유한형 사상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 닫힘
4. 예
참조

1. 개요

유한형 사상은 스킴 사상의 한 종류로, 환 준동형의 유한형 준동형 개념을 일반화한 것이다. 두 가환환 사이의 환 준동형이 유한형 준동형일 경우, 이로부터 유도되는 스킴 사상은 국소 유한형 사상이며, 준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 유한형 사상이라고 한다. 유한형 사상은 유한 표시 사상의 특수한 경우이며, 유한 사상, 닫힌 몰입 등과 포함 관계를 가진다. 유한형 사상은 합성 및 밑 변환에 대해 닫혀 있으며, fpqc 위상에서의 내림 이론을 만족한다.

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정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
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환의 스펙트럼은 가환환의 소 아이디얼들의 집합으로 정의되며, 자리스키 위상과 구조층을 통해 위상 공간이자 국소환 달린 공간을 이루어 아핀 스킴과 스킴을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.

유한형 사상
정의
범주론적 정의	범주론에서, 유한형 사상은 준연접층의 범주에서 유한 표현 사상의 유사체이다.
스킴 이론적 정의	스킴 사상 f: X → Y가 유한형 사상이라는 것은, Y의 아핀 열린 덮개 {V_i}가 존재하여 각 f^{-1}(V_i)가 아핀 열린 덮개 {U_{ij}}를 가지고, 각 U_{ij}에 대해 f\|_{U_{ij}}: U_{ij} → V_i가 유한 생성된 대수적 확장에 의해 유도된다는 것을 의미한다.
성질
열린 몰입	열린 몰입은 유한형이다.
닫힌 몰입	닫힌 몰입은 유한형이다.
합성	유한형 사상의 합성은 유한형이다.
밑변환	유한형 사상은 밑변환에 대해 안정적이다.
스킴의 곱	유한형 사상의 스킴의 곱은 유한형이다.
유한 사상	유한 사상은 유한형이다.
고유 사상	고유 사상은 유한형이다.
분리 사상	분리 사상은 유한형일 필요가 없다.
같이 보기
국소 유한형 사상	국소 유한형 사상
유한 표현 사상	유한 표현 사상

2. 정의

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 두 조건을 만족시키면, '''국소 유한형 사상'''(morphism locally of finite type|몰피즘 로컬리 오브 파이나이트 타입^영어)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(x)\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y$ 가 존재한다.
환 준동형 $S\to R$ 은 유한형 준동형이다.
다음 조건을 만족시키는 $Y$ 의 아핀 열린 덮개 $(V_i\cong\operatorname{Spec}R_i)_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$ 에 대하여 $f^{-1}(V_i)$ 의 아핀 열린 덮개 $(U_j\cong \operatorname{Spec}S_j)_{j\in J_i}$ 가 존재한다.
각 $i\in I$ 및 $j\in J_i$ 에 대하여, 환 준동형 $R_i\to S_j$ 는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 '''유한형 사상'''(morphism of finite type|몰피즘 오브 파이나이트 타입^영어)이라고 한다.^[1]^[2]

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

2. 1. 유한형 환 준동형

가환환 사이의 환 준동형

f\colon R\to S

가 주어졌을 때,

S

는

f

를 통해

R

-가환 결합 대수를 이룬다. 만약

S

가

R

-유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 어떤 충분히 큰 자연수

n

에 대하여

S

가

R[x_1,x_2,\dots,x_n]

의

R

-몫대수와

R

-가환 결합 대수로서 동형이라면),

f

를 '''유한형 준동형'''(finite-type homomorphism|파이나이트 타입 호모몰피즘^영어)이라고 한다.

