접다발

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1. 개요

접다발은 매끄러운 다양체 M에 대해 정의되는 위상 공간으로, M의 각 점에서의 접선들을 모아 구성된다. 접다발은 M 위의 매끄러운 벡터 다발을 이루며, M의 접공간은 접다발의 올이다. 접다발의 쌍대 벡터 다발은 공변접다발 또는 여접다발이라고 불리며, 접다발은 매끄러운 함수의 미분, 벡터장, 텐서장 등 다양한 수학적 개념과 연관된다. 접다발은 자체적으로 다양체를 이루며, 차원은 원래 다양체의 두 배이다. 접다발은 자명할 수도 있고, 비자명할 수도 있으며, 자명한 경우 다양체를 평행화 가능하다고 한다. 접다발은 고차 접다발, 제트 다발, 리만 다양체, 표준 벡터장 등과 관련되며, 미분, 벡터장의 올림 등 다양한 응용 분야를 갖는다.

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접다발
개요
정의	다양체의 각 점에 접공간을 할당한 것
다른 이름	탄젠트 다발, 탄젠트 번들
상세 정보
설명	다양체 의 각 점 에서의 접공간 M}}들의 합집합 = ⋃ ∈ }} M}}
쌍	, 는 의 점, 는 의 에서의 접벡터
사영	에서 으로의 사영은 각 접벡터를 그 벡터가 정의된 점으로 보냄
성질	은 의 벡터 다발 은 그 자체가 다양체
평행화 가능 다양체	의 접다발 이 자명 다발인 경우, 즉 × ℝ)}}과 미분 동형인 경우, 은 평행화 가능
틀을 갖춘 다양체	이 어떤 유클리드 공간 에 매장될 수 있고, ⊕ 가 자명한 경우, 은 틀을 갖춘
예시	구 }}은 일 때만 평행화 가능함

2. 정의

$M$ 이 $n$ 차원 매끄러운 다양체이고, 매끄러운 국소 좌표계 $(U_i, \phi_i \colon U_i \to \mathbb R^n)_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $(U_i)_{i \in I}$ 는 $M$ 의 열린 덮개이다.)

접다발, 공변접다발, 접공간, 공변접공간, 벡터장, 텐서장 등의 개념은 아래와 같이 정의된다. (자세한 내용은 각각의 하위 섹션을 참고하라.)

'''접다발'''(Tangent bundle): 매끄러운 다양체 $M$ 의 각 점에서의 모든 접벡터들의 집합으로 구성된 위상 공간이다.
'''공변접다발'''(Cotangent bundle): 접다발의 쌍대 벡터 다발로, 각 점에서의 모든 공변벡터(1-형식)들의 집합이다.
'''접공간'''(Tangent space): 주어진 점 $x \in M$ 에서의 모든 접벡터들의 집합으로, 접다발의 올이다.
'''공변접공간'''(Cotangent space): 주어진 점 $x \in M$ 에서의 모든 공변벡터들의 집합으로, 공변접다발의 올이다.
'''벡터장'''(Vector field): $M$ 의 각 점에 접벡터를 대응시키는 매끄러운 사상으로, 접다발의 매끄러운 단면이다.
'''텐서장'''(Tensor field): $M$ 의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱의 매끄러운 단면이다.

접다발은 매끄러운 함수의 미분을 정의하기 위한 정의역과 공역을 제공한다. 즉,

M

과

N

이 매끄러운 다양체이고,

f \colon M \to N

이 매끄러운 함수라면, 그 미분은

Df \colon TM \to TN

이다.

2. 1. 접다발과 접공간

매끄러운 다양체

M

의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

:

\mathrm TM=\frac{\bigsqcup_{i\in I} U_i\times\mathbb R^n}{\sim}

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계

\sim

은 다음과 같다.

:

(x,u)\sim (x,v)\iff\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u^\mu=\sum_{\nu=1}^nv^\nu\frac{\partial\phi_i(x)^\mu}{\partial\phi_j(x)^\nu}\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n

여기서

\phi_i(x)^\mu

는

\phi_i(x)\in\mathbb R^n

의

\mu

번째 성분이다.

이는 자연스러운 사영 사상

:

\pi\colon\mathrm TM\twoheadrightarrow M

:

\pi\colon [(x,v)]\mapsto x

을 통해

M

위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

x\in M

의 접공간(接空間, tangent space^영어)

\mathrm T_xM

은 접다발의 올이다. 만약

M

에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는

M

에 "접하는"

n

차원 초평면으로 여길 수 있다.

