유계 집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 성질
- 4.1. 유계 함수와 유계 작용소
- 4.2. 국소 유계 공간
5. 일반화
참조

1. 개요

유계 집합은 원순서 집합, 거리 공간, 위상 벡터 공간 등에서 정의되는 개념으로, 무계 집합의 반대 개념이다. 원순서 집합에서는 상계와 하계를 모두 갖는 부분 집합을, 거리 공간에서는 유한한 반지름을 갖는 구로 덮일 수 있는 집합을 유계 집합이라고 한다. 위상 벡터 공간에서는 특정 조건을 만족하는 집합을 유계 집합으로 정의하며, 폰 노이만 유계 집합이라고도 한다. 유계 집합은 부분 집합, 폐포, 유한 합집합 등의 성질을 가지며, 유계 작용소, 국소 유계 공간 등의 개념과 연관된다.

더 읽어볼만한 페이지

순서론 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.
순서론 - 사전식 순서
사전식 순서는 정렬된 집합의 순서를 일반화하여 곱집합의 순서를 정의하는 데 사용되며, 단어 순서 정렬 방식과 유사하게 다양한 분야에 응용되는 수학적 개념이다.
해석학 (수학) - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
해석학 (수학) - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
함수해석학 - 섭동 이론
섭동 이론은 정확히 풀리는 문제에 작은 변화가 있을 때 급수로 표현하여 근사해를 구하는 방법으로, 초기 해에 보정항을 더하는 방식으로 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용되며 섭동 형태와 적용 차수에 따라 구분된다.
함수해석학 - 분포 (해석학)
해석학에서 분포는 시험 함수 공간의 연속 쌍대 공간의 원소로 정의되며, 로랑 슈바르츠에 의해 정립되어 편미분 방정식의 해를 다루는 데 유용하고 미분 불가능하거나 특이점을 갖는 함수를 포함한 다양한 함수를 다루는 데 효과적인 일반적인 함수의 개념을 확장한 것이다.

유계 집합
정의
영어	Bounded set
한국어	유계 집합
설명	수학에서 유계 집합은 "크기"가 어떤 의미에서든 유한한 집합이다. 특히, 실수 집합에서 집합이 상한 및 하한을 갖는다면 유계이다. 집합이 유계가 아닌 경우, 이를 무계라고 한다.
실수에서의 정의
상계	실수 집합 S의 상계는 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수이다.
하계	실수 집합 S의 하계는 S의 모든 원소보다 작거나 같은 실수이다.
유계	실수 집합 S가 상계와 하계를 모두 가지는 경우, S는 유계라고 한다.
다른 정의	실수 집합 S가 어떤 실수 M에 대해 \|x\| ≤ M (모든 x ∈ S)을 만족하는 경우, S는 유계이다. 이는 S가 구간 [-M, M]에 포함됨을 의미한다.
일반적인 정의
거리 공간	거리 공간 (X, d)에서 집합 S가 어떤 x ∈ X와 실수 M > 0에 대해 S가 중심이 x이고 반지름이 M인 공 B(x, M)에 포함되는 경우, S는 유계라고 한다. 즉, 모든 s ∈ S에 대해 d(x, s) ≤ M이다.
벡터 공간	벡터 공간 V에서 벡터의 "크기" 개념을 제공하는 노름 \|\|x\|\|이 주어지면, 집합 S가 어떤 M에 대해 모든 x ∈ S에 대해 \|\|x\|\| ≤ M을 만족하는 경우, S는 유계라고 한다. 즉, S는 노름에 의해 결정되는 거리와 관련하여 유계이다.
위상 벡터 공간	위상 벡터 공간에서 집합 S가 모든 0의 이웃 V에 대해 어떤 양수 α에 대해 S ⊆ αV를 만족하는 경우, S는 유계라고 한다. 즉, S는 원점에서 스칼라 곱셈으로 축소될 수 있을 만큼 "평평"하다.
균등 공간	균등 공간에서 집합 S가 S × S가 전체 공간의 완비에 대해 유한한지인 경우, S는 유계라고 한다.
속성
부분집합	유계 집합의 모든 부분집합은 유계이다.
합집합	유계 집합의 유한 합집합은 유계이다.
폐포	집합의 폐포가 유계이면, 해당 집합은 유계이다.