2. 2. 유한형 사상

스킴 사상

f\colon X\to Y

가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''국소 유한형 사상'''(morphism locally of finite type^영어)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(x)\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y$ 가 존재한다.
환 준동형 $S\to R$ 은 유한형 준동형이다.
다음 조건을 만족시키는 $Y$ 의 아핀 열린 덮개 $(V_i\cong\operatorname{Spec}R_i)_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$ 에 대하여 $f^{-1}(V_i)$ 의 아핀 열린 덮개 $(U_j\cong \operatorname{Spec}S_j)_{j\in J_i}$ 가 존재한다.
각 $i\in I$ 및 $j\in J_i$ 에 대하여, 환 준동형 $R_i\to S_j$ 는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 '''유한형 사상'''(morphism of finite type^영어)이라고 한다.^[1]^[2]

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

2. 3. 유한 표시 사상

두 가환환 사이의 환 준동형

f\colon R\to S

가 주어졌을 때,

S

는

f

를 통해

R

-가환 결합 대수를 이룬다. 다음 조건이 성립한다면,

f

를 '''유한 표시 준동형'''(finitely presented homomorphism^영어)이라고 한다.

충분히 큰 자연수 $n$ 에 대하여, $S$ 가 $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ 의 $R$ -몫대수 $R[x_1,x_2,\dots,x_n]/\mathfrak a$ 와 $R$ -가환 결합 대수로서 동형이며, $\mathfrak a$ 는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 임의의

x\in X

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방

x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X

및

f(x)\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y

가 존재한다면,

f

를 '''국소 유한 표시 사상'''(morphism locally of finite presentation^영어)이라고 한다.

환 준동형 $S\to R$ 은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 '''유한 표시 사상'''(morphism of finite presentation^영어)이라고 한다.

3. 성질

유한형 사상, 국소 유한형 사상, 유한 표시 사상, 국소 유한 표시 사상, 유한 사상 등이 만족시키는 성질은 다음과 같다.

=== 함의 관계 ===

스킴 사상에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 유한형 사상	⊃	유한형 사상
∪
국소 유한 표시 사상	⊃	유한 표시 사상
∪
에탈 사상
∪
열린 몰입

공역이 국소 뇌터 스킴인 경우에는 다음이 성립한다.

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상
유한형 사상 = 유한 표시 사상

=== 닫힘 ===

\mathfrak P

가 유한형 사상, 국소 유한형 사상, 유한 표시 사상, 국소 유한 표시 사상, 유한 사상 조건 가운데 하나라고 할 때, 다음 성질들이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$ 에 대하여, $f$ 와 $g$ 가 $\mathfrak P$ -사상이면 $g\circ f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.
(밑 변환에 대하여 안정) $X\xrightarrow fY\leftarrow Y'$ 에 대하여, $f$ 가 $\mathfrak P$ -사상이면 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.
(fpqc 위상에서의 내림) $X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'$ 에 대하여, 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 가 $\mathfrak P$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 유한형 사상	⊃	유한형 사상
∪
국소 유한 표시 사상	⊃	유한 표시 사상
∪
에탈 사상
∪
열린 몰입

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우, 다음이 성립한다.

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상
유한형 사상 = 유한 표시 사상

3. 2. 닫힘

\mathfrak P

가 유한형 사상, 국소 유한형 사상, 유한 표시 사상, 국소 유한 표시 사상, 유한 사상 조건 가운데 하나라고 할 때, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$ 에 대하여, $f$ 와 $g$ 가 $\mathfrak P$ -사상이라면 $g\circ f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.
(밑 변환에 대하여 안정) $X\xrightarrow fY\leftarrow Y'$ 에 대하여, $f$ 가 $\mathfrak P$ -사상이라면 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.
(fpqc 위상에서의 내림) $X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'$ 에 대하여, 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 가 $\mathfrak P$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

4. 예

체 $K$에 대하여, 아핀 공간 $\mathbb{A}^n_K = \operatorname{Spec} K[x_1, \dots, x_n]$은 자연스러운 사상

:$\mathbb{A}^n_K \to \mathbb{A}^0_K = \operatorname{Spec} K$

을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, $n > 0$이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

:$K[x] \to K[x, y]/(y^2 - x^3 - x)$

으로 유도되는 아핀 스킴 사상

:$\operatorname{Spec} K[x, y]/(y^2 - x^3 - x) \to \mathbb{A}^1_K$

는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

참조

_[1] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[2] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves https://web.archive.[...] Oxford University Press 2017-05-07

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