외부 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
3. 특징
- 3.1. 기본 성질
- 3.2. 다른 개념과의 관계
4. 추가 설명 (선택 사항)
참조

1. 개요

외부 (위상수학)는 위상 공간 X의 부분 집합 A에 대해 정의되며, A의 외부 A^e는 A와 교차하지 않는 모든 열린 집합들의 합집합으로 정의된다. 외부 A^e는 A와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이며, 집합 포함 관계와 외부의 포함 관계는 반대이다. 또한, A의 내부와 외부, A의 여집합과 외부 사이에는 관계가 성립한다.

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외부 (위상수학)
위상수학
정의	위상 공간에서, 집합 S의 외부는 S에 속하지 않는 모든 점들의 집합임.
표기법	S^e, ext(S), Ex(S) 등으로 표기함.
상세 내용
정의 (수식)	"S^e X \ S S^c" (여기서 X는 전체 공간, S^c는 S의 여집합을 의미함.)
외부점 (Exterior Point)	정의: 집합 S의 외부점은 그 점을 중심으로 하는 열린 집합이 존재하여, 그 열린 집합이 S와 교집합이 없는 점을 의미함. 특징: 외부점은 그 집합의 외부의 점임.
외부의 성질	공집합의 외부: "∅^e X" 외부와 여집합의 관계: "S^e ⊆ S^c" 외부의 외부: "S^e ((S^e)^c)^e" 합집합의 외부: "(S ∪ T)^e S^e ∩ T^e"
외부와 내부, 경계의 관계	"X Sⁱ ∪ S^b ∪ S^e" (여기서 Sⁱ는 S의 내부, S^b는 S의 경계를 의미하며, 이 세 집합은 서로소임.)

2. 정의

$X$ 가 위상 공간이고 $A \subseteq X$ 일 때, $A$ 의 '''외부''' $A^e$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $O_{\gamma} \cap A = \phi$ 인 모든 열린 집합 $O_{\gamma}$ 에 대해서 $A^e = \bigcup_{\gamma} O_{\gamma}$

2. 1. 기본 정의

X

가 위상 공간이고

A \subseteq X

일 때,

A

의 '''외부'''

A^e

는 다음과 같이 정의된다.

:

O_{\gamma} \cap A = \phi

인 모든 열린 집합

O_{\gamma}

에 대해서

A^e = \bigcup_{\gamma} O_{\gamma}

3. 특징

''S''^e는 ''S''와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이다. ''S'' ⊆ ''T'' ⇒ ''S''^e ⊇ ''T''^e 즉, 부분 집합의 포함 관계는 외부의 포함 관계와 반대이다.

''S''ⁱ = (''S''^c)^e

''S''가 닫힌 집합일 필요충분조건은 ''S''^e = ''S''^c이다.

(''S''^e)^e ⊇ ''S''ⁱ

3. 1. 기본 성질

는 와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이다. ''S'' ⊆ ''T'' ⇒ ''S''^''e'' ⊇ ''T''^''e'' 즉, 부분 집합의 포함 관계는 외부의 포함 관계와 반대이다.

3. 2. 다른 개념과의 관계

4. 추가 설명 (선택 사항)

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