필터를 통과하는 속도
여과 효율	필터가 입자를 제거하는 효율성
여과 압력	필터를 통과하는 액체나 기체의 압력
여과 응용
물 여과	식수에서 불순물을 제거하는 데 사용
공기 여과	공기에서 먼지, 꽃가루 및 기타 입자를 제거하는 데 사용
혈액 여과	혈액에서 노폐물을 제거하는 데 사용
추가 정보
여과의 중요성	많은 산업 및 환경 프로세스에서 중요한 역할
여과 기술의 발전	지속적으로 발전하여 더욱 효율적이고 효과적인 여과 방법 제공

2. 정의

정칙 기수 $\kappa$ 가 주어졌을 때, 범주 $\mathcal J$ 가 다음 조건을 만족시키면 ''' $\kappa$ -여과 범주'''라고 한다.

임의의 작은 범주 $\mathcal I$ 와 함자 $D\colon\mathcal I\to\mathcal J$ 에 대하여, $\mathcal I$ 의 사상 집합의 크기가 $\kappa$ 미만이면, $D$ 는 쌍대뿔(cocone^영어)을 갖는다.

\aleph_0

-여과 범주는 단순히 '''여과 범주'''라고 한다.

'''

\kappa

-쌍대 여과 범주'''(

\kappa

-cofiltered category^영어)는

\kappa

-여과 범주의 반대 범주이다.

2. 1. κ-여과 범주

정칙 기수

\kappa

가 주어졌다고 하자. 범주

\mathcal J

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''

\kappa

-여과 범주'''라고 한다.

임의의 작은 범주 $\mathcal I$ 및 함자 $D\colon\mathcal I\to\mathcal J$ 에 대하여, 만약 $\mathcal I$ 의 사상 집합의 크기가 $\kappa$ 미만이라면, $D$ 는 쌍대뿔(cocone^영어)을 갖는다.

\aleph_0

-여과 범주는 단순히 '''여과 범주'''라고 한다.

마찬가지로, '''

\kappa

-쌍대 여과 범주'''(

\kappa

-cofiltered category^영어)는

\kappa

-여과 범주의 반대 범주이다.

다음과 같이 정의된 "여과 범주"의 변형을 "κ-여과 범주"라고 한다. 이는 다음과 같은 관찰에서 시작된다. 위의 여과 범주의 정의에 있는 세 가지 조건은 각각

\{\ \ \}\rightarrow J

,

\{j\ \ \ j'\}\rightarrow J

, 또는

\{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J

형식의

J

의 임의의 코뿔소가 존재한다고 말한다. 이 세 가지 형태의 다이어그램에 대한 코뿔소의 존재는 코뿔소가 ''임의의'' 유한 다이어그램에 대해 존재한다는 것을 의미한다. 즉, 범주

J

는 (위의 정의에 따라) ''유한'' 다이어그램

d: D\to J

에 대한 코뿔소가 있는 경우에만 여과된다.

이를 확장하여, 주어진 정칙 기수 κ에 대해, 범주

J

는 κ보다 작은 기수를 갖는

J

의 모든 다이어그램

d

에 대한 코뿔소가 있는 경우 κ-여과 범주로 정의된다. (작은 다이어그램은 도메인의 사상 집합의 기수가 κ이면 기수가 κ이다.)

κ-여과 극한은

J

가 κ-여과 범주인 함자

F:J\to C

의 극한이다.

2. 2. κ-쌍대 여과 범주

κ^영어-쌍대 여과 범주(κ-cofiltered category^영어)는 κ^영어-여과 범주의 반대 범주(opposite category)이다.

3. 성질

범주 $\mathcal J$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$\aleph_0$ -여과 범주이다.
다음 세 조건들을 만족시킨다.
* 하나 이상의 대상을 갖는다.
* 임의의 두 대상 $I,J\in\mathcal J$ 에 대하여, 대상 $K\in\mathcal J$ 및 두 사상 $I\xrightarrow fK\xleftarrow gJ$ 이 존재한다.
* 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 $f,g\colon I\to J$ 에 대하여, $h\circ f=h\circ g$ 가 되는 대상 $K$ 및 사상 $h\colon J\to K$ 가 존재한다.

