일반화 리만 다양체

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일반화 리만 다양체(Generalized Riemannian Manifold)는 리만 기하학(Riemannian geometry)에서 다루는 주요 개념 중 하나인 리만 다양체(Riemannian manifold)를 확장한 개념입니다. 리만 다양체는 각 점에서의 접공간(tangent space)에 양의 정부호 쌍선형 형식(positive definite bilinear form), 즉 리만 계량(Riemannian metric)이 주어져 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체(smooth manifold)입니다.
일반화된 리만 다양체는 다음과 같은 다양한 형태로 나타날 수 있습니다:

• 준 리만 다양체 (Pseudo-Riemannian manifold): 리만 계량이 양의 정부호일 필요는 없고, 비퇴화(non-degenerate) 조건만 만족하는 경우입니다. 즉, 부호수가 (p, q) 형태로 주어질 수 있으며, 이는 로렌츠 다양체(Lorentzian manifold)를 포함합니다. 일반 상대성 이론(general relativity)에서 시공간(spacetime)을 나타내는 데 사용됩니다.
• 핀슬러 다양체 (Finsler manifold): 거리 함수가 접벡터의 방향에 따라 달라지는, 더 일반적인 다양체입니다.
• 분 리만 다양체(Sub-Riemannian manifold): 특정 방향으로의 움직임만 허용하는 제약 조건이 있는 다양체입니다.

• 대칭 부분과 비대칭 부분 사이의 관계: 일반화된 리만 다양체에서 계량 텐서 G는 대칭 부분과 비대칭 부분으로 분리될 수 있습니다.
• 곡률 텐서의 속성: 곡률 텐서(curvature tensor) 및 연결 변환(connection transformations)의 속성을 조사합니다.
• 특수 조건 하의 1/4 대칭 연결 연구.