2. 정의

유계 집합은 원순서 집합, 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 유계 집합이 아닌 부분 집합은 '''무계 집합'''(unbounded set^영어)이라고 한다.

순서 집합 (''X'', ≤)에서 공이 아닌 부분 집합 ''A''의 원 ''L''이 ''A''의 임의의 원 ''a''에 대해 ''a'' ≤ ''L''을 만족하면, ''L''을 ''A''의 '''상계'''(upper bound^영어)라고 하며, 상계를 갖는 ''A''는 '''위로 유계'''(bounded from above^영어)라고 한다. ''X''의 원 ''l''이 ''A''의 임의의 원 ''a''에 대해 ''l'' ≤ ''a''를 만족하면, ''l''을 ''A''의 '''하계'''(lower bound^영어)라고 하며, 하계를 갖는 ''A''는 '''아래로 유계'''(bounded from below^영어)라고 한다. 위로 유계이면서 아래로 유계인 집합을 '''유계 집합'''이라고 한다.

순서 집합 (''X'', ≤)이 반순서 ≤에 관해 최대원 및 최소원을 갖는다면, 이 반순서는 '''유계 순서'''(bounded order^영어)라고 하며, ''X''는 '''유계 순서 집합'''(bounded poset^영어)이라고 한다. 유계 순서를 갖는 순서 집합 ''X''의 부분 집합 ''S''에 순서를 제한한 (''S'', ≤)는 반드시 유계 순서가 되지는 않는다.

노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 가지며, 이 경우 유계 집합의 두 정의는 일치한다. 국소 볼록 공간에서 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름에 대하여 유계인 집합이다. 실수 집합 $\mathbb{R}$ 은 전순서, 거리 공간, 위상 벡터 공간 구조를 모두 가지며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

2. 1. 원순서 집합의 유계 집합

원순서 집합

(X,\lesssim)

의 부분 집합

S\subset X

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는

x\in X

가 존재한다면,

S

는 '''위로 유계'''(bounded from above^영어)라고 하며,

x

를

S

의 '''상계'''(upper bound^영어)라고 한다.

임의의 $s\in X$ 에 대하여, $s\lesssim x$

마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는

x\in X

가 존재한다면,

S

는 '''아래로 유계'''(bounded from below^영어)라고 하며,

x

를

S

의 '''하계'''(lower bound^영어)라고 한다.

임의의 $s\in X$ 에 대하여, $x\lesssim s$

'''유계 집합'''은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

2. 2. 거리 공간의 유계 집합

거리 공간

(X,d)

의 부분 집합

S\subset X

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 점

x\in X

가 존재하면

S

를 '''유계 집합'''이라고 한다.

:

\sup_{s\in S}d(x,s)<\infty

M

전체가 유계라면,

M

은 '''유계 공간'''이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

거리 공간 (M, d)의 부분 집합 S가 '''유계'''라는 것은 모든 S의 s와 t에 대해 d(s, t) < r이 되는 r > 0이 존재한다는 뜻이다. 거리 공간 (M, d)가 '''유계 거리 공간''' (또는 d가 bounded metric|유계 거리^영어)이라는 것은 M이 자체의 부분 집합으로서 유계라는 뜻이다.

전유계는 유계를 함의한다. '''R'''^''n''의 부분 집합의 경우, 두 개념은 동치이다.
거리 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건은 완비 거리 공간이면서 전유계인 것이다.
유클리드 공간 '''R'''^''n''의 부분 집합이 콤팩트일 필요충분조건은 닫힌 집합이면서 유계인 것이다. 이것을 하이네-보렐 정리라고도 한다.

거리 공간 (''M'', ''d'')의 부분 집합 ''S''가 '''유계'''라는 것은, ''S''가 유한한 반지름을 갖는 구로 덮일 수 있다는 것을 의미한다. 즉, ''M''의 원소 ''x''와 양수 ''r'' > 0이 존재하여, 임의의 ''S''의 원소 ''s''에 대해 ''d''(''x'', ''s'') < ''r''이 성립할 때, ''S''는 유계라고 한다.