범주

J

가 '''필터됨'''은 다음을 만족할 때이다.

비어 있지 않다.
$J$ 에 있는 모든 두 객체 $j$ 와 $j'$ 에 대해 객체 $k$ 와 $J$ 에 있는 두 개의 화살표 $f:j\to k$ 및 $f':j'\to k$ 가 존재한다.
$J$ 에 있는 모든 두 개의 평행 화살표 $u,v:i\to j$ 에 대해 $wu=wv$ 가 되도록 객체 $k$ 와 화살표 $w:j\to k$ 가 존재한다.

'''필터된 코극한'''은

J

가 필터된 범주일 때의 함자

F:J\to C

의 코극한이다. 반대 범주

J^{\mathrm{op}}

가 필터된 경우, 범주

J

는 공동 필터링된다. 공동 필터링의 조건은 다음과 같다.

비어 있지 않다.
$J$ 의 모든 두 객체 $j$ 와 $j'$ 에 대해 객체 $k$ 와 $J$ 의 두 화살표 $f:k\to j$ 및 $f':k \to j'$ 가 존재한다.
$J$ 에서 모든 두 개의 평행 화살표 $u,v:j\to i$ 에 대해 $uw=vw$ 가 되도록 객체 $k$ 와 화살표 $w:k\to j$ 가 존재한다.

'''공동 필터링 극한'''은

J

가 공동 필터링된 범주인 함자

F:J \to C

의 극한이다.

정규 기수 κ에 대해, 범주

J

는 κ보다 작은 기수를 갖는

J

의 모든 다이어그램

d

에 대한 코뿔소가 있는 경우 κ-여과 범주로 정의된다. κ-여과 극한은

J

가 κ-여과 범주인 함자

F:J\to C

의 극한이다.

3. 1. 극한과의 관계

완비 범주

\mathcal C

와 작은 범주

\mathcal J

에 대하여 극한 함자

:

\varprojlim_{\mathcal J}\colon{\mathcal C}^{\mathcal J}\to\mathcal C

를 정의할 수 있다. 쌍대 완비 범주

\mathcal C

와 작은 범주

\mathcal J

에 대하여 쌍대 극한 함자

:

\varinjlim_{\mathcal J}\colon{\mathcal C}^{\mathcal J^{\operatorname{op}}}\to{\mathcal C}

를 정의할 수 있다.

작은 범주

\mathcal J

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$\aleph_0$ -여과 범주이다.
(극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 $\mathcal I$ 및 임의의 함자 $D\colon\mathcal J\times\mathcal I^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 에 대하여, 표준적인 사상 $\varinjlim_{\mathcal J}\varprojlim_{\mathcal I}D\to\varprojlim_{\mathcal I}\varinjlim_{\mathcal J}D$ 는 항상 전단사 함수이다.

3. 2. 극한과 쌍대 극한의 교환 법칙

작은 범주

\mathcal J

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$\aleph_0$ -여과 범주이다.
(극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 $\mathcal I$ 및 임의의 함자 $D\colon\mathcal J\times\mathcal I^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 에 대하여, 표준적인 사상 $\varinjlim_{\mathcal J}\varprojlim_{\mathcal I}D\to\varprojlim_{\mathcal I}\varinjlim_{\mathcal J}D$ 는 항상 전단사 함수이다.

4. Ind-객체와 Pro-객체

주어진 작은 범주 $C$ 에 대해, 표현 가능한 프리셰프들의 작은 여과된 쌍대 극한인 집합들의 프리셰프 $C^{op}\to Set$ 를 범주 $C$ 의 '''ind-객체'''라고 부른다. 범주 $C$ 의 ind-객체들은 함자(프리셰프) 범주 $C^{op}\to Set$ 에서 전체 부분 범주 $Ind(C)$ 를 형성한다. 범주 $C$ 의 pro-객체 범주 $Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}$ 는 반대 범주 $C^{op}$ 의 ind-객체 범주의 반대 범주이다.

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