완벽한 입체마방진

3. 역사

3x3x3 입체마방진은 존재하지만, 2x2x2 입체마방진은 존재하지 않는다. 4x4x4 입체마방진은 여러 형태로 존재하는데, 1982년 토마스 크리그스만(Thomas Krijgsman)이 마법 상수 130을 갖는 4차 정육면체를 발표했다.^[8]

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5x5x5 및 6x6x6 완전 입체마방진은 오랫동안 알려지지 않았으나, 2003년 월터 트럼프(Walter Trump)와 크리스티안 보이어(Christian Boyer)가 컴퓨터를 사용하여 마법 상수 315를 갖는 5차 정육면체를 발견했다.

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7x7x7 입체마방진은 1866년 A.H. 프로스트가 발표했다. 8x8x8 입체마방진은 비교적 쉽게 만들 수 있다. 충분히 큰 소수 n에 대해 n x n x n 입체마방진은 라틴 방진의 입체 버전을 조합하여 만들 수 있다.

n>7, 즉 n=11 이상의 소수인 경우, x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +2, z축 방향으로 +4씩 숫자를 이동시켜 배치하면 3차원 배열 L[x][y][z] ≡ x+2*y+4*z (mod n) (0≦x,y,z＜n)에서 x축, y축, z축 및 대각선 방향(x±y, y±z, z±x, x±y±z)의 26방향 모두에서 0부터 n-1까지의 숫자가 한 줄로 늘어서는 입체 라틴 방진이 만들어진다.

이를 n진수 3자리 숫자의 조합으로 확장하면, 3차원 배열 C[x][y][z] = n*n*MOD(x+2*y+4*z, n) + n*MOD( 2*x+4*y+z, n) + MOD( 4*x+y+2*z, n) +1 (0≦x,y,z＜n, MOD(r,p)는 r을 p로 나눈 나머지)는 입방진이 된다.

마찬가지로 4차원 이상에서도 +8, +16, ...과 같이 증분을 주어 다차원 마방진을 만들 수 있다. 예를 들어 n>15, 즉 n=17 이상의 소수에서 4차원 마방진은 T[x][y][z][w] = n*n*n*MOD( x+2*y+4*z+8*w , n) + n*n*MOD( 2*x+4*y+8*z+ w , n) + n*MOD( 4*x+8*y+ z+2*w , n) + MOD( 8*x+ y+2*z+4*w , n) + 1 과 같이 만들 수 있으며, 임의의 차원에서 다차원 마방진을 만들 수 있다.

4. 예시

1. 토마스 크리그스만(Thomas Krijgsman)의 4차 정육면체, 1982년; 마법 상수 130.^[8]

2. 월터 트럼프(Walter Trump)와 크리스티안 보이어(Christian Boyer)의 5차 정육면체, 2003년 11월 13일; 마법 상수 315.

5. 고차원 마방진

n이 소수일 때, n × n × n 크기의 라틴 방진을 이용하여 입체마방진을 쉽게 구성할 수 있다. 이 라틴 입방진 3개를 조합하여 n진수 3자리로 구성된 입방진을 만들 수 있다.

n>7, 즉 n=11 이상의 소수에서, 예를 들어 x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +2, z축 방향으로 +4씩 숫자를 이동시켜 배치하면, L[x][y][z] ≡ x+2*y+4*z (mod n)로 놓았을 때 3차원 배열 L[x][y][z] (0≦x,y,z＜n)에서는 x축 방향, y축 방향, z축 방향 및 대각선 방향(x±y 방향, y±z 방향, z±x 방향, 입체적인 대각 방향 x±y±z 방향)의 26방향 어느 쪽에서도 0부터 n-1까지의 숫자가 한 줄로 늘어서게 된다.

이를 n진수 3자리 숫자의 조합을 고려한 경우에도 마찬가지로, 3차원 배열을 다음과 같이 정의하면 입방진이 된다.

C[x][y][z] = n*n*MOD(x+2*y+4*z, n) + n*MOD( 2*x+4*y+z, n) + MOD( 4*x+y+2*z, n) +1

(0≦x,y,z＜n), MOD(r,p)는 잉여 함수, 즉 r을 p로 나눈 나머지를 나타낸다.

마찬가지로 4축 이상에 +8, +16, ....과 같이 증분을 주어 4차원 이상의 초입방체의 마방진을 만들 수 있다.

예를 들어 n＞15, 즉 n=17 이상의 소수에서 4차원 마방진은 다음과 같이 만들 수 있다.

T[x][y][z][w] = n*n*n*MOD( x+2*y+4*z+8*w , n) + n*n*MOD( 2*x+4*y+8*z+ w , n) + n*MOD( 4*x+8*y+ z+2*w , n) + MOD( 8*x+ y+2*z+4*w , n) + 1

이와 같이 임의의 차원에서 다차원 마방진을 만들 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Perfect Magic Cube http://mathworld.wol[...] 2016-12-04
_[2] 웹사이트 Perfect Magic Cubes of Order 4m http://www.fq.math.c[...] 2016-12-03
_[3] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press 2002-12-12
_[4] 서적 The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures across Dimensions https://books.google[...] Princeton University Press 2011-11-28
_[5] 웹사이트 Perfect Magic Cubes http://www.trump.de/[...] 2016-12-04
_[6] 웹사이트 Magic Cubes Index Page http://www.magic-squ[...] 2016-12-04
_[7] 웹사이트 Magic Cube Timeline http://www.magic-squ[...] 2016-12-04
_[8] 웹사이트 Archived copy https://web.archive.[...] 2012-01-28
_[9] 웹인용 Perfect Magic Cube http://mathworld.wol[...] 2016-12-04
_[10] 웹인용 Perfect Magic Cubes of Order 4m http://www.fq.math.c[...] 2016-12-03
_[11] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press 2002-12-12
_[12] 서적 The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures across Dimensions https://books.google[...] Princeton University Press 2011-11-28
_[13] 웹인용 Perfect Magic Cubes http://www.trump.de/[...] 2016-12-04
_[14] 웹인용 Magic Cube Timeline http://www.magic-squ[...] 2016-12-04
_[15] 웹인용 Magic Cubes Index Page https://web.archive.[...] 2016-12-04