2. 2. 공변접다발과 공변접공간

매끄러운 다양체

M

의 접다발의 쌍대 벡터 다발

\mathrm T^*M

을 '''공변접다발'''(共變接-, cotangent bundle^영어) 또는 '''여접다발'''(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

:

\mathrm T^*M=\frac{\bigsqcup_{i\in I} U_i\times\mathbb R^n}{\sim'}

:

(x,u)\sim'(x,v)\iff\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u_\mu=\sum_{\nu=1}^nv_\nu\frac{\partial\phi_j(x)^\nu}{\partial\phi_i(x)^\mu}\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n

마찬가지로,

x\in M

의 '''공변접공간'''(共變接空間, cotangent space^영어)

\mathrm T_x^*M

은 공변접다발의 올이다.

2. 3. 벡터장과 텐서장

M

의 접다발

\mathrm TM

의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다.

M

의 공변접다발

\mathrm T^*M

의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다.

M

의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

:

\overbrace{\mathrm TM\otimes\cdots\mathrm TM}^p\otimes\overbrace{\mathrm T^*M\otimes\cdots\otimes\mathrm T^*M}^q

의 매끄러운 단면을

(p,q)

차 텐서장이라고 한다.

매끄러운 다양체의 각 점에 접선 벡터를 할당하는 것을 벡터장이라고 한다. 구체적으로 다양체

M

위의 벡터장은 다음과 같은 매끄러운 사상이다.

:

V\colon M \to TM

여기서

V(x) = (x,V_x)

이고 모든

x\in M

에 대해

V_x\in T_xM

이다. 섬유 다발의 언어로 표현하면, 이러한 사상을 단면이라고 부른다. 따라서

M

위의 벡터장은

M

의 접다발의 단면이다.

M

위의 모든 벡터장의 집합은

\Gamma(TM)

으로 표기한다. 벡터장은 각 점별로 더할 수 있고,

:

(V+W)_x = V_x + W_x

''M'' 위의 매끄러운 함수를 곱하여

:

(fV)_x = f(x)V_x

다른 벡터장을 얻을 수 있다. 그러면 모든 벡터장의 집합

\Gamma(TM)

은 ''M'' 위의 매끄러운 함수의 가환 대수

C^{\infty}(M)

위의 가군의 구조를 갖는다.

M

위의 국소 벡터장은 접다발의 ''국소 단면''이다. 즉, 국소 벡터장은

U\subset M

의 어떤 열린 집합에서만 정의되며,

U

의 각 점에 연관된 접 공간의 벡터를 할당한다.

M

위의 국소 벡터장의 집합은

M

위의 층으로 알려진 구조를 형성한다.

위의 구성은 여접다발에도 똑같이 적용된다.

M

위의 미분 1-형식은 정확히 여접다발의 단면이다

\omega \in \Gamma(T^*M)

,

\omega: M \to T^*M

여기서 각 점

x \in M

에 1-코벡터

\omega_x \in T^*_xM

을 연관시키고, 이는 접선 벡터를 실수로 사상한다:

\omega_x : T_xM \to \R

. 또는, 미분 1-형식

\omega \in \Gamma(T^*M)

은 매끄러운 벡터장

X \in \Gamma(TM)

을 매끄러운 함수

\omega(X) \in C^{\infty}(M)

로 사상한다.

3. 성질

접다발은 벡터 다발(섬유 다발의 한 종류)의 한 예이다. 더 일반적으로, $n$ 차원 다양체 $M$ 에 대한 접다발은 변환 함수가 관련 좌표 변환의 야코비 행렬로 주어지는, $M$ 위의 계수 $n$ 인 벡터 다발로 정의할 수 있다.

3. 1. 위상과 매끄러운 구조

접다발은 자체적으로 다양체를 만들기 위해 자연스러운 위상(단절된 합집합 위상이 아님)과 미분 가능 구조를 갖추고 있다.

TM

의 차원은

M

의 차원의 두 배이다.

''n''차원 다양체의 각 접공간은 ''n''차원 벡터 공간이다.

U

가

M

의 열린 수축 가능 부분 집합이면, 각 접공간

T_xU

에서

\{x\}\times\mathbb R^n

로의 선형 동형 사상으로 제한되는 미분 동형 사상

TU\to U\times\mathbb R^n

이 존재한다. 그러나 다양체로서

TM

은 항상 곱 다양체

M\times\mathbb R^n

과 미분 동형 사상은 아니다.

M\times\mathbb R^n

형태일 때, 접다발은 '자명'하다고 한다.

