오일러 프로젝트
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1. 개요
오일러 프로젝트는 수학 및 컴퓨터 과학 문제를 해결하는 온라인 플랫폼이다. 사용자는 ID, 해결된 문제 수, 난이도별로 정렬된 문제를 풀고, 문제 해결 시 특화된 포럼을 이용할 수 있다. 문제 풀이 개수에 따라 업적 레벨이 주어지고, 특별한 문제 조합을 해결하면 상을 받는다. 또한, 신규 회원을 위한 "오일러안" 레벨 시스템을 통해 이전 문제를 풀지 않고도 경쟁할 수 있다. 이 플랫폼은 효율적인 알고리즘 개발의 중요성을 강조하며, 예제 문제와 풀이를 통해 무차별 대입 알고리즘과 포함배제의 원리를 이용한 효율적인 알고리즘을 비교하여 제시한다.
각 문제에 대한 토론 포럼은 해당 문제를 정답 처리한 사용자만 열람할 수 있다.[6]
오일러 프로젝트의 첫 번째 문제는 다음과 같다.[13]
2. 사이트 특징
2. 1. 문제 정렬
문제는 ID, 해결된 문제 수, 난이도별로 정렬할 수 있다.
2. 2. 업적 시스템
참가자는 해결한 문제 수를 기준으로 업적 레벨을 통해 자신의 진행 상황을 확인할 수 있다. 25문제를 해결할 때마다 새로운 레벨에 도달하게 된다. 또한, 특정 조건을 만족하는 문제들을 해결하면 특별한 상을 받을 수 있다. 예를 들어, 소수 번호 문제 50개를 해결하면 상이 주어진다.[6] 최근 공개된 문제들을 가장 빠르게 해결한 50명을 대상으로 하는 특별한 "오일러안(Eulerians)" 레벨도 존재한다. 이 시스템은 신규 회원이 과거 문제를 풀지 않고도 기존 회원들과 경쟁할 수 있는 기회를 제공한다.[7]
2. 3. 오일러안(Eulerians)
"오일러안(Eulerians)"은 오일러 프로젝트에서 최근 문제의 가장 빠른 해결자 50명을 기준으로 업적을 추적하는 특별한 레벨이다. 이를 통해 신규 회원은 이전에 출제된 문제를 풀지 않고도 다른 참가자들과 경쟁할 수 있다.[7]
3. 예제 문제와 풀이
10 미만의 자연수 중 3 또는 5의 배수를 나열하면 3, 5, 6, 9가 됩니다. 이 배수의 합은 23입니다.
1000 미만의 3 또는 5의 모든 배수의 합을 구하십시오.
이 문제는 오일러 프로젝트의 다른 문제들에 비해 비교적 쉬운 편이지만[13], 효율적인 알고리즘 설계의 중요성을 보여주는 좋은 예시로 자주 사용된다. 문제를 해결하는 대표적인 두 가지 접근 방식이 존재한다.
첫 번째는 1부터 999까지 모든 자연수를 검사하는 가장 직관적인 무차별 대입 방식이다. 이 방법은 구현이 간단하다는 장점이 있지만, 문제의 규모가 커지면 계산 시간이 오래 걸릴 수 있다.
두 번째는 포함배제의 원리와 수학 공식을 활용하는 방식으로, 훨씬 적은 계산으로 빠르게 답을 구할 수 있어 효율적이다.
이처럼 오일러 프로젝트의 문제들은 단순히 답을 찾는 것을 넘어, 문제 해결 과정에서 더 효율적이고 수학적인 접근 방식을 고민하도록 유도한다. 각 풀이 방법에 대한 자세한 설명과 코드 예시는 아래 하위 섹션에서 다룬다.
3. 1. 무차별 대입 (Brute-force) 알고리즘
오일러 프로젝트의 첫 번째 문제는 1000 미만의 자연수 중에서 3의 배수이거나 5의 배수인 수들의 합을 구하는 것이다.[13] 이 문제를 해결하는 가장 직접적이고 간단한 방법 중 하나는 무차별 대입(무차별 대입) 알고리즘을 사용하는 것이다.
이 방식은 1부터 1000 미만(즉, 1부터 999까지)의 모든 자연수를 하나씩 검사하여, 해당 숫자가 3으로 나누어 떨어지거나 5로 나누어 떨어지는지 확인하는 과정을 거친다. 만약 어떤 숫자가 이 조건 중 하나라도 만족하면, 그 숫자를 합계에 더한다. 이 과정을 999까지 반복하여 최종 합계를 계산한다.
무차별 대입 알고리즘은 문제의 조건을 그대로 코드로 옮기기 쉬워 구현이 매우 간단하다는 장점이 있다. 하지만 검사해야 할 숫자의 범위(n)가 커질수록 계산 시간도 정비례하여 증가하기 때문에 효율성은 상대적으로 낮다. 이러한 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n)으로 표기된다. 문제의 규모가 작은 경우에는 충분히 사용할 수 있는 방법이지만, 오일러 프로젝트의 후반부에 등장하는 더 복잡하고 큰 규모의 문제에서는 시간 제한 등의 이유로 사용하기 어려울 수 있다.
다음은 파이썬과 C++를 이용하여 무차별 대입 방식으로 첫 번째 문제를 해결하는 코드 예시이다.
파이썬:
```python3
print(sum(x for x in range(1, 1000) if x % 3 == 0 or x % 5 == 0))
```
C++:
```cpp
#include
int main() {
int sum = 0;
for (int i = 1; i < 1000; ++i) {
if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0) {
sum += i;
}
}
std::cout << sum << std::endl;
return 0;
}
3. 2. 포함배제의 원리 (Inclusion-Exclusion Principle)를 이용한 효율적인 알고리즘
오일러 프로젝트의 첫 번째 문제는 1000 미만의 자연수 중 3 또는 5의 배수의 합계를 구하는 것이다.[13] 이 문제는 비교적 간단하지만, 알고리즘의 효율성에 따른 차이를 보여주는 좋은 예시가 된다.
