점군
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1. 개요
점군은 도형의 대칭성을 수학적으로 나타내는 개념으로, 대칭 조작들의 집합을 군론의 공리에 따라 정의한다. 대칭 조작에는 항등 조작, 회전 조작, 거울상 조작, 반전 조작 등이 있으며, 점군은 이러한 조작들을 포함하되 병진 조작은 제외한다. 점군은 쉐인플리스 기호와 허먼-모건 기호로 나타내며, 분자나 결정의 대칭성을 분석하는 데 사용된다. 점군 이론은 결정의 대칭성 분석, 분자 궤도 함수 계산, 분자 진동 연구 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 양자점, 2차원 물질과 같은 첨단 소재 개발에 중요한 역할을 한다.
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| 점군 | |
|---|---|
| 점군 | |
 | |
| 정의 | 하나 이상의 고정점을 갖는 기하학적 대칭의 그룹 |
| 설명 | |
| 설명 | 점군은 군론의 대칭 유형의 일종으로, 고정점 주위의 회전, 반사, 회전반사(반전)와 같은 조작을 포함한다. 점군의 대칭성은 분자, 결정, 다양한 물리적 및 수학적 시스템의 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 분자 대칭성은 분광학을 이용하여 연구할 수 있으며, 이를 통해 분자의 구조와 특성을 밝힐 수 있다. 결정 대칭성은 결정학의 기본 개념으로, 결정의 구조와 물리적 특성을 이해하는 데 필수적이다. |
| 대칭 조작 | **회전:** 고정 축을 중심으로 물체를 회전시키는 조작 **반사:** 평면을 기준으로 물체의 거울상 생성 **회전반사 (반전):** 회전 후 반전(좌우 또는 상하 반전)을 수행하는 조작 **항등 조작:** 아무런 변화를 주지 않는 조작 |
| 표기법 | |
| 쇤플리스 표기법 | 분자 대칭을 설명하는 데 사용되는 일반적인 표기법 |
| 헤르만-마우귄 표기법 | 결정학에서 사용되는 표기법 |
| 주요 점군 유형 | |
| 회전군 | 회전 조작만 포함하는 군 예: C₂, C₃, C₄ |
| 반사군 | 반사 조작을 포함하는 군 예: Cₛ |
| 회전반사군 | 회전 및 반전 조작을 포함하는 군 예: S₄ |
| 정다면체군 | 정사면체, 정육면체, 정팔면체와 같은 정다면체의 대칭을 나타내는 군 예: Td, Oh |
| 무한군 | 무한한 개수의 대칭 조작을 갖는 군 예: C∞v, D∞h |
| 응용 분야 | |
| 분자 화학 | 분자 구조와 성질을 이해하는 데 사용 |
| 결정학 | 결정 구조와 특성을 연구하는 데 사용 |
| 물리학 | 다양한 물리적 시스템의 대칭성을 분석하는 데 사용 |
| 수학 | 기하학과 군론의 추상적 개념을 연구하는 데 사용 |
| 점군 관련 정보 | |
| 관련 주제 | 대칭, 군론, 결정학, 분자 대칭 |
| 참고 자료 | 영어 위키백과 점군 문서 |
2. 대칭 조작
정사면체를 어떤 면의 무게중심을 지나는 수선 주위로 120도 회전시켜도 원래의 정사면체와 구별할 수 없다. 이와 같이 어떤 도형에 대해 원래 도형과 구별되지 않도록 이동하는 조작을 '''대칭 조작'''이라고 한다.
군론에서 '''점군'''은 유클리드 공간에서 적어도 한 점을 고정시키는 모든 대칭 조작들의 집합으로, 군의 공리를 만족한다. 점군은 대칭 조작의 곱셈으로 정의되는데, 이는 도형에 대칭 조작 *a*를 수행한 후 *b*를 수행하는 것을 의미한다. 점군은 다음 군의 공리를 만족한다.
점군을 나타내는 데는 다음 두 가지 방법이 있다.
3차원 유클리드 공간에서의 대칭 조작에는 다음 7가지 종류가 있다.
1. 항등 조작 - 아무런 이동도 하지 않는다.
2. 회전 조작 - 도형상의 모든 점을 어떤 축(대칭축)에 대해 회전시킨다.