''M''이 매끄러운 ''n''차원 다양체이면, 차트

(U_\alpha,\phi_\alpha)

의 지도가 갖춰져 있으며, 여기서

U_\alpha

는

M

의 열린 집합이고,

:

\phi_\alpha: U_\alpha \to \mathbb R^n

는 미분 동형 사상이다.

U_\alpha

에 대한 이러한 국소 좌표는 모든

x\in U_\alpha

에 대해

T_xM\rightarrow\mathbb R^n

의 동형 사상을 발생시킨다. 그런 다음 다음과 같이 맵을 정의할 수 있다.

:

\widetilde\phi_\alpha:\pi^{-1}\left(U_\alpha\right) \to \mathbb R^{2n}

:

\widetilde\phi_\alpha\left(x, v^i\partial_i\right) = \left(\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n\right)

이러한 맵을 사용하여

TM

에 대한 위상과 매끄러운 구조를 정의한다.

TM

의 부분 집합

A

는

:

\widetilde\phi_\alpha\left(A\cap \pi^{-1}\left(U_\alpha\right)\right)

가 각

\alpha

에 대해

\mathbb R^{2n}

에서 열려 있는 경우에만 열려 있다. 이러한 맵은

TM

과

\mathbb R^{2n}

의 열린 부분 집합 간의 위상 동형 사상이므로

TM

에 대한 매끄러운 구조의 차트 역할을 한다. 차트 중첩

\pi^{-1}\left(U_\alpha \cap U_\beta\right)

에 대한 전이 함수는 관련 좌표 변환의 야코비 행렬에 의해 유도되며, 따라서

\mathbb R^{2n}

의 열린 부분 집합 간의 매끄러운 맵이다.

3. 2. 자명성과 평행화 가능성

매끄러운 다양체

M

의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발인 경우,

M

을 '''평행화 가능 다양체'''(parallelizable manifold^영어)라고 한다. 다양체로서

TM

이 곱 다양체

M\times\mathbb R^n

형태일 때, 접다발은 '자명'하다고 한다. 자명한 접다발은 대개 '호환 가능한 군 구조'를 갖춘 다양체에서 발생하는데, 예를 들어 다양체가 리 군인 경우가 이에 해당한다. 단위 원의 접다발은 (곱셈과 자연스러운 미분 구조 하에서) 리 군이므로 자명하다.

초구

\mathbb S^n

가운데 평행화 가능 다양체는

\mathbb S^0

,

\mathbb S^1

,

\mathbb S^3

,

\mathbb S^7

뿐이다. 모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

자명한 접다발을 가진 다양체를 평행화 가능이라고 부른다.

4. 관련 개념

준 리만 다양체 $(M,g)$ 의 각 점 $x\in M$ 에서 접다발과 공변접다발 사이에는 동형 사상이 존재한다. 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의하며, '''음악 동형'''(音樂同形, musical isomorphism^영어)이라고 불린다. "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다.

접다발 ''TM''은 다양체로 볼 수 있으며, 각 점에서 접공간에 대한 대각 사상을 이용하여 '''표준 벡터장'''을 정의할 수 있다. 이는 리우빌 벡터장 또는 '''반지름 벡터장'''이라고도 불린다.

4. 1. 고차 접다발

2차 접다발은 접다발 구성을 반복 적용하여 정의할 수 있다.

:T^2 M|T^2 M^영어 = T(TM)|T(TM)^영어

일반적으로, k차 접다발 T^k M|T^k M^영어은 로 재귀적으로 정의할 수 있다.

매끄러운 사상 f : M → N|f : M → N^영어은 유도된 도함수를 가지며, 이에 대한 접다발은 적절한 정의역과 공역 Df : TM → TN|Df : TM → TN^영어이다. 마찬가지로, 고차 접다발은 고차 도함수 D^k f : T^k M → T^k N|D^k f : T^k M → T^k N^영어의 정의역과 공역을 제공한다.

별개의 관련 구성은 다양체에 대한 제트 다발이며, 이는 제트로 구성된 다발이다.

4. 2. 제트 다발

별개의 관련 구성은 다양체에 대한 제트 다발이며, 이는 제트로 구성된 다발이다.^[1]

4. 3. 리만 다양체

준 리만 다양체

(M,g)

의 경우, 각 점

x\in M

에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

:

(-)^\flat\colon \mathrm T_xM\to\mathrm T_x^*M

:

(-)^\flat\colon v\mapsto g(v,-)

:

(-)^\sharp\colon \mathrm T_x^*M\to\mathrm T_xM

:

(-)^\sharp\colon g(v,-)\mapsto v

이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 '''음악 동형'''(音樂同形, musical isomorphism^영어)이라고 한다.