''M''이 자신을 ''M''의 부분 집합으로 간주하여 유계일 때, ''d''를 '''유계 거리 함수''' bounded metric|유계 거리 함수^영어라고 하며, ''M''을 '''유계 거리 공간''' bounded metric space|유계 거리 공간^영어이라고 부른다.

여기서 ''S''가 공집합이 아닐 때는 중심 ''x''를 ''S''의 원소로 선택하는 것과 동치이다.

또한 동치인 특징으로 ''S''의 지름 diam S := sup{''d''(''x'', ''y'') | ''x'', ''y'' ∈ ''S''}가 유한하다는 것이 있다.

2. 3. 위상 벡터 공간의 유계 집합

\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}

가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

\mathbb{K}

-위상 벡터 공간

V

의 부분 집합

S \subset V

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

S

를 '''(폰 노이만) 유계 집합'''이라고 한다.

영벡터의 임의의 근방 $N \ni 0$ 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 $a \in \mathbb{K}$ 가 존재한다.
: $S \subset aN$
영벡터의 임의의 근방 $N \ni 0$ 에 대하여, 다음을 만족하는 스칼라 양의 실수 $r \in \mathbb{R}^+$ 가 존재한다.
*: 임의의 $a \in \mathbb{K}$ 에 대하여, 만약 $|a| \ge r$ 라면 $S \subset aN$
임의의 점렬 $(s_n)_{n=0}^\infty \subset S$ 및 $(a_n)_{n=0}^\infty \subset \mathbb{K}$ 에 대하여, 만약 $a_n \to 0$ 이라면, $a_n s_n \to 0$ 이다.^[1]

이때

:

aN = \{an \colon n \in N\}

이다.

위상 벡터 공간에서 유계 집합에 대한 다른 정의가 존재하며, 이는 때때로 폰 노이만 유계라고 불린다. 위상 벡터 공간의 위상이 거리에 의해 유도되고, 그 거리가 균질적인 경우, 즉 노름 공간의 노름에 의해 유도된 거리의 경우, 두 정의는 일치한다.

2. 4. 서로 다른 정의의 호환

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서, 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 그러나 이 정의들은 서로 호환되지 않을 수 있다.

노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 가지며, 이 경우 유계집합의 두 정의는 일치한다. 국소 볼록 공간에서 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름에 대하여 유계인 집합이다.

실수 집합

\mathbb R

는 전순서, 거리 공간, 위상 벡터 공간 구조를 모두 가지며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

위상 벡터 공간에서 유계 집합의 또 다른 정의는 폰 노이만 유계라고 불린다. 위상 벡터 공간의 위상이 거리에 의해 유도되고, 그 거리가 균질적인 경우(예: 노름 공간의 노름으로 유도된 거리), 두 정의는 일치한다.

3. 예

$\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간 $V$ 에서,

모든 콤팩트 집합은 유계 집합이다. 특히,
* 모든 유한 집합은 유계 집합이다.
* 모든 상대 콤팩트 집합은 (콤팩트 집합의 부분 집합이므로) 유계 집합이다.
반대로, 모든 유계 집합은 약한 위상에 대한 상대 콤팩트 집합이다.
모든 코시 점렬은 유계 집합이지만, 코시 그물이 유계 집합일 필요는 없다.
만약 $V$ 가 하우스도르프 공간이라면, $V$ 의 모든 (영공간이 아닌) 부분 공간은 유계 집합이 아니다.
실수로 이루어진 열린구간 (''a'', ''b'')나 닫힌구간 [''a'', ''b'']는 (통상적인 실수의 크고 작음에 관한) 순서 집합으로도 (통상적인 유클리드 거리에 관한) 거리 공간으로도 유계이다.
실수로 이루어진 집합 (실수 전체가 이루는 집합 '''R'''의 부분 집합)이 유계라면, 그것을 포함하는 유계 구간이 존재한다.
일반적으로, '''R'''^''n''에 크고 작음 관계의 직적 순서와 통상적인 유클리드 거리를 넣고 생각할 때, '''R'''^''n''의 부분 집합 ''S''가 이 순서에 관해 유계가 되는 것과 이 거리에 관해 유계가 되는 것은 동치이다.
실수 전체 '''R'''은 유계가 아니다 (아르키메데스 성질).
'''R'''의 공집합이 아닌 유계 집합은 상한 (최소 상계)과 하한 (최대 하계)을 가진다.
유클리드 공간 '''R'''^''n''의 유계 집합은 전유계이다. 특히 '''R'''^''n''의 유계 집합은 그것이 닫힌 집합이라면 컴팩트이다. 일반적으로 완비 거리 공간의 전유계 부분 집합은 컴팩트가 된다.

