맨위로가기

여핵

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

여핵은 선형대수학과 범주론에서 사용되는 수학적 개념으로, 선형사상의 공역을 상으로 나눈 몫공간을 의미한다. 범주론에서는 핵의 쌍대 개념으로, 사상 f와 영사상의 공대칭자로 정의된다. 여핵은 보편 성질을 가지며, 존재한다면 동형 사상까지 유일하게 결정된다. 전사 사상을 감지하는 역할을 하며, 방정식의 해가 존재하기 위한 제약 조건을 나타내는 공간으로 이해할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 추상대수학 - 직교
    직교는 수학에서 수직으로 만나는 기하학적 개념에서 시작하여 내적 공간의 벡터 내적이 0이거나 가군과 쌍대 가군의 원소가 특정 조건을 만족할 때 성립하며, 직교 집합, 직교 기저, 직교 여공간 등의 구조를 정의하고 푸리에 급수, 상대성이론, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용될 뿐 아니라 컴퓨터 과학, 통계학, 법률, 예술 등에서도 독립적인 요소나 개념을 나타내는 데 사용된다.
  • 추상대수학 - 코시 열
    코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.
  • 범주론 - 작은 범주
    그로텐디크 전체 \mathcal{U}가 주어졌을 때, \mathcal{U}-작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 \mathcal{U}의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
  • 범주론 - 토포스
    토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
  • 선형대수학 - 벡터 공간
    벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
  • 선형대수학 - 선형 결합
    선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.
여핵
일반 정보
정의선형 사상 f : X → Y의 여핵은 Y / im(f)이다.
표기coker(f)
설명여핵은 선형 사상 f : X → Y의 공역 Y를 f의 상으로 나눈 몫공간이다.
즉, Y의 원소 y에 대해, f(x) = y인 x가 존재할 때 y는 여핵의 0과 동치이다.
다른 정의여핵은 사상 q : Y → Q로 정의될 수도 있다.
여기서 q f는 영사상이다.
즉, Q는 f의 상에 의해 생성된 관계에 따라 Y의 원소들을 동일시하여 얻어진다.
사상 q는 여핵의 정의 사상이라고 불린다.
추가 설명선형 사상 f : X → Y의 여핵은 Y의 f의 상에 의한 몫공간이다.

2. 선형대수학에서의 여핵

선형대수학에서, 주어진 선형사상 f: V → W (여기서 V와 W는 같은 체 위의 벡터 공간)의 여핵은 W를 f의 상으로 나눈 몫공간이다.

2. 1. 정의

선형사상 f: V → W의 '''여핵'''(coker f)은 그 공역을 상으로 나눈 몫공간이다. 즉, 다음과 같이 표현된다.

:\operatorname{coker}(f)=W/f(V)

3. 범주론에서의 여핵

범주론에서 '''여핵'''은 핵의 쌍대 개념으로, 선형대수학에서의 여핵을 일반화한 것이다. 영사상이 존재하는 범주에서, 사상 f: X → Y의 여핵은 f와 영사상 0XY: X → Y의 공대칭자로 정의된다.

여핵은 전사 사상이며, 어떤 전사 사상이 특정 사상의 여핵이 될 경우 정규 사상이라고 불린다. 모든 전사 사상이 정규 사상인 범주는 공정규 범주라고 하며, 군 범주가 그 예시이다.

3. 1. 정의

범주론에서 '''여핵'''(cokernel)은 핵의 쌍대 개념이며, 선형대수학에서의 여핵을 일반화한 것이다. 영사상이 존재하는 범주에서, 사상 f\colon X\to Y의 여핵은 f와 영사상 0_{XY}\colon X\to Y의 공대칭자로 정의된다.

구체적으로, f\colon X\to Y의 여핵은 대상 Q와 사상 q\colon Y\to Q의 쌍으로, 다음 그림을 가환시킨다.



또한, 사상 q는 이 도표에 대해 보편 성질을 가져야 한다. 즉, 다른 사상 q'\colon Y\to Q'는 q를 고유한 사상 u\colon Q\to Q'와 합성하여 얻을 수 있다.



모든 보편적 구성과 마찬가지로, 여핵은 존재한다면 동형 사상에 의해 유일하게 결정된다. 즉, q\colon Y\to Q와 q'\colon Y\to Q'가 f\colon X\to Y의 두 여핵이라면, q'=uq를 만족하는 고유한 동형 사상 u\colon Q\to Q'가 존재한다.