"음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 접다발의 단면은 윗첨자(

^\mu

), 공변접다발의 단면은 아랫첨자(

_\mu

)로 표기하므로,

(-)^\flat

은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고",

(-)^\sharp

는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문에 이러한 기호를 사용한다.

4. 4. 표준 벡터장

접다발 ''TM''은 다양체로 볼 수 있으며, 각 점에서 접공간에 대한 대각 사상을 이용하여 '''표준 벡터장'''

V:TM\rightarrow T^2M

을 정의할 수 있다. 이는 벡터 공간 ''W''의 접공간이

TW \cong W \times W

와 같이 곱집합으로 자연스럽게 표현되기 때문이다. 벡터 공간은 평탄하므로,

w \mapsto (w, w)

와 같은 대각 사상

W \to TW

가 존재한다. 이러한 곱 구조를 각 점의 접공간에 적용하고, 이를 전체적으로 확장하면 표준 벡터장이 만들어진다.

만약

(x,v)

가

TM

에 대한 국소 좌표라면, 표준 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

:

V = \sum_i \left. v^i \frac{\partial}{\partial v^i} \right|_{(x,v)}.

이는

(x, v) \mapsto (x, v, 0, v)

와 같이 간단히 표현할 수도 있는데, 여기서 첫 번째 좌표 쌍은 밑 공간의 점을 나타내고, 마지막 좌표 쌍은 접벡터 자체를 나타낸다. 이 표현은

v

에만 의존하고

x

에는 의존하지 않는다.

표준 벡터장은 스칼라 곱셈 함수를 통해서도 설명할 수 있다. 스칼라 곱셈 함수는 다음과 같다.

:

\begin{cases}\mathbb{R} \times TM \to TM \\(t,v) \longmapsto tv\end{cases}

시간

t=1

에서

\mathbb R

변수에 대한 이 함수의 도함수를 계산하면, 표준 벡터장

V:TM\rightarrow T^2M

를 얻을 수 있다.

이러한 표준 벡터장은 리우빌 벡터장 또는 '''반지름 벡터장'''이라고도 불린다.

5. 예시

ℝⁿ과 단위 원 ''S''¹^영어의 접다발은 자명하며, 쉽게 시각화할 수 있다. 반면 2차원 다양체의 접다발은 4차원이므로 시각화하기 어렵다.

5. 1. 유클리드 공간

가장 간단한 예는 ℝⁿ이다. 이 경우 접다발은 자명하다. 각

T_x \mathbf \mathbb R^n

은

x

를 빼는 사상

\mathbb R^n \to \mathbb R^n

을 통해

T_0 \mathbb R^n

과 정규 동형이며, 이는 미분 동형

T\mathbb R^n \to \mathbb R^n \times \mathbb R^n

을 제공한다.

5. 2. 단위 원

단위 원 ''S''¹^영어의 접다발은 자명하며, ''S''¹ × '''R'''^영어과 동형이다. 기하학적으로 이것은 높이가 무한대인 원기둥과 같다.

5. 3. 단위 구

비자명한 접다발의 간단한 예는 단위 구

S^2

의 접다발이다. 이 접다발은 털 공 정리의 결과로 비자명하다. 따라서 구는 가향 가능하지 않다.

6. 응용

접다발은 미분기하학 및 관련 분야에서 다양하게 활용된다. 예를 들어, 매끄러운 함수의 미분을 정의할 때 정의역과 공역을 제공하는 역할을 한다. 또한, 올림을 통해 다양체 위의 객체를 접다발 위의 객체로 옮길 수 있다.

6. 1. 도함수

접다발의 주요 역할 중 하나는 매끄러운 함수의 미분의 정의역과 공역을 제공하는 것이다. 즉, ''M''과 ''N''을 매끄러운 다양체라 하고, ''f'': ''M'' → ''N''가 매끄러운 사상이라면, 그 미분은 매끄러운 사상 ''Df'': ''TM'' → ''TN''이다.

6. 2. 벡터장의 올림

M

위의 객체를

TM

위의 객체로 올리는 여러 방법이 있다. 예를 들어

\gamma

가

M

내의 곡선이라면,

\gamma'

(

\gamma

의 접선)은

TM

내의 곡선이다. 반면,

M

에 대한 추가적인 가정 (예: 리만 계량)이 없으면 공변접속 다발로의 유사한 올림은 존재하지 않는다.

함수

f:M\rightarrow\mathbb R

의 "수직 올림"은

f^\vee:TM\rightarrow\mathbb R

로 정의되는 함수이며, 여기서

\pi:TM\rightarrow M

는 정규 투영이다.

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