4. 성질

유계 집합(영어: bounded set)의 극은 절대 볼록이고 흡수 집합이다. 집합 ''A''의 모든 가산 부분집합이 유계이면 집합 ''A''는 유계이다.

$\mathbb K$ -위상 벡터 공간 $V$ 에서,

유계 집합의 부분 집합은 유계 집합이다.
유계 집합의 폐포는 유계 집합이다.
만약 $V$ 가 국소 볼록 공간이라면, 유계 집합의 볼록 폐포는 유계 집합이다. (국소 볼록성이 없다면, $0인 L^p 공간이 자명하지 않은 열린 볼록 부분집합을 가지지 않기 때문에, 이것은 거짓이다.)$
유계 집합의 유한한 합집합이나 유한합은 유계 집합이다.

실수로 이루어진 열린구간 (''a'', ''b'')나 닫힌구간 [''a'', ''b'']는 (통상적인 실수의 크고 작음에 관한) 순서 집합으로도 (통상적인 유클리드 거리에 관한) 거리 공간으로도 유계이다.
실수로 이루어진 집합 (실수 전체가 이루는 집합 '''R'''의 부분 집합)이 유계라면, 그것을 포함하는 유계 구간이 존재한다.
일반적으로, '''R'''^''n''에 크고 작음 관계의 직적 순서와 통상적인 유클리드 거리를 넣고 생각할 때, '''R'''^''n''의 부분 집합 ''S''가 이 순서에 관해 유계가 되는 것과 이 거리에 관해 유계가 되는 것은 동치이다.
실수 전체 '''R'''은 유계가 아니다 (아르키메데스 성질).
'''R'''의 공집합이 아닌 유계 집합은 상한 (최소 상계)과 하한 (최대 하계)을 가진다.
유클리드 공간 '''R'''^''n''의 유계 집합은 전유계이다. 특히 '''R'''^''n''의 유계 집합은 그것이 닫힌 집합이라면 컴팩트이다. 일반적으로 완비 거리 공간의 전유계 부분 집합은 컴팩트가 된다.

4. 1. 유계 함수와 유계 작용소

\mathbb K

-위상 벡터 공간

V

,

W

사이의 모든 연속 선형 변환

T\colon V\to W

는 유계 작용소(즉, 유계 집합의 상은 유계 집합)이다. 만약

V

가 제1 가산 공간이라면, 모든 유계 작용소

T\colon V\to W

는 연속 함수이다. (반면, 0이 아닌 선형 변환은 유계 함수일 수 없다.)

4. 2. 국소 유계 공간

\mathbb K

-위상 벡터 공간

V

에서, 영벡터

0\in V

가 유계 근방을 갖는다면,

V

를 '''국소 유계 공간'''(locally bounded space^영어)이라고 한다.

모든 국소 유계 공간은 제1 가산 공간이다.^[1]

B\ni 0

가 0의 근방이며, 유계 집합이라고 할 때, 유계 집합의 정의에 따라

\{(1/n)B\colon n\in\mathbb Z^+\}

가 0의 국소 기저임을 보일 수 있으며, 이는 가산 집합이다.

\mathbb K

-국소 볼록 공간

V

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

반노름화 가능 공간이다.
국소 유계 공간이다.

5. 일반화

위상 가군으로 유계 집합의 정의를 확장할 수 있다. 위상환 ''R''에 있는 위상 가군 ''M''의 부분집합 ''A''는 ''0_M''의 모든 근방 ''N''에 대해서 ''w A ⊂ N''가 성립하도록 하는 0_''R''의 근방 ''w''이 있을 때 유계 집합이라고 한다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com