모든 공대칭자와 마찬가지로, 여핵 q\colon Y\to Q는 필연적으로 전사 사상이다.

3. 2. 예시

범주론에서 '''여핵'''은 핵에 대하여 쌍대 개념이며, 선형대수학에서의 여핵을 일반화한 개념이다. 군의 범주에서는 여핵이 존재한다. 군 준동형 f\colon G\to H가 주어지면 그 여핵은 H/f(G)이다.

군론 범주에서 군 준동형사상 f|f영어 : G|G영어 → H|H영어의 코커널은 f|f영어의 상의 정규 폐포에 대한 H|H영어의 몫군이다. 아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규군이므로, 코커널은 단순히 f|f영어의 상에 대한 H|H영어의 모듈로이다.

:\operatorname{coker}(f) = H / \operatorname{im}(f).

군의 범주에서, 군 준동형 ''f'' : ''G'' → ''H''의 여핵은 ''H''의 ''f''의 상의 Normal closure (group theory)|정규 폐포영어에 의한 몫군이다. 아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규이므로, 여핵은 단순히 ''f''의 상을 법으로 한 ''H''이다.

:coker(''f'') = ''H'' / im(''f'').

4. 특수한 경우

전가법 범주에서는 사상의 덧셈과 뺄셈이 가능하다. 이러한 범주에서 두 사상 ''f''와 ''g''의 코이퀄라이저(존재하는 경우)는 단순히 그 차이(''g'' - ''f'')의 여핵이다.

아벨 범주(전가법 범주의 특수한 종류)에서 사상 ''f''의 이미지와 코이미지는 다음과 같이 표현된다.


  • im(''f'') = ker(coker ''f'')
  • coim(''f'') = coker(ker ''f'')


특히, 모든 아벨 범주는 정규 범주이자 공정규 범주이다. 즉, 모든 단사 사상 ''m''은 어떤 사상의 핵으로 표현될 수 있다. 구체적으로, ''m''은 자신의 여핵의 핵이다.

: ''m'' = ker(coker(''m''))

5. 직관적 이해

여핵은 어떤 방정식이 해를 가지기 위해 만족해야 하는 '제약' 또는 '장애물'의 공간으로 생각할 수 있다. 커널이 '해'의 공간인 것과 비슷하다.

형식적으로, 사상의 커널과 여핵은 완전열을 통해 연결될 수 있다.

:0 \to \ker T \to V \overset T \longrightarrow W \to \operatorname{coker} T \to 0.

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. T(v) = w 라는 방정식을 풀어야 할 때,


  • 커널은 '동차' 방정식 T(v) = 0 의 '해' 공간이며, 그 차원은 T(v) = w 의 해가 존재할 경우 그 해의 '자유도'의 수이다.
  • 여핵은 방정식이 해를 가지려면 w 가 만족해야 하는 '제약' 공간이며, 그 차원은 방정식이 해를 가지기 위해 만족해야 하는 독립적인 제약의 수이다.


여핵의 차원과 상(계수)의 차원을 더하면 공역의 차원이 된다. 몫 공간 W / T(V) 의 차원은 단순히 공간의 차원에서 상의 차원을 '뺀' 것이기 때문이다.

또한, 커널이 단사 함수를 "감지"하는 것과 마찬가지로, 여핵은 전사 함수를 "감지"하는 것으로 생각할 수 있다. 사상은 커널이 자명할 경우 단사 함수이고, 여핵이 자명할 경우, 즉 W = im(T) 이면 전사 함수이다.

5. 1. 예시: R2 → R2 선형사상

선형사상 T: '''R'''2 → '''R'''2, T(x, y) = (0, y)를 생각해보자. 방정식 T(x, y) = (a, b)가 해를 가지려면, a = 0이어야 한다 (하나의 제약). 이 경우 해 공간은 (x, b) 또는 (0, b) + (x, 0)으로 표현된다 (자유도 하나). 커널은 부분 공간 (x, 0)으로 표현할 수 있다. x의 값은 해의 자유도를 나타낸다. 여핵은 실수 값을 갖는 사상 W: (a, b) → (a)를 통해 표현할 수 있다. 벡터 (a, b)가 주어지면, a의 값은 해가 존재하기 위한 장애물이다.

6. 전사 함수 감지

핵이 단사 함수를 "감지"하는 것과 유사하게, 여핵은 전사 함수를 "감지"하는 역할을 한다. 사상의 핵이 자명하면 그 사상은 단사 함수이고, 사상의 여핵이 자명하면 그 사상은 전사 함수이다.


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com