가장 기본적인 접근 방식은 1부터 999까지의 모든 자연수를 하나씩 확인하여 3의 배수이거나 5의 배수인지 검사하고, 해당하면 합계에 더하는 무작정 탐색 방법이다. 이 방식은 구현하기는 쉽지만, 검사해야 할 숫자의 개수(n)에 비례하는 시간이 걸리므로 대문자 O 표기법으로는 O(n)의 시간 복잡도를 가진다.
더 효율적인 방법은 포함배제의 원리와 등차수열의 합 공식을 이용하는 것이다. 이 원리에 따르면, 3의 배수의 합과 5의 배수의 합을 더한 뒤, 중복으로 더해진 3과 5의 최소공배수인 15의 배수의 합을 빼면 된다.
각각의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하여 계산할 수 있다. 미만의 의 배수의 합 은 다음과 같이 표현된다.
이 공식을 이용하면 반복문 없이 몇 번의 산술 연산만으로 답을 구할 수 있다. 따라서 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(1)이며, 무작정 탐색 방법에 비해 훨씬 효율적이다.
다음은 이 효율적인 알고리즘을 파이썬으로 구현한 예시이다.
def sum_multiples(limit, k):
"""limit 미만의 k의 배수의 합을 계산한다."""
n = (limit - 1) // k
return k * n * (n + 1) // 2
# 1000 미만의 3의 배수 합 + 5의 배수 합 - 15의 배수 합
result = sum_multiples(1000, 3) + sum_multiples(1000, 5) - sum_multiples(1000, 15)
print(result)
오일러 프로젝트의 문제들은 뒤로 갈수록 난이도가 높아지며, 이처럼 효율적인 알고리즘 설계와 수학적 원리에 대한 깊은 이해를 요구하는 경우가 많다.
4. 더 어려운 문제들
오일러 프로젝트의 문제들은 뒤로 갈수록 난이도가 비선형적으로 증가하는 경향을 보인다. 초기 문제들은 비교적 접근하기 쉬운 편이다. 예를 들어, 가장 첫 번째 문제인 [https://projecteuler.net/problem=1 3과 5의 배수 합 구하기][13]는 1000 미만의 모든 자연수를 직접 확인하는 무작정 탐색 방식으로도 해결할 수 있다. 이 방식의 시간 복잡도는 O(n)이다.
하지만 이 문제조차 포함-배제 원리와 같은 수학적 원리를 활용하면 훨씬 효율적인 알고리즘 설계가 가능하다. 이 경우, 합계를 구하는 공식을 이용하여 상수 시간 복잡도(O(1))로 답을 구할 수 있다.
이처럼 문제 번호가 높아질수록 단순한 프로그래밍 기술만으로는 한계에 부딪히게 되며, 문제 해결을 위해서는 더욱 창의적인 방법론과 문제의 기저에 있는 수학적 원리에 대한 깊은 이해가 필수적으로 요구된다. 따라서 효율적인 알고리즘을 고안하고 적용하는 능력이 고난도 문제를 해결하는 데 핵심적인 요소로 작용한다.
5. 각 문제에 특화된 포럼
각 문제에 특화된 포럼은 사용자가 해당 문제를 정답 처리한 후에 열람할 수 있다.[6] 문제는 ID, 해결된 문제 수, 난이도별로 정렬할 수 있다. 참가자는 해결한 문제 수에 따라 업적 레벨을 통해 자신의 진행 상황을 추적할 수 있다. 25문제를 해결할 때마다 새로운 레벨에 도달한다. 특별한 문제 조합을 해결하면 특별한 상이 주어진다. 예를 들어, 50개의 소수 번호 문제를 해결하면 상이 주어진다. 최근 문제의 가장 빠른 50명의 해결자를 기반으로 업적을 추적하는 특별한 'Eulerians|오일러안영어' 레벨이 있어, 신규 회원이 이전 문제를 풀지 않고도 경쟁할 수 있다.[7]
참조
[1]
뉴스
The importance of recreational math
https://www.nytimes.[...]
2018-06-05
[2]
서적
Learning to Program
https://books.google[...]
Pearson Education
[3]
뉴스
How I Failed, Failed, and Finally Succeeded at Learning How to Code - Technology
https://www.theatlan[...]
2013-12-14
[4]
웹사이트
Recent Problems - Project Euler
https://projecteuler[...]
2023-03-23
[5]
웹사이트
News - Project Euler
https://projecteuler[...]
2021-04-27
[6]
웹사이트
About - Project Euler
https://projecteuler[...]
2023-03-23
[7]
웹사이트
Project Euler (News Archives)
https://projecteuler[...]
2015-03-31
[8]
웹사이트
Project Euler (list of problems)
http://projecteuler.[...]
2012-11-06
[9]
웹사이트
Project Euler - About
http://projecteuler.[...]
2008-04-04
[10]
웹사이트
Project Euler (Statistics) - not accessible for anonymous users
http://projecteuler.[...]
2012-11-16
[11]
웹사이트
APL programming contest
http://www.dyalog.co[...]
2010-11-02
[12]
웹사이트
OEIS sequences referencing Project Euler problems
http://oeis.org/sear[...]
2011-04-15
[13]
문서
"[[排他的論理和]]でなく[[論理和]]による"
[14]
웹인용
Project Euler - About
http://projecteuler.[...]
2008-04-04
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