역삼각 함수

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1. 개요
2. 정의
참조

1. 개요

역삼각 함수는 삼각 함수의 역함수이며, 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트, 아크시컨트, 아크코시컨트를 포함한다. 각 역삼각 함수는 표기법, 정의역, 치역, 미분 값을 가지며, 아크시컨트와 아크코시컨트의 치역은 다양한 방식으로 정의될 수 있다. 데카르트 좌표계에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수 atan2도 역삼각 함수와 관련된다.

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역삼각 함수
기본 정보
직각삼각형에 대한 삼각함수의 작도
정의	각에 대한 함수
종류	사인 코사인 탄젠트 코시컨트 시컨트 코탄젠트
변수	각도
값	실수 또는 복소수
역함수	역삼각 함수
특이점	삼각함수마다 다름
관련 함수

2. 정의

역삼각함수는 삼각 함수의 역함수이다. 예를 들어 사인 함수의 역함수는 아크사인이다.

데카르트 좌표계에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수인 $\operatorname{atan2}$ 는 다음과 같이 정의한다.

: $\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}\arctan\left(\frac y x\right) & \quad x > 0 \\\arctan\left(\frac y x\right) + \pi & \quad y \ge 0,\; x < 0 \\\arctan\left(\frac y x\right) - \pi & \quad y < 0,\; x < 0 \\\frac{\pi}{2} & \quad y > 0,\; x = 0 \\$

\frac{\pi}{2} & \quad y < 0,\; x = 0 \\

\text{undefined} & \quad y = 0,\; x = 0\end{cases}

2. 1. 주요 역삼각함수

아래는 주요 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역, 미분 공식을 나타낸 표이다.

이름	표기법		정의	정의역	치역 (라디안)	미분
아크사인	$y = \arcsin x$	$y = \sin^{-1}x$	$x = \sin y$	$-1 \leq x \leq 1$	$-\frac\pi2 \leq y \leq \frac\pi2$	$y\prime={1 \over \sqrt{1-x^2}}$
아크코사인	$y = \arccos x$	$y = \cos^{-1} x$	$x = \cos y$	$-1 \leq x \leq 1$	$0 \leq y \leq \pi$	$y\prime=-{1 \over \sqrt{1-x^2}}$
아크탄젠트	$y = \arctan x$	$y = \tan^{-1} x$	x = tan(y)	모든 실수	$-\frac\pi2 < y < \frac\pi2$	$y\prime={1 \over 1+x^2}$
아크코탄젠트	$y = \arccot x$	$y = \cot^{-1} x$	x = cot(y)	모든 실수	$0 < y < \pi$	$y\prime=-{1 \over 1+x^2}$
아크시컨트	$y = \arcsec x$	$y = \sec^{-1} x$	x = sec(y)	$x \leq -1$ 또는 $x \geq 1$	$0 \leq y < \frac\pi2$ 또는 $\frac\pi2 < y \leq \pi$	$y\prime={1 \over \left\vert x \right\vert\sqrt{x^2-1}}$
아크코시컨트	$y = \arccsc x$	$y = \csc^{-1} x$	x = csc(y)	$x \leq -1$ 또는 $x \geq 1$	$-\frac\pi2 \leq y < 0$ 또는 $0 < y \leq \frac\pi2$	$y\prime=-{1 \over \left\vert x \right\vert\sqrt{x^2 -1}}$

일부 저자는 아크시컨트의 치역을 $0 \leq y < \pi/2$ 또는 $\pi < y \leq 3\pi/2$ 가 되도록 정의하기도 한다. 이렇게 하면 탄젠트가 그 정의역에서 음이 아니게 되고 일부 계산이 더 일관되게 된다. 예를 들어, 이 치역에서는 $\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2 - 1}$ 가 되지만, 치역 $0 \leq y < \pi/2$ 또는 $\pi/2 < y \leq \pi$ 에서는 $\tan(\arcsec(x)) = \pm \sqrt{x^2 - 1}$ 가 된다. 탄젠트가 $0 \leq y < \pi/2$ 에서는 음이 아니지만 $\pi/2 < y \leq \pi$ 에서는 양이 아니기 때문이다. 비슷한 이유로, 일부 저자는 아크코시컨트의 치역을 $-\pi < y \leq -\pi/2$ 또는 $0 < y \leq \pi/2$ 가 되도록 정의하기도 한다.

정의역을 복소수로 두면 위에서 치역의 범위는 실수부의 범위가 된다.

2. 2. 아크시컨트와 아크코시컨트의 치역에 대한 다양한 정의

일부 저자는 아크시컨트의 치역을

0 \leq y < \pi/2

또는

\pi < y \leq 3\pi/2

가 되도록 정의하기도 한다. 이렇게 하면 탄젠트가 그 정의역에서 음이 아니게 되고 일부 계산이 더 일관되게 된다. 예를 들어, 이 치역에서는

\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2 - 1}

가 되지만 치역

0 \leq y < \pi/2

또는

\pi/2 < y \leq \pi

에서는

\tan(\arcsec(x)) = \pm \sqrt{x^2 - 1}

가 된다. 탄젠트가

0 \leq y < \pi/2

에서는 음이 아니지만

\pi/2 < y \leq \pi

에서는 양이 아니기 때문이다.

비슷한 이유로, 일부 저자는 아크코시컨트의 치역을

-\pi < y \leq -\pi/2

또는

0 < y \leq \pi/2

가 되도록 정의하기도 한다.

2. 3. 이변수 함수 atan2

데카르트 좌표계에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수인

\operatorname{atan2}

는 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}\arctan\left(\frac y x\right)       & \quad x > 0 \\\arctan\left(\frac y x\right) + \pi & \quad y \ge 0,\; x < 0 \\\arctan\left(\frac y x\right) - \pi & \quad y < 0,\; x < 0 \\\frac{\pi}{2}   & \quad y > 0,\; x = 0 \\

\frac{\pi}{2} & \quad y < 0,\; x = 0 \\

\text{undefined} & \quad y = 0,\; x = 0\end{cases}

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