3. 거울상 조작 - 도형상의 모든 점을 어떤 면(대칭면)에 대해 면대칭으로 이동시킨다.
4. 반전 조작 - 도형상의 모든 점을 어떤 점(대칭중심)에 대해 점대칭으로 이동시킨다.
5. 회영 조작 - 도형상의 모든 점을 어떤 축(회영축)에 대해 회전시킨 후, 그 축에 수직인 면에 대해 면대칭으로 이동시킨다.
6. 회반 조작 - 도형상의 모든 점을 어떤 축(회반축)에 대해 회전시킨 후, 그 축상의 한 점에 대해 점대칭으로 이동시킨다.
7. 병진 조작 - 도형상의 모든 점을 평행이동시킨다.
이 중 병진 조작을 제외하고는 적어도 하나의 점이 불변점이 된다. 항등 조작에서는 도형상의 모든 점이, 회전 조작에서는 회전축상의 점이, 거울상 조작에서는 거울상면상의 점이, 반전 조작에서는 대칭중심이, 회영 조작에서는 회영축상의 한 점이, 회반 조작에서는 회반축상의 한 점이 불변점이 된다.
각 조작을 특징짓는 대칭축, 대칭면, 대칭중심, 회영축, 회반축을 '''대칭 요소'''라고 한다.
3. 점군
# 결합 법칙: 임의의 조작 *a*, *b*, *c*에 대해 (*a* × *b*) × *c* = *a* × (*b* × *c*)가 성립한다.
# 항등원: 항등 조작 *e*가 존재하여, 임의의 조작 *a*에 대해 *a* × *e* = *e* × *a* = *a*가 된다.
# 역원: 임의의 조작 *a*에 대해, *a* × *a*−1 = *a*−1 × *a* = *e*가 되는 *a*−1이 반드시 존재한다.
예를 들어, 밑면이 정삼각형인 삼각뿔(정사면체는 아님)을 생각해 보자. 이 삼각뿔은 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을 축으로 120도 회전(시계 방향, 반시계 방향)해도 원래 모습과 동일하다. 또한, 이 수선과 삼각뿔의 모서리를 포함하는 세 개의 면은 각각 거울면이 된다. 따라서 이 도형은 항등 조작, 120도 시계 방향 회전 조작, 120도 반시계 방향 회전 조작, 그리고 세 개의 거울면 반사 조작을 포함하여 총 6개의 대칭 조작을 갖는다. 이 6개의 대칭 조작은 군을 이루며, 이 군을 해당 삼각뿔의 점군이라고 한다.
4. 점군을 나타내는 기호
예를 들어, 밑면이 정삼각형인 삼각뿔의 점군은 쉐인플리스 기호로는 C3v, 허먼-모건 기호로는 3m으로 표기된다.[1]
5. 점군의 기약 표현
점군의 대칭 조작과 곱셈 관계가 같은 행렬을 그 점군의 '''표현 행렬'''이라고 하며, 이러한 대칭 조작에 대응하는 행렬들의 집합을 그 점군의 '''표현'''이라고 한다. 점군은 추상적인 대칭성들의 집합이므로, "표현"을 통해 구체적인 형태로 나타낼 수 있다. 하나의 점군에는 여러 가지 표현이 가능하다. 표현 행렬의 성질은 캐릭터(트레이스)로 나타내며, 캐릭터를 표로 정리한 것을 '''캐릭터표'''라고 한다.
표현 중에서 더 간단한 표현으로 분해할 수 있는 것을 '''가약 표현''', 더 이상 분해할 수 없는 것을 '''기약 표현'''이라고 한다. 가약 표현은 적절한 닮음 변환을 통해 직합 분해(간약)하여 기약 표현으로 만들 수 있다. 닮음 변환을 하더라도 캐릭터는 변하지 않는다.
대칭성을 갖는 계의 여러 특성은 가장 기본적인 것들의 조합으로 구성된다고 볼 수 있다. 점군을 이용하여 대칭성을 다루면, 그 대칭성에서 가장 기본적인 것(기약 표현)이 무엇인지 알 수 있다.
5. 1. 기호
차수 2차수 4
차수 6
차수 8
차수 10
차수 12
차수 4
차수 8
차수 12
차수 16
차수 20
차수 24
차수 24
차수 48
차수 120
